中考二次函数压轴题解题通法
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求证：无论为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m 0 时， x 1
x1
当 m 0 时，
2
3 m
、x2
1
m3
2
0
，x
3m
1
2m
，
综上所述无论:m 为何值，方程总有一个固
定的根是1。
函数过固定点问题
举例如下：已知抛物线 y x2 mx m 2（是常数），
求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定
１2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两 个定点构成等腰三角形”的问题
• 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。 （若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况； 若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助 于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示）， 按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点 间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的 横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点 纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这 个题意）。
二次函数常见题型 及解题策略
中考二次函数压轴题———解题通法研究
• 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级， 国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人 才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中 等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有 限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数 学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段 函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学 的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和 专家的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上 1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通 法，供大家参考。
x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割 成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和 （或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）
11.“两个三角形相似”的问题
• 两个定三角形是否相似： • 已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条
夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 • 不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三
的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程y x2 2 m1 x
∴
y x2 2
1
x
0
0
解得：
y x
1 1
∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求:关于的方程不论为何值,方程恒成立）
小结：关于x的方程 ax b 有无数解
a0
b
0
路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
两点间的距离公式
AB yA yB 2 xA xB 2
中点坐标
• 线段的中点的坐标为：
xA xB ，yA yB 2 2
一元二次方程有整数根问题
解题步骤如下：① 用和参数的其他要求确定
参数的取值范围 ② 解方程，求出方程的根
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数； 若是二次根式，被开方式是完全平方式。
角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 • 一个定三角形和动三角形相似： • 已知有一个角相等的情形： • 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后
把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知 角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那 两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即 可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个 动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个 定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大， 就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求 法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题
• 有两种常见解决的方案： • 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； • 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离 最大”的问题
5.常数问题
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定 直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的 问题
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问 题
8.三角形面积的最大值问题
三角形面积的最大值问题
9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定 点构成的四边形面积最大的问题”
几何分析法
• 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、 “直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分 析法能给解题带来方便。
几何分析法
几个自定义概念
1.求证“两线段相等”的问题
２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标 问题
A （1）如图，直线 l1 l2 ,点 在l2 上，分别在 l2 、 l1上确定
N 两点M、 ，使得AM MN之和最小。
路径最值问题
路径最值百度文库题
在平面直角坐标系中求面积的方法
• 直接用公式、割补法
函数的交点问题
函数的交点问题
方程法
• （1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度 • （2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 • （3）列方程或关系式
二次函数与轴的交点为整数点问题
• 解题步骤如下：① 用和参数的其他要
求确定参数的取值范围
•
② 解方程，求出方程的
根
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因
数；若是二次根式，被开方式是完全平方
式。
方程总有固定根问题
• 可以通过解方程的方法求出该固定根
已知关于的方程（mx2 3(m 1)x 2m 3 0 为实数），
“两个三角形相似”的问题
• 不知道是否有一个角相等的情形：
• 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三 角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观 察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角 三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐 标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角 形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个 直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相 等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角 的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意， 否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再 验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。
解：当 m 0 时， x 1
x1
当 m 0 时，
2
3 m
、x2
1
m3
2
0
，x
3m
1
2m
，
综上所述无论:m 为何值，方程总有一个固
定的根是1。
函数过固定点问题
举例如下：已知抛物线 y x2 mx m 2（是常数），
求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定
１2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两 个定点构成等腰三角形”的问题
• 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。 （若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况； 若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助 于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示）， 按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点 间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的 横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点 纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这 个题意）。
二次函数常见题型 及解题策略
中考二次函数压轴题———解题通法研究
• 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级， 国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人 才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中 等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有 限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数 学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段 函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学 的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和 专家的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上 1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通 法，供大家参考。
x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割 成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和 （或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）
11.“两个三角形相似”的问题
• 两个定三角形是否相似： • 已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条
夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 • 不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三
的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程y x2 2 m1 x
∴
y x2 2
1
x
0
0
解得：
y x
1 1
∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求:关于的方程不论为何值,方程恒成立）
小结：关于x的方程 ax b 有无数解
a0
b
0
路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
两点间的距离公式
AB yA yB 2 xA xB 2
中点坐标
• 线段的中点的坐标为：
xA xB ，yA yB 2 2
一元二次方程有整数根问题
解题步骤如下：① 用和参数的其他要求确定
参数的取值范围 ② 解方程，求出方程的根
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数； 若是二次根式，被开方式是完全平方式。
角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 • 一个定三角形和动三角形相似： • 已知有一个角相等的情形： • 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后
把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知 角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那 两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即 可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个 动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个 定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大， 就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求 法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题
• 有两种常见解决的方案： • 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； • 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离 最大”的问题
5.常数问题
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定 直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的 问题
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问 题
8.三角形面积的最大值问题
三角形面积的最大值问题
9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定 点构成的四边形面积最大的问题”
几何分析法
• 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、 “直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分 析法能给解题带来方便。
几何分析法
几个自定义概念
1.求证“两线段相等”的问题
２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标 问题
A （1）如图，直线 l1 l2 ,点 在l2 上，分别在 l2 、 l1上确定
N 两点M、 ，使得AM MN之和最小。
路径最值问题
路径最值百度文库题
在平面直角坐标系中求面积的方法
• 直接用公式、割补法
函数的交点问题
函数的交点问题
方程法
• （1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度 • （2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 • （3）列方程或关系式
二次函数与轴的交点为整数点问题
• 解题步骤如下：① 用和参数的其他要
求确定参数的取值范围
•
② 解方程，求出方程的
根
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因
数；若是二次根式，被开方式是完全平方
式。
方程总有固定根问题
• 可以通过解方程的方法求出该固定根
已知关于的方程（mx2 3(m 1)x 2m 3 0 为实数），
“两个三角形相似”的问题
• 不知道是否有一个角相等的情形：
• 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三 角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观 察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角 三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐 标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角 形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个 直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相 等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角 的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意， 否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再 验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。