清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
《高数》定积分课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
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原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
清华微积分(高等数学)课件第十七讲定积分(二)-36页精品文档
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
xx
xx
0F (xx)F (x)f(t)d t f(t)dt
x
x
M x 0(x 0)
22.11.2019
5
[证] (2) 用导数定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
22.11.2019
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
a
a
0
对于右端,作 第变 一 :换 x项 t
又由 f(x)为偶函数知
22.11.2019
f(x)f( t)f(t)
24
从而由换元公式
0
0
a
f(x)d x f(t)d t f(t)dt
a
a
0
为什麽?
a
定积分与积分变量
f (x)dx
0
所用字母无关！
a
0
a
f(x )d x f(x )d xf(x )dx
x2
2
0
1csoixsn2 xd
x
2
[例] 计 算3(x3) 1x2dx
3
9
[解]
3
(x3)
1 x2dx
清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
kmM b2l2l
a2l2l
08.04.2021
[ln
l
b
ln a
]14 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
08.04.2021
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
18
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
08.04.2021
19
质量：
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
08.04.2021
6
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
[解]
高等数学微积分教学ppt(2)
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二
1 10
2020/5/3
11
[例6] 试问:具有什麽性质的f ,恒 函有 数
x
f(x)d xaf(t)d tC(x [a,b])
若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/5/3
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
1 2 si2 xc no 2 xdsx
0
(si2 xnco2 xs)2dx
x
x
0
sin cos dx
2
2
0 2(c2 x o ssi2 x n )d x 2 (s2 x i n co 2 x)d sx
| | 202 0/5(/32 si2 xn 2 co 2 x)0 2 s ( 2 co 2 x 2 ssi2 x)n 2 4(
数？
2020/5/3
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
上的任意一,则 个有 原函数
bf(x)d xF (b)F (a)F (x)b
a
a
[证] 因f为 (x)C[a,b]故 , 由1知 定 ,变理 上
定 积G分 (x)
x
f(t)dt
a
是f(x)在 [a, b]上的一个 ,且 G 原 (a)函 0.
b
G (b )f(t)d t G (b ) G (a )(1 )
2020/5/3
a
14
又已F(知 x)是f(x)在[a, b]上的任意 一个原,故 函有 数
F(x)G (x)C
微积分课件第七节定积分的几何应用.
2. 截面面积已知的几何体的体积设有立体如图 A( x 表示过点x的截面面
积， , 求此立体的体积 . (1 任取区间 x, x dx]， [ 落在该区间几何体的体积为V，Δ 可近似扁圆视为以A(x为底面积、dx 为高的柱体的体积, 则体积微元为利用定积分的微元法 A(x a x x+dx b x A( x dx，就是所求几何体的体积 V 在区间 a, b]作定积分， [ (2 以A( x dx为被积表达式， b a A( x dx.
例设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱底面交成α且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体的体积。
解取该平面与圆柱体底面的交线为 x轴, 底面上过圆中心且垂直于 x轴的直线为轴, y R 则底圆方程为 x 2 y 2 R 2 , x 在
x( R x R处垂直于x轴作立体的截面 , 截面为直角三角形, 两条直角边分别为 y y 及y tan α , 即 R 2 x 2 及 R 2 x 2 tan α , R x 1 2 A( x ( R x 2 tan α , 截面面积 2 R 则立体体积 V 1 (R 2 x 2 tan αdx 2 R3 tan α . 2 R 3
小结一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积 (1旋转体的体积 Vx V a b a π[ f ( x ] dx Vy 2 d c π[ ( y ] dy 2 (2截面面积已知的几何体的体积 b A( xdx
作业： P266 1（2），2（2）。
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若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
2020/4/28
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与 较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,
2
且当 x[0,]时, sin x, coxs,
2 因而有
sisn ix n ) ( six ,n cx o c s os x )(,sin
2020/4/28
18
因此
2sinx )( ds x i2n six nd x co xs 2 1
1 4
x
[解] 原 式 1ln xdx 4ln xdx
1 4
x
1x
2020/4/28
| (2
1
xlnx1
4
1
1 4
2 xdx) x
| (2
4
xlnx
4
2
xdx )
11x
| | 1
4
(2x ln x 4x )1 (2x ln x 4x )1
4
6ln22
31
[例 2]计 算 1x2(1x)ndx 0
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx
nT
T
f(x)dxnf(x)dx (n为 正 整 ) 数
0
0
2sin 2xdx4
2sin 2xdx
2020/4/28 0
0
27
四、定积分的分部积分法
定理2: (定积分的分部积分法)
设 函u数 (x),v(x)在 区[a间 , b]上 有 连 续 的 一u阶 (x)导 ,v(x数 ),则 有 分部积分公式
xx
xx
0F (xx)F (x)f(t)d t f(t)dt
x
x
M x 0(x 0)
2020/4/28
5
[证] (2) 用导数定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
由 (1 )有 , F (x )liF m (x x ) F (x )
x 0
x
1 xx
lim f(t)dt
作业
P174习题6.3
1(3)(4). 2(2). 4. 5.
7(3)(5)(11). 8(1)(3).
复习: P168—186
2020/4/28
1
第十七讲 定积分（二） 一、变上限定积分 二、牛顿-莱布尼兹公式 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法
2020/4/28
2
一、变上限定积分
a
a
u(x)v(x)|b a
即
b
au(x)v(x)dx
| b
b
u(x)v(x) u(x)v(x)dx
aa
[注意] 分部积分公式也可以写 成
| b
bb
u (x )d [v (x ) ]u (x )v (x )v (x )d [u (x )]
a
aa
2020/4/28
30
[例1]
计算
4 lnx dx
[证](1)
a
0
a
f(x)d x f(x)d x f(x)dx
a
a
0
对于右端,作 第变 一 :换 x项 t
又由 f(x)为偶函数知
2020/4/28
f(x)f( t)f(t)
24
从而由换元公式
0
0
a
f(x)d x f(t)d t f(t)dt
a
a
0
为什麽?
a
定积分与积分变量
f (x)dx
(2)若f(x)C[a, b]则 , F(x)D[a, b] 且F(x)f(x) x[a, b]
[注意] 连续函数一定存在原函数 ！
dx
dx(a f(x)dx)f(x)
质 点 以v(速 t)从 度时a开 刻始 作 直,线
在
时t走 刻过
t
路s程 (t)a
v()d
当v(t )连续时就有s(t)dd[tatv()d]v(t)
0
x
能确定隐y函 y(x数 ),求dy. dx
[解] 方程两边 x求对 导 ,得到
ey2 dysinx2 0 dx
解出dy , 得 dx
dy ey2 sinx2 dx
[注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方
法，对这种函数也可以讨论各种性态。
2020/4/28
9
[例 4]
设参数x 方ts程 in d,y
b
au(x)v(x)dx
| b
b
u(x)v(x) v(x)u(x)dx
a
a
2020/4/28
28
[证] 利用牛顿—莱布尼兹公式
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
由 条 件 上 式 右函 端数 是 ,从连 而续 左 端
1
x2etdt x3etdt
1
1
d d x x x 2 3e td td d x 1 x 2e td td d x 1 x 3e td t
2xxe2(3x2)ex3 2xxe23x2ex3
2020/4/28
8
[例3] 设由方ye程 t2dt 0sint2dt0
0
0
0
2cos x )( ds x i2 n co xs d sxix n2 1,
0
0
0
所以 2 sin(x)sdix n2cosx ()sdixn
0
0
即
I1 I2
2020/4/28
19
三、定积分的换元积分法
定理1: (定积分的换元积分法)
设函数 f ( x) C [a, b],作变换 x (t),
若 f(x)在 [a, b]上 可 ,则 x 积 [a, b] f(x)在 [a, x]上也 . 可积
记作 F(x)ax f (t)dt (axb)
上限变量
x
或 F(x)a f (x)dx (axb)
是 上 限 x的 函 数 积分变量
2020/4/28
3
定理： (1)若f(x)R[a, b]则 , F(x)C[a, b];
2
2
0 2(c2 x o ssi2 x n )d x 2 (s2 x i n co 2 x)d sx
| | 202 0/4(/22 8 si2 xn 2 co 2 x)0 2 s ( 2 co 2 x 2 ssi2 x)n 2 4(
21)
17
[例3]
设I102 sin(xs)din ,xI202cos(xs)din ,x
[u(x)v(x)]是 连 续.函 利数 用 NL公 式 ,
| 得
b
b
[u (x)v(x)]d xu (x)v(x)
a
a
而右端的积分为
b
a[u(x)v(x)u(x)v(x)]dx
b
b
a u(x)v(x)dxa u(x)v(x)dx
2020/4/28
29
于是得到
b
b
u(x)v(x)dx u(x)v(x)dx
2020/4/28
a
14
又已F(知 x)是f(x)在[a, b]上的任意 一个原,故 函有 数
F(x)G (x)C
于 , 是 G ( b ) G ( 有 a ) F ( b ) F ( a )
代入(1式 ) ,便得到
b
a f(x)dx F(b)F(a)
2020/4/28
15
牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计 算问题转化为求被积函数的一个原函 数的问题.
5
x2
[解] “ 0 ”,利用洛比达法则 0
x
(1c
l i m 0
x 0
5
x2
ot2)sdt (1cox)s 1
lim x 0
3
x 5 2
2
2x
(1cosx)
lim x0
5x2
xli0m 512 xx22
1 10
2020/4/28
11
[例6] 试问:具有什麽性质的f ,恒 函有 数