清华大学微积分高等数学课件第19讲定积分的应用一演示课件

| 2
12(14y2)dy2(y4y3)
1 2
2
0
3 03
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10
2. 极坐标系下平面图形面积的计算
求曲线 ( )
及射线 ,
所围成的面积.
d
面积微元
()
o
面积微元：小圆扇形
dA 12()d
2
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A1 2()d
2
11
[例 3] 求 心脏 a(线 1cos)所 围
的 面 A. 积
[解] 利用对称性
A2A1
21 2
2()d
0
[a(1c
os)]2d
0
o
4a2
c
o4s
d
0
2
8a2 2co4stdt 0
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3 a2
2
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3.参数方程下求图形面积
[例 4] 求 星 形 xy线 aasc： io3n 3tst t[0, 2]
所围面积。
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y y f(x)
面积微元
d A [f(x)g(x)d ] x
b
yg(x)
A [f(x)g(x)]dx
oa
xxdx b x a
b
Aa f(x)g(x)dx
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[例 1]求 由x曲 y1及 线直 yx 线 ,x2 所围成 A . 的面积
[解] 解 方 程 组
y xy1 yx
x y 1
y
x
x1
x
2
1 1
(1, 1) x2
2
1
A
1
(x
)d x
x
o
| x2
23
( lnx) ln2
2
12
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2
1
x
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设连续 (函 y) , (数 y)满足
0 (y )(y )y [ c ,d ]
求由曲 x线 (y),x(y),和直线
yc, yd所围成的 A 面积
y
d
y dyy
x(y) x(y)
c
面积公式：
o
x
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d
A [ (y) (y)]dy
c
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[例 2]求 由x曲 5y2线 ,x1y2所 围
的 面 A. 积 1 y
[解] 解 方 程 组
2
x 5y2
x x
5y2
1 y2
y1 y 2
1 2
12
o
A 1 x1 y2
x
1
A2A1202(1y25y2)dy
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[例5]
求
椭ax圆 22 by22
1绕x轴
y
旋
转
所
旋 转 体 的V.体 积
[解] 上半椭圆方程为
o
y b a2 x2 (axa)
a
x
a
利 用 对 称,性得 到
V2V1 2 0ay2dx2ab22
a(a2 x2)dx
0
| 2
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b2 a2
(a2xx3) 3
a 0
4 ab 2
(1)不 均 匀 变化 的 整 A依体赖量于
自 变 量 x的 某 个 区[a,间b].
n
(2)具 有 可 .即 , 加 A 性 Ai
i1
(3)部分量 Ai可“以不变代变”
求得近似值 Ai f (i )xi
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3
y
关键是 部分量 的近似
y
f(x)
b
a
f(t)dtA(b)
A
A( x)
局部量的近似值 Af(x)x
微分近似
要 A 求 f ( x ) x ( ： x )
第 二 步 ： x令 0,微 元 在 区 [a, b间 ]上
无 限 积,得累定 积 分 就 是 整 体
b
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Aa f (x)dx
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二、几何应用
（一）平面图形的面积
1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
a
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[解] 利用对称性
a
A4A1 4 0 ydx
40asi3n t3aco2t(ssitn )dt
2
122a2s i4n t(1s i2n t)dx 0
1a 2 2(31531)
422 6422 3 a2
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（二）空间立体的体积 1. 已知平行截面面积立体的体积
oa
xxx b
x
f(x)C[a, b]
x
A(x) f(t)dt A (x)f(x) a
AdAf(x)dxdAf(x)dx
09.10.2020 A f( x ) d o x (x )(x 0 )4
微元分析法
第一步：分割 [a,区b],间 取具有代表
的小区[x间 , xx]“ , 不变代,写 变出 ”
由Lagrang中 e 值定理得到
A(x)
a
体积
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x xdx
b
V a A(x)dx
x
b
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2. 旋转体的体积 y
A(x)y2
y f(x)
x
oa
xxdx b
V by2dx bf2(x)dx
a
a
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y
d
x(y)
y+dy y
c
x
o
A(y)x2
Vdx2dy d2(y)dy
c
c
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作业
P201 习题7.1 P210 习题7.2 P218 综合题 P113 习题4.3
1(5) 2. 8(2). 11(1). 15(1) 5. 15(2).
预习: P211—218
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第十九讲 定积分的应用（一）
一、微元分析法
二、几何应用
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一、微元分析法
可以应用定积分计算的量有如下特点:
y
Mi M i1
M1
A M0
o
xi
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xi xi
m 1inaM xi1Mi
B M n源自文库
n
l lim Mi1Mi
0 i1
x
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(1) 设曲线段方程为 yf(x ) (axb )
曲线是 ,即 光 f(x)滑 在 [a,的 b]上连
M i 1 M i(x i) 2 (y i) 2( i 1 ,2 , ,n )
3
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[例6]怎 样 求 由 曲 y线x, 直 线x2
和x轴 所 围 图 ,绕形y轴 旋 转 所
旋转体的体积？
[解法一]
y+dy
取y为 积 分 变 .即量 y
分y的 变 化 区 [0, 间2] o
2
V22 2 2x2dy4 2 2 y4dy
0
0
4 24 2162
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5
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[解法二] 取x为积分变.即 量
(1)由 直 线 xa, xb及x轴 和 连 续 曲 线y f (x)所 围 曲 边 梯 形 的 A 面
根据定积分的定义和几何意义知
b
Aa f(x) dx
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(2)由曲y线 f(x),yg(x)和直线
xa,xb所围成的 A 面积
先 , g (x 看 ) f(x )x [ a ,b ]
分x的 变 化 区[0间 ,2] 体积微元是什麽？
dV2xydx
o
2
xxdx
V2
2
x
xdx
0
| 22x52 2162
思考： 5 0 5
薄壁圆桶
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何 时 选 择x为 积 分 变 量 ？ 何 时 选 择y为 积 分 变 量20？
（三）平面曲线的弧长 何谓曲线的长 ？ —内接折线长的极限