清华大学微积分高等数学课件第18讲定积分三演示课件

b
au(x)v(x)dx
| b
b
u(x)v(x) v(x)u(x)dx
aa
09.10.2020
9
[证] 利用牛顿—莱布尼兹公式
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
由 条 件 上 式 右函 端数 是 ,从连 而续 左 端
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例如： 2si6n xdx 5315
0
6422 32
2sin 7xdx642116
0
753 35
可以证明 2co nx sd x2sinn xdx(n N )
0
0
令2x t
4 cos8 2x dx
1
2 cos8 t dt
a
a
u(x)v(x)|b a
b
即 au(x)v(x)dx
| b
b
u(x)v(x) u(x)v(x)dx
aa
[注意] 分部积分公式也可以写 成
| b
bb
u (x )d [v (x ) ]u (x )v (x )v (x )d [u (x )]
a
aa
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[例1]
计算
4 lnx dx
0f(x)d x0f(x)d x20f(x)dx
1 2
x2 arcsinx dx
0
12 1 x2
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[例2] 计算 22s1i x nsic2nx oxsdx
[解]
2
2
sinxcoxs 1sin2 x d
x2
2
0
1csoixsn2 xd
x
2
[例3] 计 算3(x3) 1x2dx
nT
T
例如 f(x)dxnf(x)dx (n为 正 整 ) 数
0
0
2sin 2x
dx4
2sin 2xdx
0
0
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二、定积分的分部积分法
定理2: (定积分的分部积分法)
设 函u数 (x),v(x)在 区[a间 , b]上 有 连 续 的 一u阶 (x)导 ,v(x数 ),则 有 分部积分公式
[u(x)v(x)]是 连 续.函 利数 用 NL公 式 ,
| 得
b
b
[u (x)v(x)]d xu (x)v(x)
a
a
而右端的积分为
b
a[u(x)v(x)u(x)v(x)]dx
b
b
u(x)v(x)dx u(x)v(x)dx
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a
a
10
于是得到
b
b
u(x)v(x)dx u(x)v(x)dx
a
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3
[例 1]若 f(x)在对称 [a,a区 ]上间 连 ,则续
(1)当 f(x)为偶函 ,有数时
a
a
f(x)dx2 f(x)dx
a
0
(2)当f (x)为 奇 函 数,有时
a
f (x)dx0 a
[证](1)
a
0
a
f(x)d x f(x)d x f(x)dx
a
a
0
对于右端,作 第变 一 :换 x项 t
3
9
[解]
3
(x3)
1 x2dx
3
x2
3 1 dx
3
9
3
9
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3 3
9 x2dx
9 2
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利用定积分的换元 ,可法以证明：
若f (x)是 一 个 以 T为 周 期 的 连 续
函 数,则 对 任 意 的 实a,数 有
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx
aT
[证]
f(x)dx
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[例 3]计 I 算 n0 2： sinn x dx (n N )
[解]
I0
2
1d
x
0
2
| I102s
ixndxcoxs21 0
In
2sinn1x d(c oxs)
0
| (co x)ssin 1 n x22(co x)ds (sn i1x n ) 00
(n1) 2sinn2xco2x sdx 0
[解] 1x2(1x)ndx 0
|
1
(1x)n1x2
1
2
1x(1x)n1dx
n1
0 n1 0
2
| (1x)n2 x 1
(n1)(n2)
0
2
1
(1
x)n2d
x
(n1)(n2) 0
2
| (1 x )n 31
2
(n 1 )n ( 2 )n ( 3 )
0 (n 1 )n ( 2 )n ( 3 )
2
一、定积分的换元积分法
定理1: (定积分的换元积分法)
设函数 f ( x) C [a, b],作变换 x (t),
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
0
T
aT
a f(x)dx0 f(x)dxT f(x)dx
（1）
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（2）
（3）
证(1)+(3)=0
7
作变 x t 换 T ,d x dt
a T
a
T f(x )d x 0f(t T )dt
a
a
0
0f(t)d t0f(x)d x af(x)dxaT NhomakorabeaT
所以 a f(x)dx0 f(x)dx
1 4
x
[解] 原 式 1ln xdx 4ln xdx
1 4
x
1x
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| (2
1
xlnx1
4
1
1 4
2 xdx) x
| (2
4
xlnx
4
2
xdx )
11x
| | 1
4
(2x ln x 4x )1 (2x ln x 4x )1
4
6ln22
12
[例 2]计 算 1x2(1x)ndx 0
作业
P176 习题6.3
16. 19. 20. P182 习题6.4
3(2)(6). 5. 7(3)(7). 9. P186 习题6.5
4. 5. 25.
预习: P198—210 09.10.2020
1
第十八讲 定积分（三）
一、定积分的换元积分法 （例题）
二、定积分的分部积分法
三、综合例题
09.10.2020
又由 f(x)为偶函数知
09.10.2020
f(x)f( t)f(t)
4
从而由换元公式，得
0
0
a
f(x)d x f(t)d t f(t)dt
a
a
0
为什麽?
a
定积分与积分变量
f (x)dx
0
所用字母无关！
a
0
a
f(x )d x f(x )d xf(x )dx
a
a
0
［例如］:
a
a
a
(n1) 2sinn 2x(1si2n x)dx 0
09.10.2 020 I n ( n 1 ) I n 2 ( n 1 ) I n
14
n1 In n In2 (n2)
当n2k时,得 到
I2k02si2k nxdx (2(k2k )1!)!!!2
当 n2k1时 ,得到
I2k102si2kn 1xd x((2 2k k 1 2))!!!!1