平面向量的数量积(公开课)
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平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。
让我们来搞清楚什么是平面向量。
想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。
现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。
那么，这条线段就变成了一个向量。
那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。
那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。
用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。
这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。
假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。
那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。
所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。
这就是平面向量的数量积。
那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。
比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。
所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。
好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。
如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。
这样一来，问题就变得简单多了。
平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。
希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。
好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
19/42
【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝ －2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
4/42
2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因 为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
14/42
(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°， 且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ， 且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0， 即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172， 故答案为172.
平面向量的数量积及平面向量的应用(一轮公开)课
菜 单 隐 藏
高考总复习 B 数学（文）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
平面向量的夹角与模
【例2】 (1)(2014年锦州模拟)平面向量a与b的夹角为60° ， 2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．10
菜 单
隐 藏
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平面向量数量积的运算
→ ＝(1,2)， 【例 1】 (1)(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中，AC → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( BD A. 5 B．2 5 C．5
的乘积．
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1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3 ，且a⊥ (a＋b)，则a与b的夹角为( D ) π 2π 3π A. B. C. 2 3 4 5π D. 6
(1)交换律：a·b＝ b·a .
思考：(a·b)c=a(b·c)，对吗？
(2)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . (3)对λ∈R，λ(a·b)＝
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(λa)·b ＝ a·(λb)
．
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(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
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平面向量的夹角与模
【例2】 (1)(2014年锦州模拟)平面向量a与b的夹角为60° ， 2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．10
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平面向量数量积的运算
→ ＝(1,2)， 【例 1】 (1)(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中，AC → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( BD A. 5 B．2 5 C．5
的乘积．
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1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3 ，且a⊥ (a＋b)，则a与b的夹角为( D ) π 2π 3π A. B. C. 2 3 4 5π D. 6
(1)交换律：a·b＝ b·a .
思考：(a·b)c=a(b·c)，对吗？
(2)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . (3)对λ∈R，λ(a·b)＝
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(λa)·b ＝ a·(λb)
．
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(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
数学公开课：平面向量数量积的各种求法课件
02
平面向量数量积的坐标求法
坐标表示法
定义
平面向量数量积的坐标表示法是通过向量的坐标来计算数量积的方法。
公式
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
应用
适用于已知向量基底的情况，可以方 便地表示任意向量，并计算其数量积 。
03
平面向量数量积的基底求法
基底的定义与选择
基底的定义
基底是一组不共线的向量，可以 用来表示任意向量。
选择基底的技巧
选择基底时应考虑向量的线性无 关性、几何意义以及计算简便性 。
基底运算求法
01
02
03
定义法
根据数量积的定义，利用 基底表示任意向量，再计 算数量积。
平面向量数量积的投量在另一个向量上的投影 是一个标量，等于被投影向量与 投影方向向量的数量积除以投影
方向向量的模。
投影性质
投影长度总是非负的，当且仅当两 个向量共线时，投影长度为零。
投影与夹角关系
投影长度与被投影向量和投影方向 向量的夹角有关，夹角越小，投影 长度越大。
03
投影运算的几何解释
在三维空间中，投影运算可以理解为将一个向量从原点出发沿着某个方
向移动一定的距离。
投影与坐标求法
坐标系选择
在计算投影时，需要选择一个合适的 坐标系，使得投影方向向量和被投影 向量都落在坐标轴上或与坐标轴平行 。
【公开课课件】必修第二册第六章6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件
OA (cos,sin),OB (cos,sin ) 则 OAOB cos cos sin sin
设OA与OB的夹角为 ，则
OAOB | OA|| OB| cos cos 所以， cos cos cos sin sin
例3.用向量方法证明两角差的余弦公式 cos( ) cos cos sin sin
ab
a b ab 0
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐 标来运算,那么怎样用
a和b的坐标表示a • b呢？
探究：已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表 示a·b?
设两个非零向量a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1i y1 j b x2i y2 j,
33
【跟踪训练1】
1．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端 点坐标分别为 O(0,0)，B(1,1)，则―A→B ·―A→C ＝________.
解析 如图所示，在正方形 OABC 中，A(0,1)，
C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，
则
―A→B ＝(1,0)，
B(2,3)
AB AC 1方(法3之) 一13 0
AB AC
A(1,2) 0
ABC是直角思三考角：形还.有其
x
他证明方法吗？
设 a, b是两个非零向量，其夹角为θ，若 a (x1, y1),b (x2, y2 )
那么cosθ如何用坐 标表示？
cos a b
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. 答案 A
设OA与OB的夹角为 ，则
OAOB | OA|| OB| cos cos 所以， cos cos cos sin sin
例3.用向量方法证明两角差的余弦公式 cos( ) cos cos sin sin
ab
a b ab 0
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐 标来运算,那么怎样用
a和b的坐标表示a • b呢？
探究：已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表 示a·b?
设两个非零向量a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1i y1 j b x2i y2 j,
33
【跟踪训练1】
1．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端 点坐标分别为 O(0,0)，B(1,1)，则―A→B ·―A→C ＝________.
解析 如图所示，在正方形 OABC 中，A(0,1)，
C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，
则
―A→B ＝(1,0)，
B(2,3)
AB AC 1方(法3之) 一13 0
AB AC
A(1,2) 0
ABC是直角思三考角：形还.有其
x
他证明方法吗？
设 a, b是两个非零向量，其夹角为θ，若 a (x1, y1),b (x2, y2 )
那么cosθ如何用坐 标表示？
cos a b
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. 答案 A
全国高中数学优质课一等奖精品课件--平面向量的数量积
平面向量的数量积
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季，姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访，但半路车出了故障，他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行，他们出同样 的力，但谁做的功劳比较大呢？
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直， 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时，求a b 2当a b时，求a b.
3当a与b的夹角是 时，求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ，即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0， 。
(2)投影的概念： 如图所示，OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容？
来考考你的同桌吧，小伙伴们
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季，姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访，但半路车出了故障，他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行，他们出同样 的力，但谁做的功劳比较大呢？
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直， 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时，求a b 2当a b时，求a b.
3当a与b的夹角是 时，求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ，即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0， 。
(2)投影的概念： 如图所示，OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容？
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高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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特别地，a a
2
2
, 也就是 a a .
2
(4) cos
a b a b
. (5)
a b a b .
•
6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0 .这一结论对于向量，还 成立吗？ 若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有b 0 .
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中， 设BC a， CA b 求a b 的值。
o 解：如图可知： a与b 的夹角 120 o a b a b cos 2 2 cos120 1
A
B
C
练习：在平行四边形ABCD中， 已知|AB |=4，|AD|=3，DAB 60 D C 求：(1)AD BC 60 (2) AB CD A B (3) AB DA
o
解： a b | a || b | cos
5 4 cos120 10
o
随堂练习： 1 1、若 | a | 2,| b | , a与b的夹角为60， 2 1 则a b ( ) 2 2、 | a | 12,| b | 9, a b 54 2, o 则向量a与向量b的夹角 （45 ）
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义（一）
临澧四中数学组 陈宏林
•
1. 回忆两个向量的夹角
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 作 OA a ,
OB b , 则 AOB ( 0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角.
O A a 显然，当 0 时， a 与 b 同向；当 180 时， B
a c b c , c 0 , 但a b .
b
c
a
小结：
2、数量积：a b a b cos
1、物理背景：W F S F S cos
3、几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投 影 b cos 的乘积 .
b
a 与 b 反向 . 定义：如果 a 与 b 的夹角是90，我们就说 a 与 b
垂直，记作 a b .
•
2 . 回忆物理中功的算法
F
s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所作的功 W可用下式计算
W F s cos 其中 是 F 和 s 的夹角 .
下面我们引入向量数量积的概念.
0
5. 向量数量积的性质
设 a , b 都是非零向量， 是a 与 b 的夹角，则
(1) a b a b 0 .
o o （2）当 0 ， 90 时，a b 0; o o 当 90 ， 180 时，a b 0.
(3) 当 a 与 b 同向时， a b a b ; 当 a 与 b 反向时， a b a b .
(1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1 b cos . 我们把 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.
B
4. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
a
OA 1 | a | cos
A
B
B
b
B1 O
b
a
A
O(B1)
a
A
注意：当 为锐角时，投影是正值：
当 为钝角时，投影是负值；当 = 90°
时, 投影是 0 . 当 = 0º时，投影为 当 = 180°时，投影为 b .
b
;
•
(2) 两个向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积.
3. 平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角 为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作a b ，即 a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这数 量的大小与两个向量的长度及其夹角有 关. 此
谢谢大家！ 再见！
B B
b
O
b
a
B1
A
B1
O
a
A
练习： 1、 a 6, e 为单位向量，它们之 o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） . 2、已知 a 3, b 5, a b 12, 求 12 a在b 方向上的投影 . 5
3、已知 | a | 4， | b | 5， 在下列条件下，求 a b （1） a // b （2） ab （3） a与b的夹角为30
答案：不一定 . 当 a b 时， a b 0 ， 但两个向量可以都不是 零向量 .
(2) 如果 a、b、c 都是实数，a · c= b · c, 且 c≠0，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？
也就是，若 a c b c , 且 c 0 , 则一定有 a b 吗？ 答案：如图， a b , ,
(2) 前面所说的力所做的功 ，就是力 F 与其作用下物体产生的 位移 s 的数 量积 F s .
点 很 重 要
(3) 两个向量a 与 b 的数量积 只能写成 a b ,中间的“” 不能去掉，也不能写成 “ ” .
例 1 已知 a 5 , b 4 , a 与 b 的夹角 120 ，求 a b .