清华大学微积分高等数学第讲不定积分一精品PPT课件
合集下载
第五章 不定积分 (《微积分》PPT课件)
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C; (11) csc x cot xdx csc x C; (12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C;
6. x xdx ______________________；
7.
dx
x2 x
_______________________；
8. ( x2 3x 2)dx _________________；
9. ( x 1)( x3 1)dx _____________；
10.
(1
x)2 x
dx
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数(.primitive function )
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
不定积分课件
详细描述
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
清华微积分(高等数学)课件第一讲 函数PPT28页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
2020/11/15
1
一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函数 f (x),要求这样一个函
F(x),使F(x)的导函数正f 是 (x).
这就是求原函数和不定积分的运算。
2020/11/15
2
（2） 从物理问题看
已知运动规 S律 S(t),要求瞬时速 v(t)?
求导数v： (t)S(t)
反问题: 已知瞬时速度 v(t),要求运动规律
S S(t) ? 求原函数: S(t), 使 S(t) v(t)
（b）原函数的结构问题
2020/11/15
5
[定理1] 若F(x)是f(x)在区I间 上的一个 原函,数则F(x)C 是f(x) 的全体 原函,数 其中 C为任意常 . 数
[证] （ 1）证 F(x明 )C是 f(x)在 I上的
一个原函数
[ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
2020/11/15
k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
15
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
2020/11/15
16
二、基本积分表
(1) xdx x 1 C
1
(2)
1 dx ln x C x
19
(1)6 dx arcx s iC n
a2x2
a
(1)7 dxln x (a 2x2)C
a 2x2
(1)8 x2da x22 1alnx x a aC
(1)9 se xc d lx n ta x n se x c C
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
2020/11/15
10
(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12oxs2xCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
coxsC x0
2020/11/15
f(x)dx12x21C
x0
12
coxsC 即yG(x) 1 2x21C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x0,G (0)1,得C0
coxs yF(x)12x21
x0 x0
是f(x)过(0, 1)点的积分曲线
2020/11/15
13
（三）不定积分的性质
coxsC x0
2020/11/15
G(x)12x21C
x0
11
当 x 0 时 , G (x ) sixn
当 x0 时 , G (x)x
又G (0)x l i0m cox x s10
1x211 G(0)0
G(0)xl i0m 2 x
0
于 G ( x ) 在 是 ( , ) 上 ,且 可 G ( x ) f导 ( x )
2020/11/15 在区间 (1, 1)上的一个原. 函数 4
cR, (x3c)3x2 (x3c)也是 3x2在R上的原函 . 数
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数f(x)在区间 I上连续 ,
则f(x)在区间 I上存在原函. 数
F(x)C是f(x)在I上的一个 原函数
2020/11/15
6
（2）证明f (x)在I 上的任意一个原函 都可以表示F(为 x)C的形式
设G(x)是f (x)在I上的任何一个原函
[G (x ) F (x )] G (x ) F (x ) f(x )f(x ) 0 x I
由拉格朗日中值定理的 推论知
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) (f(x)d)xf(x)
d(f(x)d)xf(x)dx (2) f(x)d xf(x)C
d(fx)f(x)C
2020/11/15
14
（2） 线性运算性质
(3 )[f(x ) g (x )d ] x g (x ) d x g (x ) d
(4)k(fx)d xkf(x)dx 综合(3)(4) [k1f1(x)k2f2(x)d] x
18
( 11 )
1
dx arcx siC n
1 x2
( 12 )
1 dx arcc x oCs
1 x2
( 13 )
1 1 x 2 dx
arctxa C n
( 14cox tC
(1)5 x2d a x2a 1arca x t aC n
2020/11/15
(1)
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
2020/11/15
17
(5) axdx 1 a x C
ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
2020/11/15
积分变量
2020/11/15
8
积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
2020/11/15
x
x9
[例3] 设f(x) sxin x
x0 x0
cosxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗？
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲. 线
G (x ) F (x ) C x I
即 G ( x ) F ( x ) C x I
2020/11/15
7
（二）不定积分的定义
设f(x)在区I间 上存在原F函 (x)数 ,
则其原函数的F全 (x)体 C 称为 f(x)
在区I间 上的不定.积分
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F(x)C常数
2020/11/15
3
（一）原函数的定义
设f (x)在区间I上有定义 .若另有一个 可导函数F(x), 使xI, 都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函. 数
[例1] F(x) x3 是f(x)3x2 在区间(, )上的一个原.函数
[例2] F(x)arcsixn是f(x) 1 1x2
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
2020/11/15
1
一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函数 f (x),要求这样一个函
F(x),使F(x)的导函数正f 是 (x).
这就是求原函数和不定积分的运算。
2020/11/15
2
（2） 从物理问题看
已知运动规 S律 S(t),要求瞬时速 v(t)?
求导数v： (t)S(t)
反问题: 已知瞬时速度 v(t),要求运动规律
S S(t) ? 求原函数: S(t), 使 S(t) v(t)
（b）原函数的结构问题
2020/11/15
5
[定理1] 若F(x)是f(x)在区I间 上的一个 原函,数则F(x)C 是f(x) 的全体 原函,数 其中 C为任意常 . 数
[证] （ 1）证 F(x明 )C是 f(x)在 I上的
一个原函数
[ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
2020/11/15
k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
15
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
2020/11/15
16
二、基本积分表
(1) xdx x 1 C
1
(2)
1 dx ln x C x
19
(1)6 dx arcx s iC n
a2x2
a
(1)7 dxln x (a 2x2)C
a 2x2
(1)8 x2da x22 1alnx x a aC
(1)9 se xc d lx n ta x n se x c C
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
2020/11/15
10
(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12oxs2xCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
coxsC x0
2020/11/15
f(x)dx12x21C
x0
12
coxsC 即yG(x) 1 2x21C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x0,G (0)1,得C0
coxs yF(x)12x21
x0 x0
是f(x)过(0, 1)点的积分曲线
2020/11/15
13
（三）不定积分的性质
coxsC x0
2020/11/15
G(x)12x21C
x0
11
当 x 0 时 , G (x ) sixn
当 x0 时 , G (x)x
又G (0)x l i0m cox x s10
1x211 G(0)0
G(0)xl i0m 2 x
0
于 G ( x ) 在 是 ( , ) 上 ,且 可 G ( x ) f导 ( x )
2020/11/15 在区间 (1, 1)上的一个原. 函数 4
cR, (x3c)3x2 (x3c)也是 3x2在R上的原函 . 数
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数f(x)在区间 I上连续 ,
则f(x)在区间 I上存在原函. 数
F(x)C是f(x)在I上的一个 原函数
2020/11/15
6
（2）证明f (x)在I 上的任意一个原函 都可以表示F(为 x)C的形式
设G(x)是f (x)在I上的任何一个原函
[G (x ) F (x )] G (x ) F (x ) f(x )f(x ) 0 x I
由拉格朗日中值定理的 推论知
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) (f(x)d)xf(x)
d(f(x)d)xf(x)dx (2) f(x)d xf(x)C
d(fx)f(x)C
2020/11/15
14
（2） 线性运算性质
(3 )[f(x ) g (x )d ] x g (x ) d x g (x ) d
(4)k(fx)d xkf(x)dx 综合(3)(4) [k1f1(x)k2f2(x)d] x
18
( 11 )
1
dx arcx siC n
1 x2
( 12 )
1 dx arcc x oCs
1 x2
( 13 )
1 1 x 2 dx
arctxa C n
( 14cox tC
(1)5 x2d a x2a 1arca x t aC n
2020/11/15
(1)
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
2020/11/15
17
(5) axdx 1 a x C
ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
2020/11/15
积分变量
2020/11/15
8
积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
2020/11/15
x
x9
[例3] 设f(x) sxin x
x0 x0
cosxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗？
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲. 线
G (x ) F (x ) C x I
即 G ( x ) F ( x ) C x I
2020/11/15
7
（二）不定积分的定义
设f(x)在区I间 上存在原F函 (x)数 ,
则其原函数的F全 (x)体 C 称为 f(x)
在区I间 上的不定.积分
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F(x)C常数
2020/11/15
3
（一）原函数的定义
设f (x)在区间I上有定义 .若另有一个 可导函数F(x), 使xI, 都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函. 数
[例1] F(x) x3 是f(x)3x2 在区间(, )上的一个原.函数
[例2] F(x)arcsixn是f(x) 1 1x2