电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第三章习题解答.

在 r

b 区域中，由高斯定律
S
E
dS

q 0
，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P
产生
的电场分别为
E1
er
b2 0 2 0 r

0b2r 2 0 r 2
E1 er
a20 2 0 r


0a2r 2 0 r 2
b
0
a c
b
＝ 0
a c
＋
b 0
C
C
C
2
2
q y d x x d y q y d(2y2 ) 2y2 d y q 6 y2 d y 14q 28106 (J )
C
1
1
（2）连接点 P1(2,1, 1) 到点 P2 (8, 2, 1) 直线方程为
x2 x8
即
x6y4 0
y 1 y 2
2
2
故W q y d x x d y q y d(6 y 4) (6 y 4) d y q (12y 4) d y 14q 28106 (J )
C
1
1
3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l0 。（1）计算线电荷平分面上任意 点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E 核对。
(r 2
r4 a4
)]

6 0
r3 a4
（2）球体内的总电量 Q 为
Q


d

a 0
6 0
r3 a4
4 r2dr

4 0 a 2
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q ，所以
球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为
a c
题 3. 3 图 (b)
点 P 处总的电场为
E

E1

E 1

2 0
(b2r r2

a2r) r2
在 r b 且 r a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
E2

er
r2 2 0 r

r 2 0
E2

e r
a2 20r
3
3
3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为
(r) Ze ( 1 r2 3 ) 40 r 2ra 2ra
解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为
D1

er
Ze 4 r2
电子云在原子外产生的电通量密度则为 所以原子外的电场为零。故原子内电位为
D2
er
4 ra3 4 r2
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的
小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内具
有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为 0 的均匀电荷 分布，如题 3.3 图 (b) 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
ln
L
2
r2
(L
2)2


20
r

er
l 0 20
d dr
ln
L 2
r2 (L 2)2

ln
r



er
l 0 2 0



L
2
r
r2
(L
2)2

r2
(L
2)2


1 r


er
l 0 4 0 r


0r 2 0
点 P 处总的电场为
E

E3

E3

0 2 0
(r

r)

0 2 0
c
3.4 半径为 a 的球中充满密度 (r) 的体电荷，已知电位移分布为
r3 Ar2
Dr

a5

Aa4
r2
(r a) (r a)
其中 A 为常数，试求电荷密度 (r) 。
S
D01 0
当 a r b 时，有 2 rD02 2 a1 ，则
D02

er
a1 r
当 b r 时，有 2 rD03 2 a1 2b 2 ，则
D03
er
a1
b 2 r
（2）令
D03
er
a1 b 2 r
0 ，则得到
1 b 2 a

a2 r
) cos]

er
A(1

a2 r2
)
cos

e
A(1
a2 r2
)
sin

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

0n
E ra
0er
E ra
20 Acos
3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2 0
令(x, y, z) 0 ，则有
1

2
0
(x a)2 y2 z2 (x a)2 y2 z2
即
4[(x a)2 y2 z2 ] (x a)2 y2 z2
故得
(x 5 a)2 y2 z2 (4 a)2
3
3
由此可见，零电位面是一个以点 ( 5 a, 0, 0) 为球心、 4 a 为半径的球面。
（1） sin(kx)sin(ly)ehz 其中 h2 k2 l2 ；
（2） rn[cos(n) Asin(n)] 圆柱坐标；
（3） rn cos(n)
圆柱坐标；
（4） r cos
球坐标；
（5） r2 cos
球坐标。
解 （1）在直角坐标系中
2

2 x2

2 y2

R R3
]

q 4
{[re2r
r (
ez ( z
z a)2
a) ]3 2

er [r2
r (
ez ( z
z a)2
a) ]3 2
}
则球赤道平面上电通密度的通量
D d S D ez z0 d S
S
S
q
4
a (a) 0 [(r2 a2 )3 2
电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为 E er (r a)4 ，设球内介质为真空。计
算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

0
E


0
[
1 r2
d dr
(r 2 E )]


0
[
1 r2
d dr
解：由 D ，有
(r)

D

1 r2
d dr
(r2Dr )
故在 r a 区域
(r)
0
1 r2
d dr
[r 2 (r 3

Ar2 )] 0 (5r2
4 Ar)
在 r a 区域
(r)
0
1 r2
d [r2 dr
(a5
Aa4 )
r2
]

0
3.5 一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为的体
故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为
E
dE

er
L2 0
2
0
l 0 rdz (r2 z2
)3
2

er
l0 ( 2 0 r
z r2
z2
)
L 0
2

er
l 0 4 0 r
L r2 (L 2)2
由 E 求 E ，有
E
l 0
解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的
电位为
z
L2
l 0
o
P
r
L 2
题 3.8 图
L 2
(r, 0)
l 0dz

L 2 40 r 2 z2
l0 ln(z
L2
r2 z2 )

4 0
L 2
l0 ln
r2 (L 2)2 L 2
40 r2 (L 2)2 L 2
l0 ln r2 (L 2)2 L 2
2 0
r
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 l0dz 在点 P 的电场为
dE
erdEr
er
l 0dz 20 r2
z2
cos

er
l 0 rdz 20 (r2 z2 )3 2


a2r 2 0 r 2
点 P 处总的电场为
E

E2

E2

0 2 0
(r

a2r )
r2
在 r a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
E3
er
r20 2 0 r

0r 2 0
E3
er
r20 2 0 r
3.7 计算在电场强度 E ex y ey x 的电场中把带电量为 2 C 的点电荷从点 P1(2,1, 1) 移到点 P2 (8, 2, 1) 时电场所做的功：（1）沿曲线 x 2 y2 ；（2）沿连接该两点的直线。
Fra Baidu bibliotek
解 （1）W F d l q E d l q Ex d x Ey d y

L r2 (L 2)2
3.9
已知无限长均匀线电荷 l
的电场 E

er
l 2 0r
，试用定义式 (r )

rP r
E
d l 求其电
位函数。其中 rP 为电位参考点。
解
rP
rP
(r ) E dl
l
dr l
lrnrP l
rlPn
r
r 2 0r
2 0 r 2 0 r
到球体内的电通量密度表达式为
D0

er
Ze 4

1 r2

r ra3

，试证明之。
解
位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为
D1

er
Ze 4 r2
原子内电子云的电荷体密度为
Ze 3Ze 4 ra3 3 4 ra3
b
0
a c
题 3. 3 图 (a)

2 z 2
而
2 2 [sin(kx)sin(ly)ehz ] k 2 sin(kx)sin(ly)ehz
x2 x2
2 2 [sin(kx)sin(ly)ehz ] l2 sin(kx)sin(ly)ehz y2 y2


2Q 4 a2
20
3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 r a 和 r b (b a) ，圆柱表面分别带有密度为
1 和 2 的面电荷。（1）计算各处的电位移 D0 ；（2）欲使 r b 区域内 D0 0 ，则1 和 2 应具
有什么关系？
解 （1）由高斯定理 D0 d S q ，当 r a 时，有
由于是无限长的线电荷，不能将 rP 选为无穷远点。 3.10 一点电荷 q 位于 (a, 0, 0) ，另一点电荷 2q 位于 (a, 0, 0) ，求空间的零电位面。
解 两个点电荷 q 和 2q 在空间产生的电位
(x, y, z) 1 [
q

2q
]
4 0 (x a)2 y2 z2 (x a)2 y2 z2
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 第三章习题解答
3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和 q ，试计算球赤道平 面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。
q
赤道平面
a
q
题 3.1 图
解 由点电荷 q 和 q 共同产生的电通密度为
D

q 4
[
R R3
电子云在原子内产生的电通量密度则为
4 r3 3
Ze r
D2 er 4 r2 er 4 ra3
故原子内总的电通量密度为
Ze 1 r
D

D1

D2

er
4

r2

ra3

3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 0 C m3 , 两圆柱
面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c b a) ，如题 3.3 图 (a) 所示。求空间各部分的电场。
3

er
Ze 4 r2
(r) 1
0
ra
Ddr
r
Ze 40
1 ra r (r2

r ra3
)
d
r

Ze 4 0
(1 r
r2 2ra
3) 2ra
3.12 电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
(r) 0
ra

(r )

A(r

a2 r
)
cos
ra
（1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由 E ，可得到 r a 时， E 0
r a 时，
E



er
r
[ A(r

a2 r
) cos] e
r
[ A(r

(r2
a a2 )3
2
]2
r
d
r

qa (r2 a2 )1 2
a
(
0
1 1)q 0.293q 2
3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ra 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 荷量为 Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量），通过实验得