谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第7章导行电磁波【圣才出品】

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电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社

电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。

当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。

就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。

即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。

2.2研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。

2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r的立方成反比。

E/和E0所表征的静电场特性2.4简述/表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。

E0表明静电场是无旋场。

E2.5表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。

高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以与闭合面外的电荷无1关，即ES在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分ddVS0V布的电场强度。

2.6简述BB0表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线，J表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源B00和BJ0所表征的静电场特性。

2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。

安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和倍，即B0I如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。

dl2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。

《电磁场与电磁波》第4版(谢处方编)课后习题答案高等教育出版社七章习题解答

式中
都是实数，故也是实数。
反射波的电场为
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
式中，是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
解（1）设反射波的电场强度为
据理想导体的边界条件，在z=0时应有
故得
则
可见，反射波是一个沿方向传播的左旋圆极化波。
（2）入射波的磁场为
反射波的磁场为
故合成波的磁场为
则导体板上的感应电流为
（3）合成电场的复数表示式为
故其瞬时表示式为
7.26如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为
题7.16图
解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为和。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
而媒质1中的反射波电场为
与之相伴的磁场为
利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为
应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
（1）
式中的是良导体中波的传播常数，为双曲正切函数。将代入式（1），得
（2）
由于良导体涂层很薄，满足，故可取，则式（2）变为
（3）
分界面③上的反射系数为
可见，欲使区域（1）中无反射，必须使
故由式（3）得

《电磁场与电磁波》(第四版)课后习题解答(全)

第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。

和向量错误！未找到引用源。

垂直。

（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ）所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。

电磁场与电磁波谢处方课后答案

电磁场与电磁波（第四版）谢处方课后答案第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C和()⨯AB C ；（8）()⨯⨯AB C 和()⨯⨯A B C 。

解（1）23A x y z+-===+e e e A a e ee A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e ee (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5=（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x y z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

电磁场与电磁波课后答案

第一章矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f)()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==ρρ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρρ (e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρρρ (f)19)(-=⋅⨯C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρπϕ; ρB z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) B A ρρ+解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπρρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρρρ 1.3 ρA r=+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρA B +解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯rA B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρB x y z =+-α∃∃∃3 当ρρA B ⊥时，求α。

解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ⋅=0, 由此得 5-=α1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z xF x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

电磁场和电磁波第四版课后思考题答案及解析第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社

2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。

当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。

就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。

即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。

2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。

2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。

2.4简述和所表征的静电场特性表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。

表明静电场是无旋场。

2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。

高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以与闭合面外的电荷无布的电场强度。

2.6简述和所表征的静电场特性。

表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线，表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。

安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和倍，即 2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。

在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么电位移矢量定义为其单位是库伦/平方米（C/m 2） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ ερ/=•∇E 0=⨯∇E ερ/=•∇E 0=⨯∇E VS 0 0=⋅∇BJ B 0μ=⨯∇0=⋅∇B J B0μ=⨯∇0μC P•∇=-p ρnsp e •=P ρE P EDεε=+=0在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B 0 和磁化电流产生的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度又什么关系？单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度：磁化电流面密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与非均匀媒质，线性媒质与非线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率处处相等，不是空间坐标的函数。

电磁场与电磁波(第四版)课后答案__谢处方

电磁场与电磁波（第四版）课后答案第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解（1）23A x y z +-===+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由c o sAB θ=11238=A B A B ，得1c o s AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)4x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

(完整版)电磁场与电磁波(第四版)课后答案详解--谢处方

解（1）23A x y z +-===e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由cos AB θ=14-==⨯A B AB ，得1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x yz-=-e e e 41310x y z ---e e e（7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方汇编

第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解（1）23A x y z+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由cos AB θ===A B A B g ，得1cos ABθ-=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ==A B B g （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

（2）球体内的总电量为
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上的总电荷为2 ，故球壳外表面上的电荷面密度为
3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。（1）计算各处的电位移；（2）欲使区域内，则和应具有什么关系？
解电荷在处产生的电场为
电荷在处产生的电场为
故处的电场为
2.6一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题2.6图所示。
解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为
在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为
2.7三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设，计算三角形中心处的电场强度。
细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
故整个球面电流在球心处产生的磁场为
2.11两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度；
解（1）
（2）连接点到点直线方程为
即
故
由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.20求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。
解
故沿方向的方向导数为
点处沿的方向导数值为
1.21试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式
。
解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为

《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章导行电磁波

第7章导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。

在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。

所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。

常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。

导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。

在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。

然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。

这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。

7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。

为讨论简单又不失一般性，可作如下假设：（1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。

（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。

（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。

（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。

a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。

设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。

电磁场和电磁波[第四版]课后答案及解析__谢处方,共138页

电磁场与电磁波（第四版）课后答案第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C。

解（1）23A x y z+-===+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由c o s AB θ=11238=A B A B ，得1c o sAB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A=A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x y z-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

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当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通
量源与负通量源的代数和为 0，或闭合面内无通量源。
1.8 什么是散度定理？它的意义是什么？答：矢量分析中的一个重要定理：
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称为散度（高斯）定理。意义：矢量场 F 的散度▽·F 在体积 V 上的体积分等于矢量场 F 在限定该体积的闭合面 S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或 0 分别表示什么意义？答：矢量场 F 穿出闭合曲面 S 的通量为：
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有汇集矢量线的源，称为负通量源。
1.5 在圆柱坐标系中，矢量为什么？
其中 a、b、c 为常数，则 A 是常矢量吗？
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答：A 是常矢量。
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1.6 在球坐标系中，矢量什么？
答：A 是常矢量。
其中 a 为常数，则 A 能是常矢量吗？为
∴A 为常矢量。
12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
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（2） A－B＝ex
ey 6 ez 4 ,

A－B
12 62 42
53

电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方

一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：1A a ；2-A B ；3A B ；4AB θ；5A 在B 上的分量；6⨯A C ；7()⨯A B C 和()⨯AB C ；8()⨯⨯A BC 和()⨯⨯A B C ..解 123A x y z+-===+e e e A a e e e A 2-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e 3=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=ee －114由 cos AB θ=14-==⨯A B A B ;得 1cos AB θ-=(135.5=5A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B 6⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e 7由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e8()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P .. 1判断123PP P ∆是否为一直角三角形； 2求三角形的面积..解 1三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ;243x y z =+-r e e e ;3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ; 233228x y z =-=++R r r e e e ;311367x y z =-=---R r r e e e由此可见1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e故123PP P ∆为一直角三角形.. 2三角形的面积122312231117.1322S =⨯=⨯==R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向..解 34P x y z '=-++r e e e ;223P x y z =-+r e e e ;则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为11cos ()cos 32.31x P P xP P φ--''===eR R 11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R1.4给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ;求它们之间的夹角和A 在B 上的分量..解 A 与B 之间的夹角为11cos ()cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 313.53277B A -===-B AB 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ;求⨯A B 在x y z=-+C e e e 上的分量..解 ⨯=A B 234641x y z-=--e e e 132210x y z -++e e e所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=C A B ()2514.433⨯=-=-A B C C1.6 证明：如果A B =A C 和⨯=A B ⨯A C ;则=B C ；解由⨯=A B ⨯A C ;则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ;即()()()()-=-A B A A A B A C A A A C由于A B =A C ;于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积;那么便可以确定该未知矢量..设A 为一已知矢量;p =A X 而=⨯P A X ;p 和P 已知;试求X ..解由=⨯P A X ;有()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p -⨯=A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中;一点的位置由2(4,,3)3π定出;求该点在：1直角坐标中的坐标；2球坐标中的坐标..解 1在直角坐标系中 4cos(22x π==-、4sin(2y π==、3z =故该点的直角坐标为(2,-..2在球坐标系中 435r =+=、1tan (453.1θ-==、23120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9 用球坐标表示的场225rr =E e ; 1求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；2求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角.. 解 1在直角坐标中点(3,4,5)--处;2222(3)4(5)50r =-++-=;故22512rr ==E e1cos220x x rx E θ====-e E E2在直角坐标中点(3,4,5)--处;345x y z =-+-r e e e ;所以233452525r r -+-===e e e r E故E 与B 构成的夹角为11cos ()cos (153.63θ--===EB E B E B 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R ..证明1R 和2R 间夹角的余弦为121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-解由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e得到 1212cos γ==R R R R1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+1.11 一球面S 的半径为5;球心在原点上;计算： (3sin )d r Sθ⎰e S 的值..解 (3sin )d (3sin )d r r r SSS θθ==⎰⎰e S e e 2220d 3sin 5sin d 75ππφθθθπ⨯=⎰⎰1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域;对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理.. 解在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z∂∂∇=+=+∂∂A 所以 4250d d d (32)d 1200z r r r πττφπ∇=+=⎰⎰⎰⎰A 又2d (2)(d d d )rz r r z z SSrz S S S φφ=+++=⎰⎰A S e e e e e42522000055d d 24d d 1200z r r ππφφπ⨯+⨯=⎰⎰⎰⎰故有d 1200ττπ∇=⎰A d S=⎰A S 1.13 求1矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；2求∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；3求A 对此立方体表面的积分;验证散度定理..解 12222232222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z∂∂∂∇=++=++∂∂∂A 2∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1212122222121121d (2272)d d d 24x x y x y z x y z ττ---∇=++=⎰⎰⎰⎰A 3A 对此立方体表面的积分1212112221212121211d ()d d ()d d 22Sy z y z ----=--+⎰⎰⎰⎰⎰A S12121212222212121212112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+⎰⎰⎰⎰1212112232231212121211124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=⎰⎰⎰⎰故有1d 24ττ∇=⎰A d S=⎰A S1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分;并求∇r 对球体积的积分..解223d d d sin d 4r SSS aa a ππφθθπ===⎰⎰⎰⎰r S r e 又在球坐标系中;221()3r r r r∂∇==∂r ;所以 223000d 3sin d d d 4ar r a ππττθθφπ∇==⎰⎰⎰⎰r 1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分;此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合..再求∇⨯A 对此回路所包围的曲面积分;验证斯托克斯定理..解22222d d d 2d 0d 8Cx x x x y y =-+-=⎰⎰⎰⎰⎰A l又 2222x y z x z yz x x y z x x y z∂∂∂∇⨯==+∂∂∂e e e A e e 所以 2200d (22)d d 8xzzSyz x x y ∇⨯=+=⎰⎰⎰A S e e e故有d 8C=⎰A l d S=∇⨯⎰A S1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分;再计算∇⨯A 对此圆面积的积分..解2d d d CCx x xy y =+=⎰⎰A l 242422(cos sin cos sin )d 4a aa ππφφφφφ-+=⎰d ()d yx z z S SA A S x y ∂∂∇⨯=-=∂∂⎰⎰A S e e 2422200d sin d d 4a S a y S r r r ππφφ==⎰⎰⎰ 1.17 证明：13∇=R ；2∇⨯=R 0；3()∇=A R A ..其中x y z x y z =++R e e e ;A 为一常矢量..解 13x y z x y z∂∂∂∇=++=∂∂∂R 2 x y z x y z x y y∂∂∂∇⨯==∂∂∂e e e R 03设x x y y z z A A A =++A e e e ;则x y z A x A y A z =++A R ;故()()()xx y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ∂∂∇=++++++∂∂A R e e ()z x y z A x A y A z z∂++=∂e x x y y z z A A A ++=e e e A 1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示;如果0∇=F ;那么函数()f r 会有什么特点呢解在圆柱坐标系中;由 1d [()]0d rf r r r∇==F 可得到()Cf r r=C 为任意常数.. 在球坐标系中;由 221d [()]0d r f r r r ∇==F 可得到 2()C f r r =1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ;试求从点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -的线积分d ⎰E l ：1沿抛物线2x y =；2沿连接该两点的直线..这个E 是保守场吗解 1 d d d x y CCE x E y =+=⎰⎰E l d d Cy x x y +=⎰2221d(2)2d y y y y +=⎰2216d 14y y =⎰ 2连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为2812x x y y --=-- 即 640x y -+= 故21d d d d(64)(64)d xy CCEx E y y y y y =+=-+-=⎰⎰⎰E l 21(124)d 14y y-=⎰由此可见积分与路径无关;故是保守场..1.20 求标量函数2x yz ψ=的梯度及ψ在一个指定方向的方向导数;此方向由单位矢量xy ze e e (2,3,1)点的方向导数值.. 解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y zψ∂∂∂∇=++=∂∂∂ee e222x y z xyz x z x y ++e e e故沿方向l x y z=e e e e 的方向导数为 22650l xyz l ψψ∂=∇=+∂e 点(2,3,1)处沿l e 的方向导数值为lψ∂==∂1.21试采用与推导直角坐标中yx zAA Ax y z∂∂∂∇=++∂∂∂A相似的方法推导圆柱坐标下的公式1()zrA ArAr r r zφφ∂∂∂∇=++∂∂∂A..解在圆柱坐标中;取小体积元如题1.21图所示..矢量场A沿re方向穿出该六面体的表面的通量为()d d d dz z z zr r r r r rz zA r r r A r rφφφφφφψφφ+∆+∆+∆+∆+∆=+∆-≈⎰⎰⎰⎰[()(,,)(,,)]r rr r A r r z rA r z zφφφ+∆+∆-∆∆≈()()1r rrA rAr zr r rφτ∂∂∆∆∆=∆∂∂同理d d d dr r z z r r z zr z r zA r z A r zφφφφφφψ+∆+∆+∆+∆+∆=-≈⎰⎰⎰⎰[(,,)(,,)]A r z A r z r zφφφφφ+∆-∆∆≈A Ar zrφφφτφφ∂∂∆∆∆=∆∂∂d d d dr r r rz z z z z zr rA r r A r rφφφφφφψφφ+∆+∆+∆+∆+∆=-≈⎰⎰⎰⎰[(,,)(,,)]z zA r z z A r z r r zφφφ+∆-∆∆∆≈z zA Ar r zz zφτ∂∂∆∆∆=∆∂∂因此;矢量场A穿出该六面体的表面的通量为()1[]r zr zArA AΨΨΨΨr r r zφφτφ∂∂∂=++≈++∆∂∂∂故得到圆柱坐标下的散度表达式()1lim r zArA Ar r r zφτψτφ∆→∂∂∂∇⋅==++∆∂∂∂A1.22方程222222x y zua b c=++给出一椭球族..求椭球表面上任意点的单位法向矢量..解由于222222x y zx y zua b c∇=++e e eu∇=故椭球表面上任意点的单位法向矢量为222(x y zu x y za b cu∇==++∇n e e e1.23现有三个矢量A、B、C为sin cos cos cos sin r θφθφθφφ=+-A e e e22sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e22(32)2x y z y x x z =-++C e e e1哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示 2求出这些矢量的源分布.. 解1在球坐标系中22111()(sin )sin sin r A r A A r r r r φθθθθθφ∂∂∂∇=++=∂∂∂A22111(sin cos )(sin cos cos )(sin )sin sin r r r r r θφθθφφθθθφ∂∂∂++-=∂∂∂ 2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r r r r φθφφθφθθ+--= 2sin 1sin sin r r r r r r A rA r A θφθφθθθφθ∂∂∂∇⨯==∂∂∂e e e A2sin 10sin sin cos cos cos sin sin rr r r rr r θφθθθφθφθφθφ∂∂∂=∂∂∂-e e e故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示;也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中11()z r B B rB r r r z φφ∂∂∂∇++=∂∂∂B =2211(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r r z φφφφ∂∂∂++=∂∂∂22sin sin 2sin 2sin z z r r r r φφφφ-+= 22110sin cos 2sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz θθθφφφφφ∂∂∂∂∂∂∇⨯===∂∂∂∂∂∂e e e e e e B故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中y x z C C C x y z∂∂∂∇++=∂∂∂C =22(32)()(2)0y x x z x y z∂∂∂-++=∂∂∂22(26)322x y z z x y x y z y x x z∂∂∂∇⨯==-∂∂∂-e e e C e故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示.. 2这些矢量的源分布为0∇=A ;0∇⨯=A ；2sin r φ∇B =;0∇⨯=B ；0∇=C ;(26)z x y ∇⨯=-C e1.24 利用直角坐标;证明()f f f ∇=∇+∇A A A解在直角坐标中()()y x z x y z A A A f f ff f f A A A x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇+∇=+++++=∂∂∂∂∂∂A A()()()y x z x y z A A A f f ff A f A f A x x y y z z ∂∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂()()()()x y z fA fA fA f x y z∂∂∂++=∇∂∂∂A 1.25 证明()∇⨯=∇⨯-∇⨯A H H A A H解根据∇算子的微分运算性质;有()()()A H ∇⨯=∇⨯+∇⨯A H A H A H式中A ∇表示只对矢量A 作微分运算;H ∇表示只对矢量H 作微分运算..由()()⨯=⨯a b c c a b ;可得()()()A A ∇⨯=∇⨯=∇⨯A H H A H A同理 ()()()H H ∇⨯=-∇⨯=-∇⨯A H A H A H 故有 ()∇⨯=∇⨯-∇⨯A H H A A H1.26 利用直角坐标;证明()f f f ∇⨯=∇⨯+∇⨯G G G解在直角坐标中[()()()]yy x x z z x y z G G G G G G f f y z z x x y ∂∂∂∂∂∂∇⨯=-+-+-∂∂∂∂∂∂G e e ef ∇⨯=G [()()()]x zy y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂e e e 所以f f ∇⨯+∇⨯=G G [()()]y z x zy G G f fG f G f y y z z∂∂∂∂+-++∂∂∂∂e [()()]x z y x z G G f fG f G f z z x x∂∂∂∂+-++∂∂∂∂e[()()]y x z y x G G f fG f G f x x y y ∂∂∂∂+-+=∂∂∂∂e()()[]y z x fG fG y z ∂∂-+∂∂e ()()[]x z y fG fG z x ∂∂-+∂∂e ()()[]y x z fG fG x y∂∂-=∂∂e ()f ∇⨯G1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ∇⨯∇=及()0∇∇⨯=A ;试证明之..解 1对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ;由斯托克斯定理有()d d d d 0SCCCuu u l u l ∂∇⨯∇=∇===∂⎰⎰⎰⎰S l 由于曲面S 是任意的;故有()0u ∇⨯∇=2对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ;由散度定理有12()d ()d ()d ()d SS S ττ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S 其中1S 和2S 如题1.27图所示..由斯托克斯定理;有11()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l ; 22()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路;则有 12d d C C =-⎰⎰A l A l所以得到1222()d d d d d 0C C C C ττ∇∇⨯=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰A A l A l A l A l 由于体积τ是任意的;故有 ()0∇∇⨯=A二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-;式中阴极板位于0x =;阳极板位于x d =;极间电压为0U ..如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =;求：10x =和x d =区域内的总电荷量Q ；22x d =和x d=区域内的总电荷量Q '..1题1.27图解 1 420004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=⎰⎰110044.7210C 3U S dε--=-⨯ 2 4323004d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=⎰⎰11004(10.9710C 3U S d ε---=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束;通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束;质子束内的电荷均匀分布;束直径为2mm ;束外没有电荷分布;试求电流密度和电流..解质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯..由212mv qU = 得61.3710v ==⨯ m 故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷;球体以匀角速度ω绕一个直径旋转;求球内的电流密度..解以球心为坐标原点;转轴一直径为z 轴..设球内任一点P 的位置矢量为r ;且r 与z 轴的夹角为θ;则P 点的线速度为sin r φωθ=⨯=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a aφφωρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ;同样以匀角速度ω绕一个直径旋转;求球表面的面电流密度..解以球心为坐标原点;转轴一直径为z 轴..设球面上任一点P 的位置矢量为r ;且r 与z 轴的夹角为θ;则P 点的线速度为sin a φωθ=⨯=v r e ω球面的上电荷面密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处;24C q =-位于y 轴上4y =处;求(4,0,0)处的电场强度..解电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为1113014q πε'-=='-r r E r r电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为222302444q πε-'-=='-e e r r E r r 故(4,0,0)处的电场为122+-=+=e e e E E E2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ;求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度(0,0,)a E ;设半圆环的半径也为a ;如题2.6 图所示..解半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为d φ'==E(cos sin )φφφ''-+'e e e在半圆环上对上式积分;得到轴线上z a =处的电场强度为(0,0,)d a ==⎰E E2[(cos sin )]d z xy ππφφφ'''-+=⎰e ee 2.7 三根长度均为L ;均匀带电荷密度分别为1l ρ、2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形..设1l ρ=22l ρ=32l ρ;计算三角形中心处的电场强度..解建立题2.7图所示的坐标系..三角形中心到各边的距离为3tan 3026L d L == 则111003(cos30cos150)42ll yyd Lρρπεπε=-=E e e 2120033(cos30sin 30)()28l l x y y L L ρρπεπε=-+=-E e e e e 3130033(cos30sin 30)()28l lx y y L Lρρπεπε=-=E e e e e 故等边三角形中心处的电场强度为123=++=E E E E111000333()()288l l l yy y L L Lρρρπεπεπε-+=e e e e e 1034l yL ρπεe 2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处;另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处;空间有没有电场强度0=E 的点题 2.6图1lo 题2.7图解电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为1222320()4[()]x y z x a y zqx a y z πε+++=+++e e e E电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为2222320()24[()]x y z x a y z q x a y z πε-++=--++e e e E (,,)x y z 处的电场则为12=+E E E ..令0=E ;则有22232()[()]x y z x a y z x a y z +++=+++e e e 222322[()][()]x y z x a y z x a y z -++-++e e e由上式两端对应分量相等;可得到2223222232()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++ ① 2223222232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++ ②222322232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++ ③当0y ≠或0z ≠时;将式②或式③代入式①;得0a =..所以;当0y ≠或0z ≠时无解；当0y =且0z =时;由式①;有33()()2()()x a x a x a x a +-=-+解得(3x a =-±但3x a =-+不合题意;故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E ..2．9 一个很薄的无限大导电带电面;电荷面密度为σ..证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中;有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的..解半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为0223200d d 2()zr z rr z σε=+E e故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为002232221200000d 12()2()2z z zr z r z r z r z σσσεεε∞∞==-=++⎰E e e e 而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为022320000d 12()42zz zr z r r z σσεε'==-==+⎰E e e e E 2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ;当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转;如题2.10图所示..求球心处的磁感应强度B ..解球面上的电荷面密度为24Q a σπ=题2.10图当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时;球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为S z r a σσσω==⨯=⨯=J v ωr e esin sin 4Qa aφφωωσθθπ=e e将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环;则球面上任一个宽度为d d l a θ=细圆环的电流为 d d sin d 4S QI J l ωθθπ==细圆环的半径为sin b a θ=;圆环平面到球心的距离cos d a θ=;利用电流圆环的轴线上的磁场公式;则该细圆环电流在球心处产生的磁场为202232d d 2()z b Ib d μ==+B e 230222232sin d 8(sin cos )z Qa a a μωθθπθθ=+e 30sin d 8zQ aμωθθπe 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3000sin d 86z zQ Q a aπμωθμωθππ==⎰B e e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈;各有N 匝;相互隔开距离为d ;如题2.11图所示..电流I 以相同的方向流过这两个线圈..1求这两个线圈中心点处的磁感应强度x x B =B e ； 2证明：在中点处d d x B x 等于零；3求出b 与d 之间的关系;使中点处22d d x B x 也等于零.. 解 1由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2022322()zIa a z μ=+B e得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 202232(4)xNIb b d μ=+B e2两线圈的电流在其轴线上x )0(d x <<处的磁感应强度为2200223222322()2[()]x NIb NIb b x b d x μμ⎧⎫=+⎨⎬++-⎩⎭B e 所以 220022522252d 33()d 2()2[()]x B NIb x NIb d x x b x b d x μμ-=-+++- 故在中点2d x =处;有220022522252d 32320d 2[4]2[4]x B NIb d NIb d x b d b d μμ=-+=++ 3 222200222722252d 153d 2()2()x B NIb x NIb x b x b x μμ=-+++ 222002272225215()32[()]2[()]NIb d x NIb b d x b d x μμ--+-+- 令 0d d 222==d x x xB ;有 0]4[1]4[45252227222=+-+d b d b d题2.11图即 5222d b d += 故解得 b d =2.12 一条扁平的直导体带;宽为a 2;中心线与z 轴重合;通过的电流为I ..证明在第一象限内的磁感应强度为 04x I B aμαπ=-;021ln 4yI r B a r μπ= 式中α、1r 和2r 如题2.12图所示..解将导体带划分为无数个宽度为x 'd 的细条带;每一细条带的电流x aII '=d 2d ..由安培环路定理;可得位于x '处的细条带的电流I d 在点),(y x P 处的磁场为00d d d 24I I x B R aRμμππ'===02212d 4[()]I x a x x y μπ''-+ 则 022d d d sin 4[()]x Iy x B B a x x y μθπ'=-=-'-+ 022()d d d cos 4[()]y I x x x B B a x x y μθπ''-=='-+ 所以022d 4[()]ax aIy x B a x x y μπ-'=-='-+⎰0arctan 4a aI x x a y μπ-'⎛⎫--= ⎪⎝⎭0arctan arctan 4I a x a x a y y μπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-----=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦0arctan arctan 4I x a x a a y y μπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦021()4I a μααπ--=04I aμαπ- 022()d 4[()]a y aI x x x B a x x y μπ-''-=='-+⎰220ln[()]8aa I x x y a μπ-'--+=22022()ln 8()I x a y a x a y μπ++=-+021ln 4I r a r μπ 2.13 如题2.13图所示;有一个电矩为1p 的电偶极子;位于坐标原点上;另一个电矩为2p 的电偶极子;位于矢径为r 的某一点上..试证明两偶极子之间相互作用力为121212403(sin sin cos 2cos cos )4r p p F r θθφθθπε=-式中11,θ=<>r p ;22,θ=<>r p ;φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角..并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大解电偶极子1p 在矢径为r 的点上产生的电场为1115303()1[]4r rπε=-p r r p E 所以1p 与2p 之间的相互作用能为1212215303()()1[]4e W r rπε=-=--p r p r p p p E题 2.12图因为11,θ=<>r p ;22,θ=<>r p ;则111cos p r θ=p r222cos p r θ=p r又因为φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角;所以有2121212()()sin sin cos r p p θθφ⨯⨯=r p r p另一方面;利用矢量恒等式可得1212()()[()]⨯⨯=⨯⨯=r p r p r p r p 2112[()]r -=p r p r p 21212()()()r -p p r p r p因此12121221()[()()()()]r=⨯⨯+=p p r p r p r p r p 1212sin sin cos p p θθφ+1212cos cos p p θθ 于是得到 =eW 12304p p r πε12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ 故两偶极子之间的相互作用力为e r q constW F r=∂=-=∂1204p p πε-12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ3d 1()d r r= 124034p p r πε12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ由上式可见;当120θθ==时;即两个偶极子共线时;相互作用力值最大..2.14 两平行无限长直线电流1I 和2I ;相距为d ;求每根导线单位长度受到的安培力m F .. 解无限长直线电流1I 产生的磁场为 0112I rφμπ=B e 直线电流2I 每单位长度受到的安培力为 1012122112d 2m z I I I z dμπ=⨯=-⎰F e B e 式中12e 是由电流1I 指向电流2I 的单位矢量..同理可得;直线电流1I 每单位长度受到的安培力为 0122112122m m I I dμπ=-=F F e 2.15 一根通电流1I 的无限长直导线和一个通电流2I 的圆环在同一平面上;圆心与导线的距离为d ;如题2.15图所示..证明：两电流间相互作用的安培力为012(sec 1)m F I I μα=- 这里α是圆环在直线最接近圆环的点所张的角..解无限长直线电流1I 产生的磁场为0112I rφμπ=B e 圆环上的电流元22d I l 受到的安培力为0122212d d d 2m y I II xμπ=⨯=⨯F l B l e1I由题2.15图可知 2d (sin cos )d x z a θθθ=-+l e ecos x d a θ=+所以 2012(sin cos )d 2(cos )m z x aI I d a πμθθθπθ=--=+⎰F e e 20120cos d 2(cos )x aI I d a πμθθπθ-=+⎰e 0120122((sec 1)2xx aI I I I a μπμαπ--=--e e 2.16 证明在不均匀的电场中;某一电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为()⨯∇+⨯r p E p E ..解如题2.16图所示;设d q =p l (d 1)l <<;则电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为2211()()q q =⨯-⨯=T r E r r E rd d d d ()()()()2222q q +⨯+--⨯-=l l l l r E r r E rd d d d [()()]d [()()]22222q q ⨯+--+⨯++-l l l lr E r E r l E r E r当d 1l <<时;有d d ()()()()22+≈+⋅∇l lE r E r E rd d ()()()()22-≈-⋅∇l lE r E r E r故得到(d )()d ()q q ≈⨯⋅∇+⨯=T r l E r l E r()⨯∇+⨯r p E p E三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面;球的两极点处分别设置点电荷q 和q -;试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ如题3.1图所示..解由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量x 题2.16 图d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e223222320()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰ 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型;其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云;在球心有一正电荷ZeZ 是原子序数;e 是质子电荷量;通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ;试证明之..解位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZerπ=D e 原子内电子云的电荷体密度为333434a a Ze Zer r ρππ=-=-电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中;体密度为30C m ρ; 两圆柱面半径分别为a 和b ;轴线相距为c )(a b c -<;如题3.3图()a 所示..求空间各部分的电场..解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布;不能直接用高斯定律求解..但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布;这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布;而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布;如题3.3图()b 所示..空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加..在b r >区域中;由高斯定律0d Sqε=⎰E S ;可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为 2200120022rb b r r πρρπεε==r E e 2200120022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e 题3. 3图()a点P 处总的电场为 2211220()2b a r r ρε''=+=-'r r E E E 在b r <且a r >'区域中;同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为220022r r r πρρπεε==r E e 22220022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e点P 处总的电场为 202220()2a r ρε''=+=-'r E E E r 在a r <'的空腔区域中;大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为20030022r r r πρρπεε==r E e 20030022r r r πρρπεε''-''==-'r E e 点P 处总的电场为 003300()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷;已知电位移分布为32542()()r r Ar r a D a Aa r a r ⎧+≤⎪=⎨+≥⎪⎩ 其中A 为常数;试求电荷密度()r ρ..解：由ρ∇=D ;有 221d ()()d r r r D r rρ=∇=D 故在r a <区域 23220021d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r rρεε=+=+ 在r a >区域 5420221d ()()[]0d a Aa r r r r rρε+== 3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜;球内充满总电荷量为Q 为的体电荷;球壳上又另充有电荷量Q ..已知球内部的电场为4()r r a =E e ;设球内介质为真空..计算：1球内的电荷分布；2球壳外表面的电荷面密度..解 1 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为20021d [()]d r E r r ρεε=∇==E 432002441d [()]6d r r r r r a aεε=题3. 3图()b＝＋2球体内的总电量Q 为 3220040d 64d 4ar Q r r a a τρτεππε===⎰⎰球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -;而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ;所以球壳外表面上的总电荷为2Q ;故球壳外表面上的电荷面密度为 02224Qaσεπ== 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >;圆柱表面分别带有密度为1σ和2σ的面电荷..1计算各处的电位移0D ；2欲使r b >区域内00=D ;则1σ和2σ应具有什么关系解 1由高斯定理d Sq =⎰DS ;当r a <时;有 010=D当a r b <<时;有 02122rD a ππσ= ;则 102ra rσ=D e 当b r <<∞时;有 0312222rD a b ππσπσ=+ ;则 1203r a b rσσ+=D e 2令 12030ra b rσσ+==D e ;则得到 12b a σσ=- 3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：1沿曲线22x y =；2沿连接该两点的直线..解 1d d d d x y CCCW q q E x E y ===+=⎰⎰⎰F l E l2221d d d(2)2d Cq y x x y q y y y y +=+=⎰⎰22616d 142810()q y y q J -==-⨯⎰2连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为2812x x y y --=-- 即 640x y -+= 故W =21d d d(64)(64)d Cq y x x y q y y y y +=-+-=⎰⎰261(124)d 142810()q y y q J --==-⨯⎰3.8 长度为L 的细导线带有均匀电荷;其电荷线密度为0l ρ..1计算线电荷平分面上任意点的电位ϕ；2利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ;并用ϕ=-∇E 核对..解 1建立如题3.8图所示坐标系..根据电位的积分表达式;线电荷平分面上任意点P 的电位为2(,0)L L r ϕ-==⎰22ln(4L l L z ρπε-'=L rρ04l ρπε=02l ρπε2根据对称性;可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为d d r r rE θ===E e e 022320d 2()l rr z r z ρπε''+e故长为L 的线电荷在点P 的电场为20223200d d 2()L l r r z r z ρπε'==='+⎰⎰E Ee 20002L l r r ρπε=e re由ϕ=-∇E 求E ;有002l ρϕπε⎡⎢=-∇=-∇=⎢⎥⎣⎦E(00d ln 2ln 2d l rL r r ρπε⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦e0012l r r ρπε⎧⎫⎪-=⎬⎪⎭e r e 3.9 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场02lrr ρπε=E e ;试用定义式()d Pr rr ϕ=⎰E l 求其电位函数..其中P r 为电位参考点..解000()d d ln ln 222PPPr r rl l l P r rrr r r r r rρρρϕπεπεπε====⎰⎰E l 由于是无限长的线电荷;不能将P r 选为无穷远点..3.10一点电荷q +位于(,0,0)a -;另一点电荷2q -位于(,0,0)a ;求空间的零电位面.. 解两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位1(,,)4x y zϕπε=令(,,)0x y z ϕ=;则有0=即 2222224[()]()x a y z x a y z +++=-++故得 222254()()33x a y z a +++= 由此可见;零电位面是一个以点5(,0,0)3a -为球心、43a 为半径的球面..3.11 证明习题3.2的电位表达式为 2013()()422a aZe r r r r r ϕπε=+- 解位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 124rZerπ=D e 电子云在原子外产生的电通量密度则为 32224344a r r r Zer rρπππ==-D e e 所以原子外的电场为零..故原子内电位为230011()d ()d 4aa r ra r r Ze rr D r r r r ϕεπε==-=⎰⎰2013()422a aZe r r r r πε+- 3.12 电场中有一半径为a 的圆柱体;已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cos r r a a r A r r a rϕϕφ=≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩ 1求圆柱内、外的电场强度；2这个圆柱是什么材料制成的表面有电荷分布吗试求之..解 1由ϕ=-∇E ;可得到 r a <时; 0ϕ=-∇=Er a >时; ϕ=-∇=E 22[()cos ][()cos ]r a a A r A r r r r rφφφφ∂∂----=∂∂e e2222(1)cos (1)sin r a a A A r rφφφ-++-e e2该圆柱体为等位体;所以是由导体制成的;其表面有电荷分布;电荷面密度为0002cos r r a r a A σεεεφ=====-n E e E3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20ϕ∇=1sin()sin()hz kx ly e - 其中222h k l =+； 2[cos()sin()]n r n A n φφ+ 圆柱坐标； 3cos()n r n φ- 圆柱坐标； 4cos r φ 球坐标； 52cos r φ- 球坐标..解 1在直角坐标系中 2222222x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂而 22222[sin()sin()]sin()sin()hz hz kx ly e k kx ly e x xϕ--∂∂==-∂∂22222[sin()sin()]sin()sin()hz hzkx ly e l kx ly e y y ϕ--∂∂==-∂∂ 22222[sin()sin()]sin()sin()hz hz kx ly e h kx ly e z zϕ--∂∂==∂∂ 故 2222()sin()sin()0hzk l h kx ly e ϕ-∇=--+=2在圆柱坐标系中 2222221()r r r r r zϕϕϕϕφ∂∂∂∂∇=++∂∂∂∂而11(){[cos()sin()]}n r r r n A n r r r r r r ϕφφ∂∂∂∂=+=∂∂∂∂22[cos()sin()]n n r n A n φφ-+ 222221[cos()sin()]}n n r n A n r ϕφφφ-∂=-+∂ 2222[cos()sin()]0nr n A n z zϕφφ-∂∂=+=∂∂ 故 20ϕ∇=3 2211(){[cos()]}cos()n n r r r n n r n r r r r r rϕφφ---∂∂∂∂==∂∂∂∂222221cos()n n r n r ϕφφ--∂=-∂ 2222[cos()]0nr n z zϕφ-∂∂==∂∂ 故 20ϕ∇=4在球坐标系中 22222222111()(sin )sin sin r r r r r r ϕϕϕϕθθθθθφ∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂ 而 2222112()[(cos )]cos r r r r r r r r r r ϕθθ∂∂∂∂==∂∂∂∂ 2211(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ϕθθθθθθθθθ∂∂∂∂==∂∂∂∂ 2212(sin )cos sin r r rθθθθ∂-=-∂ 2222222211(cos )0sin sin r r r ϕθθφθφ∂∂==∂∂故 20ϕ∇=5 222222112()[(cos )]cos r r r r r r r r r rϕθθ-∂∂∂∂==∂∂∂∂ 22211(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ϕθθθθθθθθθ-∂∂∂∂==∂∂∂∂222412(sin )cos sin r r rθθθθ-∂-=-∂ 22222222211(cos )0sin sin r r r ϕθθφθφ-∂∂==∂∂ 故 20ϕ∇=3.14 已知0>y 的空间中没有电荷;下列几个函数中哪些是可能的电位的解1cosh y e x -； 2x e y cos -；3cos sin e x x 4z y x sin sin sin ..解 1222222(cosh )(cosh )(cosh )y y ye x e x e x x y z---∂∂∂++=∂∂∂2cosh 0y e x -≠所以函数x e y cosh -不是0>y 空间中的电位的解；2 222222(cos )(cos )(cos )y y y e x e x e x x y z---∂∂∂++=∂∂∂cos cos 0y y e x e x ---+= 所以函数x e y cos -是0>y 空间中可能的电位的解；3222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )e x x e x x e x x x y z∂∂∂++=∂∂∂4cos sin 2cos sin 0e x x e x x -+≠所以函数x x e y sin cos 2-不是0>y 空间中的电位的解；4 222222(sin sin sin )(sin sin sin )(sin sin sin )x y z x y z x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂ 3sin sin sin 0x y z -≠所以函数z y x sin sin sin 不是0>y 空间中的电位的解..3.15 中心位于原点;边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为0()x y z P x y z =++P e e e ..1计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；2证明总的束缚电荷为零..解 1 03P P ρ=-∇=-P220()22P x L x x L L L x P σ======n Pe P220()22P x L x x L L L x P σ=-=-=-==-=n P e P同理 0()()()()22222P P P P L L L L Ly y z z P σσσσ===-====-=2 320d d 3602P P P SL q S P L L P τρτσ=+=-+⨯=⎰⎰ 3.16 一半径为0R 的介质球;介电常数为0r εε;其内均匀分布自由电荷ρ;证明中心点的电位为20021()23r r R ερεε+ 解由d Sq =⎰D S ;可得到0r R <时; 321443r r D ππρ=即 13r D ρ=; 11003r r D r E ρεεεε== 0r R >时; 3202443R r D ππρ=即 30223R D rρ= ; 30122003R D E r ρεε== 故中心点的电位为00301220000(0)d d d d 33R R r R RR r E r E r r r r ρρϕεεε∞∞=+=+=⎰⎰⎰⎰22200000021()6323r r r R R R ρρερεεεεε++= 3.17 一个半径为R 的介质球;介电常数为ε;球内的极化强度r K r =P e ;其中K 为一常数..1 计算束缚电荷体密度和面密度；2 计算自由电荷密度；3计算球内、外的电场和电位分布..解 1 介质球内的束缚电荷体密度为 2221d ()d p K Kr r r r r ρ=-∇=-=-P 在r R =的球面上;束缚电荷面密度为 p r r Rr R KRσ=====n P e P2由于0ε=+D E P ;所以 00εεε∇=∇+∇=∇+∇D E P D P 即 0(1)εε-∇=∇D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 20()p Kr εεερρεεεεεε=∇=∇=-=---D P总的自由电荷量 2200014d 4d R K RK q r r r τεπερτπεεεε===--⎰⎰ 3介质球内、外的电场强度分别为100()r Krεεεε==--P E e ()r R < 2220004()r rq RKr r επεεεε==-E e e ()r R > 介质球内、外的电位分别为112d d d RrrRE r E r ϕ∞∞==+=⎰⎰⎰E l。