耦合电感的电路

i1 u11
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同 一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述 便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。
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对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈 上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈 的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决 这个问题引入同名端的概念。 同名端 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
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②反接串联 R1 L1 i
+ + u1 * M – + u
L2 R2 *u – 2 –
+ i R
u
–
L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2M ) di Ri L di dt dt
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10.2
含有耦合电感电路的计算
R1 L1 + + u1 * M – +* u L2 R2 i
1. 耦合电感的串联
①顺接串联
u2 – –
u R1i L1 di M di L2 di M di R2i dt dt dt dt + i ( R1 R2 )i ( L1 L2 2M ) di R dt u 去耦等效电路 Ri L di L dt – R R1 R2 L L1 L2 2M
2
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3.耦合电感的T型等效
①同名端为共端的T型去耦等效 1
2 1 j M I I
* jL1
3
*
2
1
jL2
j(L1-M)
1 I
2 I2 j(L2-M)
I
3

jM

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I
两互感线圈装在黑盒子里，只引出四个端 子，现在手头有一台交流信号源及一只万用表， 试用试验的方法判别两互感线圈的同名端。
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2. 耦合电感的并联
①同侧并联
+ u –
i
M
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
1 I
2 I
+
1 U
j L 1 + –
–

–

–
2 jMI

j L 2 + 2 U + –
1 jM I
–
U 1 jL1 I 1 jM I 2
称M12、M 21为互感系数，单位亨(H)。
注意 ① M值与线圈的形状、几何位置、空间媒
质有关，与线圈中的电流无关，满足 M12=M21
② L 总为正值，M 值有正有负.
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2. 耦合系数
用耦合系数k 表示两个线 圈磁耦合的紧密程度。 k=1 称全耦合: 漏磁 s1 =s2=0 满足：
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11
s 0
i1
* + u11
ห้องสมุดไป่ตู้N1
N N 2 3 * i2 i3 △ △ – + u21 – + u31 –
di1 u21 M 21 dt
di1 u31 M 31 dt
注意 线圈的同名端必须两两确定。
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确定同名端的方法： (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 ( 或流出 ) 时，两个电流产生的磁场相互增强。
2
4M
0
顺接
反接
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在正弦激励下： R1 j L1 + U * 1 I +
j M
– *+
j L 2
U2 –
–
U
( R1 R2 ) I jω( L1 L2 – U 2M ) I
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相量图： (a) 顺接
U

R1 j L1 + U 1* I +
dΨ 21 di1 u21 M dt dt
dΨ 11 di1 u11 L1 dt dt
自感电压 互感电压
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两 端的电压均包含自感电压和互感电压。
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1 11 12 L1i1 M 12i2 2 22 21 L2i2 M 21i1
R R1 R2
L L1 L2 2M
注意 L L1 L2 2M 0
M 1 ( L1 L2 ) 2
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互感的测量方法：
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
全耦合时
M L1L2
当 L=
L1=L2 时 , M=L
L L1 L2 2 M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )
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注意
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压 取正，否则取负。表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。
（2）与线圈的相对位置和绕向有关。
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4.互感线圈的同名端
对自感电压，当 u, i 取关联参考方向， u、i 与 符合右螺旋定则，其表达式为：
dΨ 11 dΦ11 di1 u11 N1 L1 dt dt dt
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变压器
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变压器
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有载调压变压器
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小变压器
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调压器
整流器
电流互感器
牵引电磁铁
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1. 互感
11
21
i1 N1 N2
+ u11 –
+ u21 –
线圈 1 中通入电流 i1 时，在线圈 1 中产生磁通， 同时，有部分磁通穿过临近线圈 2，这部分磁通称 为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。 定义 ：磁链 ， =N
第10章 含有耦合电感的电路
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算
3.空心变压器和理想变压器原理
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10.1
互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电 路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线 圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元 件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多 端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
i1 * * L1
i2
L2
( L1L2 M ) di u L1 L2 2M dt
2
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等效电感：
( L1L2 M ) Leq 0 L1 L2 2M
2
i
去耦等效电路
如全耦合：L1L2=M2 当 L1L2 ，Leq=0 (短路)
+ u –
Leq
当 L1=L2 =L ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
电抗器
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电抗器磁场
铁磁材料屏蔽磁场
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3. 耦合电感上的电压、电流关系
当 i1 为时变电流时，磁通也将随时间变化，从 而在线圈两端产生感应电压。 当 i1 、 u11 、 u21 方向与 符合右手螺旋时，根 据电磁感应定律和楞次定律：
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空心线圈， 与i 成正比。当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为 自磁链与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2 2 22 21 L2i2 M 21i1
k
def
M 1 L1 L2
11= 21 ，22 =12
2
M M ( Mi1 )( Mi2 ) 12 21 k 1 L1 L2 L1i1 L2i2 11 22 L1 L2
注意 耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、
空间磁介质有关。
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互感现象
利用——变压器：信号、功率传递 避免——干扰
M + u _ 解 R1 * L1 * R2 L2 + u2 _ 10 0 1 2 t/s i1/A
i1
10V 0 t 1s 0 t 1s 10t di1 u2 (t ) M 10V 1 t 2s i1 20 10t 1 t 2s dt 2t 2t 0 0 0 t 1s 100 t 50V di1 u (t ) R1i1 L 100 t 150 V 1 t 2s dt 2t 0
+ u –
M
i1 i1 i2
L2 ++ uu 11 LL 11
M M ** **
i2 i2 ++ LL 22 uu 22
i1 * * L1
––
––
i +
M i1 i2 (L2－M)
i1
(L1－M)
i2
(L2－M)
u (L1－M) –
M
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4. 受控源等效电路
i1 + u1 L1 M * * i2 + L2 u2
I
3

-jM

I


U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I 2
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i
jM I
U2

j M – +
j L 2
* 2 – U
–
U
(b) 反接

jL2 I
jL1 I


jM I

R2 I
U1



jL2 I



jM I
R1 I

jM I U


U2
R2 I


I

R1 I jL1 I

I

U1
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思考题
同名端的实验测定： 黑 盒 子
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② 异侧并联
i
M
i1 * L1 i2 *
( L1L2 M 2 ) di 解得u, i 的关系： u L1 L2 2M dt
等效电感：
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt i = i1 +i2
+ u –
L2
( L1L2 M ) Leq 0 L1 L2 2M
di1 u21 M dt
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例
i1
M
i2
i1 + * u1 L1 _
+ * u1 L1 _
M L2 *
i2 + u2 _
* + L2 u2 _
di1 di2 u2 M L2 dt dt
i1 + * u1 L1 _ M L2 * i2 + u2 _
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt di1 di2 u2 M L2 dt dt i1 M i 2 _ + * u1 L1 L2 u2 _ * +
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写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
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例 已知R1 10, L1 5H, L2 2H, M 1H, 求u(t )和u2 (t )
di1 di2 u1 u11 u12 L1 dt M dt d i d i 1 u2 u21 u22 M L2 2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：
1 jM I 2 U 1 jL1 I U j M I j L I 1 2 2 2
例
1'
1*
i

*2
1
*
2

3


2'
1'
2'
*
3'
(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入 时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
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同名端的实验测定：
+ R S 1i i *
2 * 2'

V
+ –
1'
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di 0, dt
u22' M di 0 电压表正偏。 dt
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线 组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论 来加以判断。
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由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就 不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考 方向即可。 M di1 * * u21 M dt i1 + u21 – M * i1 * – u21 +


U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I 2
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②异名端为共端的T型去耦等效 1
2 1 j M I I
* jL1 3

2
1
*
jL2
j(L1+M)
1 I
2 I2 j(L2+M)