关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学

期末考试

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清华大学

2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）

考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班

考试方式： 闭卷

命题教师：

一. 9分 ）

1、若在),

(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。

2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t

t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=⎰

dx 1cos 12

。

本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）

1、设A x x ax x x =-+--→1

4lim 231，则必有 答( )

2、设211)(x

x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( )

3、设f 为连续函数，又，⎰=x

e x dt t

f x F 3)()(则=')0(F 答( )

2小题，每小题5分，总计10分 ）

1、求极限x

e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。

3小题，每小题8分，总计24分 ）

1、讨论⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0,00arctan )(2

x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。

3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。

3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。

2、求不定积分⎰

x x x d cos sin 3。

3、计算积分⎰-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x

x x 。

4小题，每小题6分，总计24分 ）

1、求不定积分⎰

+)1(10x x dx 。 2、计算积分⎰+πθθ4

30 2cos 1d 。

3、求抛物线221x y =

被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。