清华大学微积分高等数学课件第19讲定积分的应用一
《定积分的应》课件
积分常数倍性质：定积分具有积分常数倍性质，即对于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，有∫k f(x) dx = k ∫ f(x) dx，其中k为常数。
定义：直接计算法是指通过直接计算定积分来求解的方法 适用范围：适用于被积函数简单、积分区间已知的情况 计算步骤：首先确定积分区间，然后根据定积分的定义进行计算 注意事项：在计算过程中需要注意积分的上下限和被积函数的取值范围
适用范围：当被积函数较复 杂或难以直接计算时
定义：将定积分中的被积函数 进行适当的变量替换，以便简 化计算
定义：特殊函数是指具有特殊性质 的函数，如三角函数、指数函数等。
注意事项：在计算特殊函数的定积 分时，需要注意函数的性质和计算 公式的适用范围。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算方法：对于特殊函数的定积分， 我们可以利用已知的定积分的计算 公式进行计算。
应用：特殊函数的定积分在数学、 物理等领域有着广泛的应用。
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：定积分是函数在区间[a,b]上与直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形的面积 几何意义：定积分表示曲边梯形的面积 性质：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可积性、积分区间上的可加性 计算方法：利用微积分基本原理计算定积分的值
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分，可以分别对每个函数进行定积分后 再相加或相减。
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
《高中定积分的应用》课件
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、b x =b a <;x 轴及连续曲线)(x f y =0)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..不妨假定0)(≥x f ;下面来求曲边梯形的面积..由于c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..（1） 分割用直线1x x =;2x x =;1-=n x x bx x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S等于n 个小曲边梯形的面积之和;即∑=∆=ni i S S 12近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值..令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有∑=→∆=ni i i x f S 1)(lim ξλ上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..1.2定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ..并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰ba dx x f )(;即⎰badx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ 1其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;∑=∆ni iixf 1)(ξ称为积分和..（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即=S ⎰badx x f )()0)((≥x f2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba<b 所围成的平面图形;它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =-⎰ 1例 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示;先求出 直线与抛物线交点P1;-1与Q9;3.用X=1把图形分成左;右两部分;应用公式 （1） 分别求得它们的面积为1110[(-)]24/3,A x x dx xdx =-==⎰⎰921328()23A x x dx -=-=⎰. A=1A +2A =32/3..2.2定积分在立体几何中的应用 2.2.1由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体;它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间a<b.为了方便起见称Ω为位于a;b 上的立方体..若在任意一点x ∈a;b 处作垂直于x 轴的平面;它截得Ω的截面面积显然是x 的函数;记得Ax;x ∈a;b;并称之为Ω的截面面积函数..则通过定积分的定义;得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰..例 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体椭球的体积..解 以平面00()x x x a =≤截椭球面;得椭圆它在yoz 平面上的正投影：22222200221(1)(1)y z x x b c aa+=--..所以截面面积函数为Ax=22(1)x bc aπ-;x ∈-a;a.于是求得椭球体积V=224(1)3ba x bc dx abc a ππ-=⎰..显然;当a=b=c=r 时;这就等于球的体积43π3r ..pQ图2-12.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ;x ∈a;b 不妨设fx>=0.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面;则面积公式s=2π(baf x ⎰..如果光滑曲线C 由参数方程x=xt;y=yt;t ∈α;β给出;且yt ≥0;那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例 计算圆2x +2y =2R 在1x ;2x ⊂-R;R 上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.. 解 对曲线在区间1x ;2x 上应用公式3;得到 S=2π21x x ⎰=2πR 21x x -..特别当1x =-R; 2x =R 时;则得球的表面积S 球=4π2R .3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本;边际收入;边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量增量就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ 1()()()baC b C a C x dx '-=⎰ 2()()()baL b L a L x dx '-=⎰ 3例 已知某商品边际收入为0.0825x -+万元/t;边际成本为5万元/t;求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ;总成本C ()x ;利润()I x 的改变量增量..解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式1、式2、式3;依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=15300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 某厂生产某种产品;每日生产的产品的总成本C 的变化率即边际成本是日产量x 的函数xx C 257)(+=';已知固定成本为1000元;求总成本函数y .解 因总成本是边际成本的一个原函数;所以)(x C ⎰+=dx x)257(c x x ++=507已知当0=x 时;1000)0(=C ;代入上式得1000=c ;于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R ..已知销售总收入对销售量的变化率即边际收入x x R 52300)(-=';求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解 因销售收入是边际收入的一个原函数;按题意;有)300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -=16000=元3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ;则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率..例 某银行的利息连续计算;利息率是时间t 单位：年的函数：()0.08r t =+求它在开始2年;即时间间隔0;2内的平均利息率..解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈例 某公司运行t 年所获利润为()L t 元利润的年变化率为()310L t '=⨯/年求利润从第4年初到第8年末;即时间间隔3;8内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末;利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰元/年即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元..3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t 年时的收入为()f t 万元;年利率为r ;即贴现率是()rt f t e -;则应用定积分计算;该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰..设某工程总投资在竣工时的贴现值为A 万元;竣工后的年收入预计为a 万元年利率为r ;银行利息连续计算..在进行动态经济分析时;把竣工后收入的总贴现值达到A;即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T 年称为该项工程的投资回收期..例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元;竣工后的年收入预计为200万元;年利息率为0.08;求该工程的投资回收期..解 这里1000A =;200a =;0.08r =;则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000;即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=- =6.39年3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品;年产量为x 吨时;总费用的变化率即边际费用为)(x f 825.0+=x 单位：百元/吨;这种产品每吨的销售价为3000元;问一年生产多少产品工厂利润最大;并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数;故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=百元;又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-=令 )(x L '0=;得88=x 吨..驻点唯一..此时025.0)88(<-=''L ;由实际问题可知;当88=x 时;)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L 百元.因此;年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元..例 2 某工厂生产一种产品;每日总收入的变化率即边际收入是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='单位：元/件..该厂生产此种产品的能力为每小时30件;问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大 并求出此最大总收入值.解 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=;令 02.030)(=-='x x R ;得150=x ;又02.0)(<-=''x R ;因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ;由实际问题知;当150=x 时;)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此;每日取得最大总收入的产量为150件;此时2250)150(=R 元.完成150件产品需要的工时为530150=小时;所以;每天生产这种产品5小时;就使每日收入最大;最大值为2250元..3.5 资本存量问题例1 资本存量)(t s s =是时间t 的函数..它的导数等于净投资)(t I ..现知道净投资t t I 3)(=单位：10万元/年..求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量s 是净投资的一个原函数;故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝1410万元所以;第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元..例 2 某银行根据前四年存款情况;知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =单位：万元/年;计划从第五年起积存现金1000万元..按此变化率需几年时间解 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即 1000]4)4[(9584949-+=x由此;得 49494589000)4(+=+x 解此方程;得9993.94≈+x6≈x .所以;从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中;生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述;它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价..1p 是消费者会购买此种商品的最高价..1q 是免费供给此种商品的需求量如卫生纸经市场功能调节后;市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ;两条曲线在),(**p q 相交..消费者以平衡价格购买了某种商品;他们本来打算出较高的价格购买这种商品;消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数..用积分式来表达就是：消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品;他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品;生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入..用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质;计算河床的平均深度时;应用定积分中值定理知识..此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中;主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度;以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据..只要测量出河面在某处的宽度B;河床的横断面形状和河床的最大深度h ;则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度h ;即⎰-=ba dx x f ab h )(1m. 例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b;河流的横断面为一抛物线弓形;河床的最深处在河流的中央;深度为h ;求河床的平均深度-h .分析：首先;选取坐标系使x 轴在水平面上;y 轴正向朝下;且y 轴为抛物线的对称轴..于是;抛物线方程为y=h-22x b h⋅.然后;运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h . 解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.4.2定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积;应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识..此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中;主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积;进而计算截面流量即渠系测流..由水利学知识可知;单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量;即Q ＝V/tm 3/s.在水利工程中;流量的计算通常运用公式Q=svm 3/s;即过水断面面积s 与流速v 的乘积..例1有一条宽为24米的大型干渠;正在输水浇灌农田;试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流..分析：根据灌溉管理学知识;首先选择测流断面;确定测线..测流断面选择在渠段正直;水流均匀;无漩涡和回流的地方;断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条..其次;测定断面..先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索;测出测深线的起点距与断面起点桩的水平距离；测线深度;用木制或竹制的测深杆施测;从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深;测得数据如下表..根据施测结果绘出测流断面图;如图所示..第三;利用流速仪施测断面流速..例如;利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四;近似计算渠道过水断面面积和流量... 测线深度施测数据表 单位：m解答：（1） 抛物线法辛卜生公式：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. （2） 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.例 2有一条河流;宽为200米;从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深;测的数据如下表..试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值.. 单位：m4.3微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛;求解物体所受液体的侧压力;应用微元法知识..此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中;主要应用于计算水闸及输水建筑物如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等上的闸门所受水压力的大小;作为设计或校核闸门结构的一个重要依据..水闸是一种低水头水工建筑物;既能挡水;又能泄水;用以调节水位;控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边;在水利工程中的应用十分广泛..闸门是水闸不可缺少的组成部分;用来调节流量和上、下游水位;宣泄洪水和排放泥沙等..闸门的形式很多;按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等..闸门的主要作用是挡水;承受水压力是其作用荷载之一..运用微元法计算闸门所受水压力时;设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=fx ＞0;0≤a ≤x ≤bx=a;x=b 及x 轴所组成..x 轴正向朝下;y 轴在水平面上;水的密度为ρ=1000㎏/m 3;则闸门所受的水压力大小为P= ⎰b adx x gxf )(ρN.例 有一个水平放置的无压输水管道;其横断面是直径为6m 的圆;水流正好半满;求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力..分析：首先建立合适的直角坐标系;如图所示;则圆的方程为222r y x =+=9. 然后;运用微元法求解即可.. 解答：P=1.76×105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统..血液流经全身通过静脉进入右心房;然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气..之后通过肺静脉流回左心房;再通过主动脉流往全身其它部位;进行血液循环..心输出量就是单位时间一分钟内;心脏泵出的血液量;即血液通过动脉的速率..安静状态下;成年男性每搏输出量为60～80毫升;心率75次/分钟;故心输出量约4.5～6升；女性的心输出量比同体重男性的约低10％..人体的血液一直在周身循环;我图4-2们只能人为定义血液流动的起点和终点;即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量;所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量..最简单的辅助材料就是染料;即指示剂..具体做法是把指示剂加入到右心房;那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉..通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度;直到指示剂基本消失;即指示剂全部流出心脏..那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢严格意义;只能测定某一时刻指示剂的浓度;是一系列的离散值;我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的;所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值;这种思想使我们很容易想到积分的概念;所以可建立数学模型解决这个问题..解 令ct 是t 时刻指示剂的浓度..如果把时间段0;t 划分成n 个等长的小时间段t ∆;指示剂流量=ctF t ∆;其中F 为我们测定的心输出量;这样总量即为()()n nc t F t F c t t ∆=∆∑∑;令n →∞时;指示剂总0()TA F c t dt =⎰..那么心输出量F=()TAc t dt⎰.这里的A 为已知量;即投入右心房的指示剂总量;ct 通过测量探头读取..6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中;恒力做功是最简单的;公式为W F S =⋅． “以常代变”;功的微元应该通过恒力做功公式得到的．例 1 一压簧;原长1m ;把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m 如图6-1压缩到60cm 如图6-2所做的功．图6-1图6-2解令起点为原点;压缩的方向为x 轴的正方向当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时如图6-3图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x ==在此力的作用下;再继续压缩一点点dx ;即压缩至x dx +处由于dx 很小;这个压缩过程可认为力()F x 不变;即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx = 积分得W ()0.40F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例2 在原点处有一带电量为q +的点电荷;在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处;求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动;移动至无穷远处;电场力要做多少功． 解点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx=k 为常数 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x == 则移至x b =处电场力做的功2b a qW k dx x=⎰1bkqax =- 11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；移至无穷远处电场力做的功2a qW k dx x +∞=⎰kqa=物理学中称此值为电场在x a =处的电位． 例 3 一圆台形水池;深15m ;上下口半径分别为20m 和10m ;如果把其中盛满的水全部抽干;需要做多少功 解水是被“一层层”地抽出去的;在这个过程中;不但每层水的重力在变;提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水x 处厚为dx 的扁圆柱体;如图6-4阴影部分所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2152203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．6.2求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅;这时密度是常量；但对于密度不均匀密度是变量的物体的质量就不能直接用上述公式了;而应该用微元法． 例 一半圆形金属丝;其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比;求金属丝的质量． 解 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==-()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R k R x dx R x=-⋅-kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 1 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片;其面密度()2cos A γθθ=+;试求此物质薄片的质量． 解()22111cos 22dA r d d θθθ==+ ()A dm dA γθ=()()212cos 1cos 2d θθθ=++ ()3145cos 2cos 2cos 2d θθθθ=+++ ()230145cos 2cos 2cos 2m d πθθθθ=+++⎰321145sin sin 2sin sin 023πθθθθθ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4π=．例 2 设一立体为曲线211y x=+关于x 轴的旋转体;其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=;试求该立体的质量． 解图6-62211x dV dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭图6-6中小圆柱体体积 ()x dm x dV γ= 2211x dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭()221xdx x π=+()221xm dx x π+∞-∞=+⎰()2221xdx x π+∞=+⎰()()22211x d x π+∞-=++⎰2101x π+∞=-+ π=．6.3 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到;即P gh A γ=⋅;其中γ为液体密度;压强gh γ是个常量匀压强．现在如若把薄板垂直放置呢 薄板上的压强还是常量吗 还能用上边那个简单的公式吗 例 1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门;闸门垂直放置且上边与水面齐如图6-4;试计算闸门一侧所承受的水压力． 解回顾例3;我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地;侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条如图阴影部分所承受的水压力;即dP gxdA γ=2gx ydx γ= 22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭29400000=()N ．参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社;2001：130-150．2 朱峰．大学物理M.北京：清华大学出版社;2004：15-80．3曹定华．微积分M．上海：复旦大学出版;2006：13-14．4马敏﹑冯梅．经济应用数学M．苏州：苏州大学出版社;2007：13-20．。
微积分课件(定积分及其应用
10 圆的渐伸线
11 笛卡儿叶形线
12 双纽线
13 阿基米德螺线
14 双曲螺线
15 求曲线 r 3cosθ 及 r 1 cos θ 分别所围成的图形的公共部分的 面积
16 求曲线 r 2sinθ 及 r2 cos2 θ 分别所围成的图形的公共部分的面 积
2
17 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两部分的面积。
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7 36
. .
44 4 4
么么么么方面
• Sds绝对是假的
12. 例 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
由对称性
S
r
(
)d
a cosd
切线所围成图形的面积
。
y
由 y x
。 。
得两切线的斜率为
k , k
l1
l2
故两切线为 l : y x , l : y x
其交点的横坐标为
x
o
3
x
3
S = 2 [4x 3 ( x 2 4x 3)]dx 0
[ x
( x
x
)]dx
–3
8
4. 曲边扇形的面积
分析
1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
05.12.2020
教学ppt
14
（二）空间立体的体积 1. 已知平行截面面积立体的体积
A(x)
a
体积
05.12.2020
x xdx
b
V A(x)dx 教a学ppt
x
b
15
2. 旋转体的体积 y
A(x)y2
y f(x)
x
oa
xxdx b
V by2dx bf2(x)dx
V2V1 2 0ay2dx2ab22
a(a2 x2)dx
0
| 2
05.12.2020
b2 a2
(a2xx3) 3 教学ppt
a 0
4 ab 2
3
18
[例6]怎 样 求 由 曲 y线x, 直 线x2
和x轴 所 围 图 ,绕形y轴 旋 转 所
旋转体的体积？
[解法一]
y+dy
取y为 积 分 变 .即量 y
1 2
12
o
A 1 x1 y2
x
1
A2A1202(1y25y2)dy
| 2
12(14y2)dy2(y4y3)
1 2
2
0
05.12.2020
教学ppt
3 03 10
2. 极坐标系下平面图形面积的计算
求曲线 ( )
及射线 ,
所围成的面积.
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
面积微元
()
o
面积微元：小圆扇形
dA 12()d
2
05.12.2020
A1 2()d
2 教学ppt
11
[例 3] 求 心脏 a(线 1cos)所 围
的 面 A. 积
[解] 利用对称性
A2A1
21 2
2()d
0
[a(1c
os)]2d
0
o
4a2
c
o4s
d
0
2
8a2 2co4stdt 0
05.12.2020
3 a2
2 教学ppt
12
3.参数方程下求图形面积
0 i1
第一步：分割 [a,区b],间 取具有代表
的小区[x间 , xx]“ , 不变代,写 变出 ”
局部量的近似值 Af(x)x
微分近似
要求 A f(x )： x (x )
第 二 步 ： x令 0,微 元 在 区 [a, b间 ]上
无 限 积,得累定 积 分 就 是 整 体
b
05.12.2020
A f (x)dx a教学ppt
yc, yd所围成的 A 面积
y
d
y dyy
x(y) x(y)
c
面积公式：
o
x
05.12.2020
A d[(y)(y)]dy
c
教学ppt
9
[例 2]求 由x曲 5y2线 ,x1y2所 围
的 面 A. 积 1 y
[解] 解 方 程 组
2
x 5y2
x x
5y2
1 y2
y1 y 2
作业
P201 习题7.1 P210 习题7.2 P218 综合题 P113 习题4.3
1(5) 2. 8(2). 11(1). 15(1) 5. 15(2).
预习: P211—218
05.12.2020
教学ppt
1
第十九讲 定积分的应用（一）
一、微元分析法
二、几何应用
05.12.2020
教学ppt
a
a
05.12.2020
教学ppt
16
y
d
x(y)
y+dy y
c
x
o
A(y)x2
V dx2dy d 2(y)dy
05.12.2020
c
教学ppt
c
17
[例5]
求
椭ax圆 22 by22
1绕x轴
y
旋
转
所
旋 转 体 的V.体 积
[解] 上半椭圆方程为
o
y b a2 x2 (axa)
a
x
a
利 用 对 称,性得 到
2
一、微元分析法
可以应用定积分计算的量有如下特点:
(1)不 均 匀 变化 的 整 A依体赖量于
自 变 量 x的 某 个 区[a,间b].
n
(2)具 有 可 .即 , 加 A 性 Ai
i1
(3)部分量 Ai可“以不变代变”
求得近似值A f ( ) x 05.12.2020
教学ippt
i
i
3
y
[例 4] 求 星 形 xy线 aasc： io3n 3tst t[0, 2]
所围面积。
05.12.2020
a
教学ppt
13
[解] 利用对称性
a
A4A1 4 0 ydx
40asi3n t3aco2t(ssitn )dt
2
122a2s i4n t(1s i2n t)dx 0
1a 2 2(31531)
思考： 5 0 5
薄壁圆桶
05.12.2020
何 时 选 择x为 积 分 变 量 ？ 何时选 教学ppt 择y为积分变量20？
（三）平面曲线的弧长 何谓曲线的长 ？ —内接折线长的极限
y
Mi M i1
M1
A M0
o
xi
05.12.2020
xi xi
m 1inaM xi1Mi
B M n
n
l lim Mi1Mi
5
二、几何应用
（一）平面图形的面积
1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
(1)由 直 线 xa, xb及x轴 和 连 续 曲 线y f (x)所 围 曲 边 梯 形 的 A 面
根据定积分的定义和几何意义知
b
Aa f(x) dx
05.12.2020
教学ppt
6
(2)由曲y线 f(x),yg(x)和直线
关键是 部分量 的近似
y
f(x)
b
a
f(t)dtA(b)
A
A( x)
oa
xxx b
x
f(x)C[a, b]
x
A(x) f(t)dt A (x)f(x) a
AdAf(x)dxdAf(x)dx
05.12.2020 A f( x ) d 教学o px p( t x )(x 0 )4
微元分析法
xa,xb所围成的 A 面积
先 , g (x 看 ) f(x )x [ a ,b ]
y y f(x)
面积微元
d A [f(x)g(x)d ] x
b
yg(x)
A [f(x)g(x)]dx
oa
xxdx b x a
b
Aa f(x)g(x)dx
05.12.2020
教学ppt
7
[例 1]求 由x曲 y1及 线直 yx 线 ,x2 所围成 A . 的面积
分y的 变 化 区 [0, 间2] o
2
V22 2 2x2dy4 2 2 y4dy
0
0
4 24 2162
05.12.2020
5
5 教学ppt
19
[解法二] 取x为积分变.即 量
分x的 变 化 区[0间 ,2] 体积微元是什麽？
dV2xydx
o
2
xxdx
V2
2
x
xdx
0
| 22x52 2162
[解] 解 方 程 组
y xy1 yx
x y 1
y
x
x1
x
2
1 1
(1, 1) x2
2
1
A
1
(x
)d x
x
o
| x2
23
( lnx) ln2
2
12
05.12.2020
教学ppt
2
1
x
8
设连续 (函 y) , (数 y)满足
0 (y )(y )y [ c ,d ]
求由曲 x线 (y),x(y),和直线