析一元二次方程及解法

析一元二次方程及解法

析一元二次方程及解法

刘丽君

（河北省晋州市东里庄中学河北晋州 052200）

中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2008）10-00

一元二次方程是初中数学中的重要内容，学习和运用一元二次方程，不仅可巩固和加深对已

学过的数与式及运算和一元二次方程及解法的认识．同时也是学习二次函数、一元二次不等式、二次曲线的基础。为更好掌握这部分内容应该注意以下几个问题：

一、准确把握一元二次方程的定义

只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程。准确把握

定义应该注意三个条件，缺一不可。

1．只含有一个未知数；

2．未知数的最高次数是2；

3．必须是整式方程，如：+2x=0虽然只含一个未知数，未知数的最高次数是2，但不是整式，所以也不是一元二次方程。

二、牢固掌握一元二次方程的一般形式

即：经过整理化为ax2+bx+c=o(a≠O)的形式，其中ax2叫二次项，a Hq二次项系数’bx叫做一次项，b叫一次项系数，c叫做常数项。

注意：

(1)二次项系数a≠0，如果a=0那么二次项等于0，方程就不是一元二次方程了。

(2)无论二次项系数还是常数项，都要注意符号。

例1．一元二次方程3x2-5x-12=0二次项是3x2，二次项系数是3，一次项是-5x，一次项系数

是-5，常数项是-12．

三、熟练掌握一元二次方程的基本解法

(--)直接开方法。这种方法用于形如(x+a)2=b(b≥O)的一元二次方程，关键是掌握方程的特点：1．方程左边必须是完全平方的形式；

2．方程右边是非负数，利用平方根定义直接开方。

例2．解方程(x+3)2=2

解：因为X+3是2的平方根 所以X+3=±

即X+3=或X+3=-

所以x 1=-3+，x 2=-3-

(二)配方法。

把一般的一元二次方程设法变成(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解。

配方的关键是：

1．把二次项系数化为1；

2．方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

强调：当一次项系数不是2的倍数，特别是分数时，计算易出错，应特别注意。

例3．解方程：2x 2+3=7x

解：移项得：2x 2-7x+3=0

把方程的各项都除以2得： x 2- x+=0

即：x 2- x=-

配方得：x 2- x+(- )2=- +(- )2

(x- )2=

解这个方程得：x- =±

即：x 1=3，x 2=

(三)公式法。解一元二次方程时，先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac≥0的前提下，把各项系数a 、b 、c 的值代入x=(b 2-4ac≥0)，求得方程的根。关键问题是：

1．必须把方程化为一般形式；

2．强调b 2-4ac≥0；

3．确定a 、b 、c 的值时注意符号。

例4．解下列方程：

(1)2x 2+7x=4

解：移项得：2x 2+7x-4=0

∵ a=2 b=7 c=-4

b 2-4ac=49-4×2×(-4)=81>0

∴x==

∴x 1=，x 2=-4

(四)因式分解法。基本思想和方法根据是：如果两个因式的积等于0；那么这两个因式至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，他们的积等于0。方程的特点是：

1．一元二次方程的一边是0；

2．方程的另一边能分成两个一次因式。

值得注意的是：解方程时不能两边同时除以含有未知数的代数式，否则容易丢根。

例5．解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)

解：原方程可变形为：

3x(x+2)-5(x+2)=0

(x+2)(3x-5)=0

X+2=0或3x-5=0

x 1=-2，x 2=

特点：变形后能提公因式。

(2)(3x+1)2-5=0

解：原方程可变形为：

[(3x+1)+][(3x+1)-]=0

3x+1+=0或3x+1-=0

x 1=，x 2=

特点：变形后能用平方差公式。

(3)x 2-10x+16=0

解：原方程可变形为：

(x-2)(x-8)=0

x-2=0或x-8—0

x 1=2，x 2=8

特点：变形后能用二次三项式分解因式。

以上对一元二次方程的定义及解法中应注意的问题进行了归纳总结，其中公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但解题时应具体分析方程的特点。选择适当的方法。