微积分之函数、极限与连续
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。
它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。
本文将对进行详细的阐述和探讨。
一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。
它是微积分学中最基本的概念之一。
如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。
如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。
如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。
如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。
设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。
一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。
因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。
三、的关系是密不可分的概念。
在进行微积分运算时，是不可缺少的。
一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。
同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。
可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。
因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。
反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。
四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。
以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。
例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。
而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。
数学公式知识：微积分中的极限与连续性
数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。
其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。
本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。
一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。
在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。
数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。
例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。
当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。
当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。
二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。
2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。
3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。
4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。
三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。
也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。
例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。
在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。
四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。
2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。
3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。
四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这一数学领域中，函数极限与连续性是两个至关重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基石，也是解决各种实际问题的有力工具。
让我们先从函数极限开始说起。
简单来讲，函数极限描述的是当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
想象一下，我们有一个函数 f(x)，当 x 越来越接近某个特定的数 a 时，f(x) 会趋近于一个确定的值 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。
举个例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1)，当 x 趋近于 1 时，分母和分子都趋近于 0。
但是，如果我们直接约分，就会得到 f(x) ＝ 1。
所以，当 x 趋近于 1 时，这个函数的极限就是 1。
这是一个比较简单直观的例子，但在实际情况中，函数可能会复杂得多。
函数极限的存在与否以及具体的值，对于理解函数的性质有着重要的意义。
如果函数在某个点的极限存在，那么它在这个点附近的行为就会相对比较“规律”。
再来说说函数的连续性。
一个函数在某一点是连续的，意味着当自变量在这一点有微小的变化时，函数值也会有相应微小的变化，而不会出现突然的跳跃或者中断。
用更通俗的话来说，如果我们能够一笔不间断地画出函数在某一点及其附近的图像，那么这个函数在这一点就是连续的。
比如说，常见的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，y 都能随之平滑地变化，不会出现突然的断开或者跳跃。
那函数的极限和连续性之间有着怎样紧密的联系呢？实际上，如果一个函数在某一点是连续的，那么它在这一点的极限就等于这一点的函数值。
反之，如果函数在某一点的极限存在，并且等于这一点的函数值，那么这个函数在这一点就是连续的。
这种联系为我们研究函数的性质提供了极大的便利。
通过判断函数的极限是否存在以及是否等于函数值，我们可以迅速确定函数在某一点是否连续，进而了解函数在这一点附近的行为特征。
微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
x 1
x 1
左右极限存在不相等
所以 x =1为跳跃间断点
前页 后页 结束
3.无穷间断点
f(x)在点 x的0 左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 x 为0 f(x)的无穷间断点
例4y
1 x
x=0为无穷间断点
4.振荡间断点
当 x时x，0 函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
续函数。 因此,基本初等函数在其定义域内连续.
定理3设函数y = f(u)在点 处u 0连续,u= f (x)在点 处连x 0 续,
且 u0 ,则复(x合0)函数
在点yf处[连(x续)]. x 0
即： lx ix0m f[(x) ]f[(x0)]
因此,一切初等函数在其定义区间内连续. 前页 后页 结束
解 函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义
所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点
(Ⅰ)
x2 x
lim
x1
x (x2 1)
所以x = -1是函数的无穷间Fra bibliotek点(Ⅱ)
x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x11) 1 x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x1 1) 1
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这门学科中，函数极限与连续性是两个极为重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基础，也在解决各种实际问题中发挥着关键作用。
让我们先从函数极限说起。
想象一下，有一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个特定的值 a 时，函数 f(x) 的值会越来越接近一个确定的数 L ，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L 。
这里的“趋近”可以是从左边趋近，也可以是从右边趋近。
举个简单的例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1) ，当 x 趋近于1 时，分母和分子都趋近于 0 。
但是，如果我们直接把 x ＝ 1 代入函数，会得到 0/0 这种不确定的形式。
然而，当 x 非常接近但不等于 1 时，比如 10001 或者 09999 ，我们会发现函数的值非常接近 1 。
所以，我们就说这个函数在 x 趋近于 1 时的极限是 1 。
函数极限的定义是非常严谨和精确的。
用数学语言来表述，就是对于任意给定的一个很小的正数ε ，都存在一个正数δ ，使得当 0 ＜｜x a| ＜δ 时，｜f(x) L| ＜ε 成立。
这个定义虽然看起来有点复杂，但它的核心思想就是说，只要 x 与 a 足够接近（但不等于 a ），那么 f(x) 与 L 的差距就可以任意小。
了解了函数极限，接下来谈谈函数的连续性。
一个函数在某一点处连续，直观地说，就是当自变量在这一点处有一个很小的变化时，函数值也会有一个相应的很小的变化，而且函数在这一点没有“跳跃”或者“断裂”。
比如说，常见的一次函数 y ＝ x ＋ 1 ，在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，只要变化量很小，函数值 y 的变化也会很小，而且图像是一条连续不断的直线。
再看一个稍微复杂点的例子，函数 f(x) ＝｜x| 。
在 x ＝ 0 处，当 x从负数趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于 0 ；当 x 从正数趋近于 0 时，f(x)的值也趋近于 0 ，并且 f(0) ＝ 0 。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分-第二章-极限与连续
x 1
y
y
f(x)=x+1
g (x) x2 1 x 1
(1,2)
-1 O 1
x
图１
-1 O 1
x
图２
函数 f (x) x 1与 g(x) x2 1是两个不同的函数，前者
x 1
在 x 1处有定义，后者在 x 1处无定义．这就是说，当 x 1时， f (x)，g(x)的极限是否存在与其在 x 1处是否 有定义无关．
f(x0 )Fra bibliotekA或f (x) A(x x0 ).
由 该 定 义 知 , 讨 论 函 数 f (x) 在 x0 处 的 左 极 限
lim
x x0
f
(x)
A时，在自变量
x
无限接近于x0
的过程中，恒
有 x x0
,于是有
lim f (x) lim f (x) A.
x x0
x x0
定理 1 lim f (x) A的充要条件是 xx0
邻域的概念：开区间（ x ，x ）称为以 x为中 心，以 （ ＞０）为半径的邻域，简称为点 x的邻域，
记为 N （ x ， ）．用 N (xˆ0 , )表示 x0 的空心邻域，即 (x0 , x0) (x0, x0 )( 0)．
定义１ 设函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , ) 内有定义，如果当自变量 x 在N (xˆ0 , ) 内无限接近于 x0
6． x 时函数 f (x)的极限
定义 6 设函数 f (x)在(, a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或 x 无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为 x 时函 数 f (x)的极限，记 lim f (x) A或 f (x) A(x )．
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数、极限、连续是微积分中的重要概念，它们是研究函数性质和计算函数值的基石。
这些概念都有相应的公式和定理，本文将就这些概念逐一展开介绍。
一、函数函数是一个集合与集合之间的对应关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素上。
数学上，函数通常用f(x)或者y 来表示，其中f是函数名，x是自变量，y是因变量。
当自变量取不同的值时，由函数公式可以计算出对应的因变量的值。
函数的概念十分重要，它是微积分的基础，涉及到诸多概念和理论。
在实际应用中，函数可以描述多种变化关系，如线性关系、指数关系、对数关系等。
二、极限极限是函数中的重要概念，它描述了函数在一些点附近的性质。
当自变量趋近于一些值时，函数的值是否趋近于一些特定的值。
通常用符号的方式表示，如 lim f(x) = L ，其中 lim 表示极限，f(x) 表示函数，L 表示极限的值。
极限的计算可以通过代入法、夹逼法、泰勒展开法等方式进行。
极限的计算常常涉及到一些特定的极限公式，如 sin(x)/x 的极限为 1，e^x 的极限为自然常数 e。
极限的概念是微积分的核心，它与导数、积分等概念密切相关。
各种函数的性质可以通过极限来研究和描述，极限的计算为解决实际问题提供了方法和思路。
三、连续连续是函数的一个重要性质，它描述了函数在一些区间上是否没有突变。
当自变量在一个区间内变化时，函数的值是否也在这个区间内变化，即函数图像是否没有断裂点。
如果在一些点上左右两侧的极限存在且相等，那么函数在这个点上连续。
连续函数具有许多良好的性质，可以进行各种运算和推导。
连续函数在实际应用中有广泛的应用，如物理、经济、生物等领域。
四、重要公式在微积分中，存在一些重要的公式，它们是解决问题的基础。
以下是一些常用的公式：1.导数的基本公式：-(u+v)'=u'+v'，和法则- (ku)' = ku'，常数法则- (u * v)' = u'v + uv'，乘法法则- (u / v)' = (u'v - uv') / v^2，除法法则- (u^k)' = ku^(k-1)u'，幂函数法则-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，复合函数法则2.积分的基本公式：- ∫kdx = kx + C，常数法则- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，幂函数积分法则- ∫(1/x)dx = ln，x， + C，倒数函数积分法则- ∫e^xdx = e^x + C，指数函数积分法则- ∫sinxdx = -cosx + C， sin函数积分法则- ∫cosxdx = sinx + C， cos函数积分法则五、重要定理微积分中也有一些重要的定理，它们是揭示函数性质的基石。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点趋于无穷或趋近于某个特定值时的性质。
而函数的连续性则表示函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂，它是极限的一种重要性质。
本文将详细介绍函数的极限与连续性的基本概念、性质和应用。
一、函数的极限当自变量x在逼近某一特定值时，函数f(x)的极限描述了f(x)的值接近于何种程度。
形式上，当x趋近于c时，函数f(x)的极限为L，表示为lim(x→c)f(x)=L。
其中，c可以是实数、无穷大或无穷小。
函数极限的计算通常基于一些基本的极限性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限与无穷大等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂。
若函数在某一点x=c处连续，则满足以下三个条件：函数在点c的定义域内有定义；函数在点c的极限存在；函数在点c的极限等于函数在点c 处的函数值。
连续函数是一类特殊的函数，它在整个定义域内都具有连续性。
常见的连续函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、函数的极限与连续性的关系函数的连续性是函数极限的一种重要性质。
在一些情况下，函数在某一点的极限存在且与函数在该点的函数值相等，即函数在该点连续。
但也存在一些情况，函数在某一点的极限存在，但函数在该点不连续。
这种情况下，我们称函数在该点存在间断。
四、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在微积分中，函数的极限是导数和积分等概念的基础。
通过对函数的极限和连续性的研究，可以计算函数在某一点的导数、确定函数的最值、解微分方程等问题。
在实际问题中，函数的极限和连续性也具有重要的应用。
在物理学中，通过对物体的位置、速度和加速度等函数进行极限和连续性的分析，可以求解物体的运动轨迹、速度变化等问题。
在经济学中，通过对需求函数、供给函数等进行极限分析，可以推导出市场均衡价格和数量等重要结果。
总结函数的极限和连续性是微积分中的核心概念，具有广泛的应用。
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
ppt课件
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定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
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x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
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§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
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注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
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函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
最新微积分第1章函数、极限与连续3
lim
f [φ(x)]
过程代换 令u=φ ( x) :
=
lim f (u) = A.
u→a
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结束
例13 求极限
1 (1) lim ln 2 x →∞ x
y= =
1 x2
y→0+0 +
lim lny
= −∞.
y
(2) lim e +
x→0
− x
y=- x =
lim e = 1. y →0−
x→0 x
lim (x - 1) ⋅ lim (x + 2)
0 +1 1 =− = (−1)⋅ 2 2
注
只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意 义 (包括出现∞)，就可交换顺序。
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sin
例2
π
求 lim
n→∞
n 。 1 +1 n
解
π limsin n→∞ n = 0 =0 原式= 。 1 0 +1 lim + 1 n→∞ n
x2 − 1 例4 求 lim 2 . x→1 x + 2x − 3
0 消去零因子法） 解 ( 型 ) （消去零因子法） 0
2
因子 先约去不为零的无穷小 x − 1后再求极限 。
x −1 ( x + 1)( x − 1) x +1 1 = . lim 2 = lim = lim x→1 x + 2x − 3 x→1 ( x + 3)( x − 1) x→1 x + 3 2
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• 思考：你能否根据函数的极限运算法则，写出数 思考：你能否根据函数的极限运算法则， 列的极限运算法则？ 列的极限运算法则？
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A． B． C． 且 D． 且 提示：关于 ，要求分母不能为0 ，即 ；关于 ，要求 ，即 。 的定义域为 且
6．函数 的定义域是（ ）．答案：D
A． B． C． D． 提示：关于 ，要求分母不能为0，即 ；关于 ，要求 ，即 。因此函数 的定义域是
7．设 ，则 （）答案：C
A．0B．1 C． D．
提示：当 时，称函数 在 连续。因为 ，因此当 3时，函数 ，在 处连续
12．函数 的间断点是（）答案：A
A． B． C． D．无间断点
提示：若 在 有下列三种情况之一，则 在 间断：①在 无定义；②在 极限不存在；③在 处有定义，且 存在，但 。题中，分母 ，因此在 和 处无定义
作业（一）————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
2．函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
3.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即； 关于，要求，即且； 因此函数的定义域是
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：因为 ，因此 是奇函数。
3．函数 的图形是关于（ ）对称．答案：D
A． B． 轴C． 轴D．坐标原点提示：因为 ，是奇函数，因此 的图形是关于坐标原点对称
4．下列函数中为奇函数是（无）．
A． B． C． D． 提示：A. ,即 是偶函数； B. 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； C． 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； D． ，既非奇函数，也非偶函数。 因此本题没有一个待选答案是奇函数
2．曲线 在 点的切线方程是．答案： 提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。若给定曲线上的一点 ，则通过该点的切线方程为 。题中 ，将 代入上式，得 ，因此通过点(0,1)切线方程为 ，即
3．曲线 在点 处的切线方程是． 答案： 提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。若给定曲线上的一点 ，则通过该点的切线方程为 。题中 ，将 代入上式，得 ，因此通过点(0,1)切线方程为 ，即
4． ．答案：
提示：依照复合函数求导法则计算。
5．若y=x(x– 1)(x– 2)(x– 3)，则 (0)=． 答案：
提示：依照有限多个函数的乘积的求导法则（见P45），
+
6．已知 ，则 =．答案：
提示：
7．已知 ，则 =． 答案：
提示： ，
8．若 ，则 ． 答案：
9．函数 的单调增加区间是． 答案：
A． B． C． D．
提示：注意 比 少1，因此
8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．答案：D
A． ， B． ，
C． ， D． 提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中，A定义域不同；B对应的规则不同；C定义域不同；D对应的规则相同，定义域相同
9．当 时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：C.
三、解答题（每小题7分，共56分）
⒈计算极限 ．
解
2．计算极限
解
3. 解
4．计算极限
解
5．计算极限 ．
解
6.计算极限 ．解
7．计算极限 解
8．计算极限 ．
解
作业（二）————导数、微分及应用
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．曲线 在 点的斜率是．答案：
提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。题中 ，将 代入上式，得
6．曲线 在 处切线的斜率是（ ）． 答案：C
A． B． C． D．
提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。 ，将 代入上式得
7．若 ，则 （ ）．答案：CA． B． C． D． 提示：
8．若 ，其中 是常数，则 （）．答案C
A． B． C． D． 提示： ，
9．下列结论中（ ）不正确． 答案：C A． 在 处连续，则一定在 处可微. B． 在 处不连续，则一定在 处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D．若 在[a，b]内恒有 ，则在[a，b]内函数是单调下降的.提示：极大值可能出现在：①驻点（驻点是 的点）；② 连续但导数不存在的点。
4.函数，则．答案：提示：因为，因此
5．函数，则．答案：提示：因为当是在区间，应选择进行计算，即
6．函数，则．答案：提示：因为，பைடு நூலகம்此
7．函数的间断点是．答案：
提示：若在有下列三种情况之一，则在间断：①在无定义；②在极限不存在；③在处有定义，且存在，但。题中在处无定义
8.．答案：1；提示：
9．若 ，则 ．答案：2提示：因为 ，因此
A． B． C． D．
提示：以0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当 时，A趋向∞；B的极限为1；C的极限为0；D趋向∞。
10．当 （）时，函数 ，在 处连续.答案：B
A．0B．1 C． D．
提示：当 时，称函数 在 连续。因 ，因此当 1时，函数 ，在 处连续
11．当 （）时，函数 在 处连续答案：D
10．若 ，则 ．答案：1.5；提示：因为 ，因此
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1．设函数 ，则该函数是（ ）．答案：B
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
提示：奇函数是指 ，关于坐标原点对称；偶函数是指 ，关于 轴对称。题中 ，因此函数 是偶函数。
2．设函数 ，则该函数是（ ）．答案：A
10．函数 在区间 内单调增加，则a应满足．答案： 提示；当 时，函数 单调增加。题中， ，因此函数 在区间 内单调增加，a应满足 。
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1．函数 在区间 是（ ） 答案：D
A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增
提示： 当 时，函数 单调增加当 时，函数 单调减少。题中， ，令 ，得驻点 。当 时， ，函数单调减少；当 时， ，函数单调增加。因此函数 在区间 是先减后增。
2．满足方程 的点一定是函数 的（ ）答案：C.
A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点
提示：使 的点，成为函数 的驻点（P69定理3.2）
3．若 ，则 =（ ）． 答案：C
A.2B.1C.-1D. –2提示： ，
4．设 ，则 （ ）． 答案：B
A． B． C． D．
提示：
5．设 是可微函数，则 （）． 答案：DA． B． C． D． 提示：