高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题6 第3讲 导数的简单应用(文科)
合集下载
2020高考文科数学二轮考前复习方略课件：专题六 第3讲 导数的简单应用
上一页
返回导航
下一页
第二部分 专题六 函数与导数
7
2.导数的几何意义 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
上一页
返回导航
下一页
上一页
返回导航
下一页
第二部分 专题六 函数与导数
6
[研考点考向·破重点难点] 考点 1 导数的运算及其几何意义(基础型) [知识整合]
1.导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a＞0)； (4)(logax)′＝xln1 a(a＞0，且 a≠1)．
解析：设直线 x－y＋1＝0 与函数 f(x)＝ln x－ax 的图象的切点为 P(x0，y0)，因为 f′(x)
x0－y0＋1＝0
＝1x－a，所以由题意，得f′（x0）＝x10－a＝1
，解得 a＝e12－1.
f（x0）＝ln x0－ax0＝y0
答案：e12－1
上一页
返回导航
下一页
第二部分 专题六 函数与导数
上一页
返回导航
下一页
第二部分 专题六 函数与导数
23
②当 1<1a<e，即1e<a<1 时，f(x)在1，1a上单调递减，在1a，e上单调递增，所以 f(x) 在[1，e]上的最小值为 f1a<f(1)＝－2，不合题意． ③当1a≥e，即 0<a≤1e时，f(x)在[1，e]上单调递减， 所以 f(x)在[1，e]上的最小值为 f(e)<f(1)＝－2，不合题意． 综上，实数 a 的取值范围是[1，＋∞)．
2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题六第3讲导数的简单应用
第 3 讲 导数的简单应用
题型一 导数的几何意义
[做真题 ]
1．(2018 ·高考全国卷 Ⅰ )设函数 f(x)＝ x3＋ (a－ 1)x2＋ ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 点 (0， 0)处的切线方程为 ( )
y＝ f(x)在
A ． y＝－ 2x
B． y＝－ x
C． y＝ 2x
D． y＝ x
＋ln （x2＋ 1） ，
x2＋ 1
解得 x1＝ 12，
从而 b＝ ln x1＋ 1＝ 1－ln 2.
答案： 1－ ln 2
题型二 导数与函数的单调性、极值与最值 1．(2017 高·考全国卷 Ⅱ )若 x＝－ 2 是函数 f(x)＝ (x2＋ ax－ 1)ex－1 的极值点， 则 f(x)的极小值
详细分析： 选 D.因为 y′＝ aex＋ln x＋1， 所以 y′x＝｜1＝ ae＋ 1，所以曲线在点 (1， ae)处的切
ae＋ 1＝ 2，
a＝e－ 1，
线方程为 y－ ae＝ (ae＋1)( x－1) ，即 y＝ (ae＋ 1)x－ 1， 所以
解得
b＝－ 1，
b＝－ 1.
3．(2018 ·高考全国卷 Ⅱ )曲线 y＝2ln( x＋1)在点 (0， 0)处的切线方程为 ________． 详细分析： 因为 y＝ 2ln( x＋ 1)， 所以 y′＝ 2 .当 x＝ 0 时 ，y′＝ 2， 所以曲线 y＝ 2ln( x＋ 1)
＋ 2)x＋ a－ 1＝ 0 的根 ， 所以 a＝－ 1，f′x（)＝ (x2＋ x－2)ex－1＝ (x＋ 2)(x－ 1)ex－1.令 f′x（)>0 ， 解得
x<－ 2 或 x>1， 令 f′x（)<0 ， 解得－ 2< x<1， 所以 f(x)在 (－ ∞， － 2)上单调递增 ， 在 (－ 2， 1)上单
题型一 导数的几何意义
[做真题 ]
1．(2018 ·高考全国卷 Ⅰ )设函数 f(x)＝ x3＋ (a－ 1)x2＋ ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 点 (0， 0)处的切线方程为 ( )
y＝ f(x)在
A ． y＝－ 2x
B． y＝－ x
C． y＝ 2x
D． y＝ x
＋ln （x2＋ 1） ，
x2＋ 1
解得 x1＝ 12，
从而 b＝ ln x1＋ 1＝ 1－ln 2.
答案： 1－ ln 2
题型二 导数与函数的单调性、极值与最值 1．(2017 高·考全国卷 Ⅱ )若 x＝－ 2 是函数 f(x)＝ (x2＋ ax－ 1)ex－1 的极值点， 则 f(x)的极小值
详细分析： 选 D.因为 y′＝ aex＋ln x＋1， 所以 y′x＝｜1＝ ae＋ 1，所以曲线在点 (1， ae)处的切
ae＋ 1＝ 2，
a＝e－ 1，
线方程为 y－ ae＝ (ae＋1)( x－1) ，即 y＝ (ae＋ 1)x－ 1， 所以
解得
b＝－ 1，
b＝－ 1.
3．(2018 ·高考全国卷 Ⅱ )曲线 y＝2ln( x＋1)在点 (0， 0)处的切线方程为 ________． 详细分析： 因为 y＝ 2ln( x＋ 1)， 所以 y′＝ 2 .当 x＝ 0 时 ，y′＝ 2， 所以曲线 y＝ 2ln( x＋ 1)
＋ 2)x＋ a－ 1＝ 0 的根 ， 所以 a＝－ 1，f′x（)＝ (x2＋ x－2)ex－1＝ (x＋ 2)(x－ 1)ex－1.令 f′x（)>0 ， 解得
x<－ 2 或 x>1， 令 f′x（)<0 ， 解得－ 2< x<1， 所以 f(x)在 (－ ∞， － 2)上单调递增 ， 在 (－ 2， 1)上单
2021高考数学二轮专题复习7.3导数的简单应用ppt课件
当 a≤1 时，函数单调递增，不成立；
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
2021届人教A版高三文科数学第二轮复习课件 模块三 专题六 函数与导数 第三讲 导数的简单应用
考 真 题 体
故此时函数 f(x)在1－
21a－4a2，1＋
21a－4a2上递增，
验
第21页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
核 心
在0，1－
21a－4a2和1＋
21a－4a2，＋∞上递减，
考 点 突
综上，0<a<21时，
破
名
函数 f(x)在1－
21a－4a2，1＋
21a－4a2上递增，
核 心
角度 1：求函数的单调区间及参数的取值范围
考
点 突 破
【例 1】 (1)(2020·河北九校联考)函数 y＝x＋3x＋2lnx 的单调递减区间是( B )
名
师
A．(－3,1)
B．(0,1)
微 课
C．(－1,3)
D．(0,3)
高
导 学
考
真
题
体
验
第17页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
高
导 学
考 真
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程
题 体
设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，
验
列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程．
第15页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
考点二 利用导数研究函数的单调性
考点一 导数的几何意义
核 心
1．导数公式
考
点 突
(1)(sinx)′＝cosx；
破
(2)(cosx)′＝－sinx；
名 师
(3)(ax)′＝axlna(a>0)；
2018届高考数学文二轮复习课件：2.2.3 导数的简单应用 精品
解析：已知函数 f(x)＝ax在 x＝1 处的导数为－2，则可得－xa2＝－a ＝－2，故有 a＝2，则实数 a 的值是 2，故答案为 2.
答案：2
2．(热点一)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲 线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__________．
解：(1)由 f(x)＝－x＋lnx，得 f′(x)＝－1＋1x，令 f′(x)＝1，得 x ＝12
∴所求距离的最小值即为 P(12，f(12))到直线 x－y＋3＝0 的距离 d＝|12－－12－2ln2＋3|＝12(4＋ln2) 2
(2)假设存在正数 a，令 F(x)＝f(x)－g(x)(x>0)，则 F(x)max≤0 由 F′(x)＝a＋1x－2a2x＝0 得 x＝1a ∵x>1a时，F′(x)<0，∴F(x)为减函数； 当 0<x<1a时，F′(x)>0， ∴F(x)为增函数 ∴F(x)max＝F(1a) ∴ln1a≤0 即 a≥1 所以 a 的取值范围是[1，＋∞)
的取值范围为21，1. ②当 x≥1 时，k≤x＋1x1＋lnx恒成立，令 g(x)＝x＋1x1＋lnx，
则 g′(x)＝1＋lnx＋1＋1xxx－2 x＋11＋lnx＝x－x2lnx. 令 h(x)＝x－lnx，则 h′(x)＝1－1x≥0，所以 h(x)≥h(1)＝1，所以 g′(x)>0，所以 g(x)为[1，＋∞)上的增函数，所以 g(x)≥g(1)＝2，故 k≤2.
(2)已知函数 f(x)＝3x3＋2x2－1 在区间(m,0)上总有 f ′(x)≤0 成立， 则 m 的取值范围为__－__49_，__0___．
[自主解答] (1)因为函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝sinx＋xcosx－ sinx＝xcosx，所以 k＝g(t)＝tcost.则函数 g(t)为奇函数，图象关于原点 对称，所以排除 A、C.又当 0<t<2π时，g(t)>0，所以排除 D，选 B.
答案：2
2．(热点一)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲 线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__________．
解：(1)由 f(x)＝－x＋lnx，得 f′(x)＝－1＋1x，令 f′(x)＝1，得 x ＝12
∴所求距离的最小值即为 P(12，f(12))到直线 x－y＋3＝0 的距离 d＝|12－－12－2ln2＋3|＝12(4＋ln2) 2
(2)假设存在正数 a，令 F(x)＝f(x)－g(x)(x>0)，则 F(x)max≤0 由 F′(x)＝a＋1x－2a2x＝0 得 x＝1a ∵x>1a时，F′(x)<0，∴F(x)为减函数； 当 0<x<1a时，F′(x)>0， ∴F(x)为增函数 ∴F(x)max＝F(1a) ∴ln1a≤0 即 a≥1 所以 a 的取值范围是[1，＋∞)
的取值范围为21，1. ②当 x≥1 时，k≤x＋1x1＋lnx恒成立，令 g(x)＝x＋1x1＋lnx，
则 g′(x)＝1＋lnx＋1＋1xxx－2 x＋11＋lnx＝x－x2lnx. 令 h(x)＝x－lnx，则 h′(x)＝1－1x≥0，所以 h(x)≥h(1)＝1，所以 g′(x)>0，所以 g(x)为[1，＋∞)上的增函数，所以 g(x)≥g(1)＝2，故 k≤2.
(2)已知函数 f(x)＝3x3＋2x2－1 在区间(m,0)上总有 f ′(x)≤0 成立， 则 m 的取值范围为__－__49_，__0___．
[自主解答] (1)因为函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝sinx＋xcosx－ sinx＝xcosx，所以 k＝g(t)＝tcost.则函数 g(t)为奇函数，图象关于原点 对称，所以排除 A、C.又当 0<t<2π时，g(t)>0，所以排除 D，选 B.
2019高考数学二轮复习第3讲导数的简单应用课件理
2 0
1 3 ax (-cos x)dx,则 的展开式中 , x 项的系数为 2 ax
9
答案
-
21 2
2 0
解析 a=
(-cos x)dx=-sin x
1 2 x sin sin 0 ==-1. 的 0 2x 2
令f '(x)=0,解得x=t2- 3 ,或x=t2+ 3 . 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x f '(x) f(x)
(-∞,t2- 3 ) + ↗
t2- 3 0 极大值
(t2- 3 ,t2+ 3 ) ↘
t2+ 3 0 极小值
(t2+ 3 ,+∞) + ↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2- 3 )=(- 3 )3-9×(- 3 )=6 3 ;函数 f(x)的极小值为f(t2+ 3 )=( 3 )3-9×( 3)=-6 3.
值.
1.函数y=
1 A. e
C.0
x x 在[0,2]上的最大值是 e 2 B. 2 e 1 D. 2 e
(
)
1 x 答案 A 易知y'= x ,x∈[0,2],令y'>0,得0<x<1,令y'<0,得1<x e x ≤2.所以函数y= x 在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.所以y= e x 在[0,2]上的最大值是y| = 1 .故选A. x=1 x e e
x2 1.已知函数f(x)=-ln x+ +3,则函数f(x)的单调递减区间是 2
人教版高中数学(文科)选修导数的应用(二)
）
A 、 - 37
B、 - 29
C、 - 5
D 、 - 11
3．若函数 f(x)=x 3- 3x 在区间 [ m2 1 ， 2 ] 的最小值是 m2- 2，则实
数 m 的值为 ___
_________． 4．如图，将边长为 a 的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正
上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器，求此容器的体积最小值．
作出函数的草图
y
3
∵ a>0，显然极大值 2+2a 2 >0 ，
故当极小值
3
2- 2a 2 <0 ，即 a>1 时，方程
x3- 3ax+2=0 有三个不同实根；
3
当极小值 2- 2a 2 >0，即 0<a<1 时，方程 x 3- 3ax+2=0 有惟一的实根．当极小值
- aO
ax
3
2- 2a 2 =0 即 a=1 时，方程
导数的应用（二）
【 考点指津 】
1．了解函数极值的概念， 会从几何直观理解函数的极植与其导数的关系， 并能灵活利用导数求有关函数的极值．
增强数形结合的思维意识，
2．掌握函数 f(x) （定义在 [a， b]上且在 (a，b) 内可导）的最大值与最小值的求法结合函数图象，直观 理解函数最大、小值的概念，熟练掌握利用导数求函数最大、小值的方法，并能利用导数解决实际生活中 的一些最大、小值问题．
2b
∴
∴|
|(
)2 4
∵ b≤ - 3，∴ |α - β |≥ 3． 【 知能集成 】
b 2, 1
d 2 (b 2)2 2d
(b 2) 2 16
1．求可导函数极值的步骤： （1）求导函数 f ’(x) ；（ 2）求方程 f ’(x)=0 的根；（ 3）检查 f ’(x) 在方程根左
高考数学(文科)二轮专题配套ppt课件：专题2(第3讲)导数及其应用
(x0 ， f(x0)) 处的切线的斜率，其切线方程是 y － f(x0) ＝
f′(x0)(x－x0).
2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数
f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0 是 f(x) 为增函数的必要不充分条件，当函 数在某个区间内恒有 f′(x) ＝ 0 时，则 f(x) 为常函数，
点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不
(2) 利用导数的几何意义解题 ,主要是利用导数、 切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化 . 以
思 平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 维 升 , 则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进 华 而和导数联系起来求解.
π (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x f′( )＋ 3 3 π 6－4π sin x，则 f′( )＝________. 3 π 2 解析 因为 f(x)＝x f′( )＋sin x， 3 π 所以 f′(x)＝2xf′( )＋cos x. 3 π π π π 所以 f′( )＝2× f′( )＋cos . 3 3 3 3 π 3 所以 f′( )＝ . 3 6－4π
f(x) 故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)； 单调增区间为(－a－1，＋∞).
(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值.
思维启迪
讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)
的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.
解
由 (1) 得， f(x) 的单调减区间为 ( － ∞ ，－ a － 1) ；
数的最值.
热点分类突破
热点一 热点二 热点三 导数的运算和几何意义 利用导数研究函数的性质 导数与方程、不等式
f′(x0)(x－x0).
2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数
f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0 是 f(x) 为增函数的必要不充分条件，当函 数在某个区间内恒有 f′(x) ＝ 0 时，则 f(x) 为常函数，
点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不
(2) 利用导数的几何意义解题 ,主要是利用导数、 切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化 . 以
思 平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 维 升 , 则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进 华 而和导数联系起来求解.
π (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x f′( )＋ 3 3 π 6－4π sin x，则 f′( )＝________. 3 π 2 解析 因为 f(x)＝x f′( )＋sin x， 3 π 所以 f′(x)＝2xf′( )＋cos x. 3 π π π π 所以 f′( )＝2× f′( )＋cos . 3 3 3 3 π 3 所以 f′( )＝ . 3 6－4π
f(x) 故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)； 单调增区间为(－a－1，＋∞).
(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值.
思维启迪
讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)
的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.
解
由 (1) 得， f(x) 的单调减区间为 ( － ∞ ，－ a － 1) ；
数的最值.
热点分类突破
热点一 热点二 热点三 导数的运算和几何意义 利用导数研究函数的性质 导数与方程、不等式
2020届高考数学(文)课标版二轮课件：专题六第3讲 导数的简单应用
a 3
,1单调递增,所以f(x)在[0,1]
的最小值为f
a 3
=-
a3 27
+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=-
a3 27
+2,M=42,-2a,0
a
a
3.
2,
所以M-m=2-a
a3 27
,0
a
2,
a3
,2
a
3.
当0<a<2时,可知2-a+
+3xf '(2)-ln x,则f '(2)的值为 ( B )
A. 7 B.- 7 C. 9 D.- 9
4
4
4
4
答案 B ∵f(x)=x2+3x f '(2)-ln x,∴f '(x)=2x+3f '(2)- 1 ,令x=2,得f '(2)=4+3f '(2)-
x
1 ,解得f '(2)=- 7 .
2
-1
1
.
考点三 利用导数研究极值、最值
命题角度一 求函数的极值、最值
(2019课标全国Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.
解析 (1)f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
若a<0,则当x∈
-
,
a 3
∪(0,+∞)时,
2019高考数学文科二轮专题导数的综合应用(共50张PPT)
函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含 指数函数、对数函数的情形为载体考查函数的零点(方程 的根)、比较大小、不等式证明以及根据不等式恒成立与 能成立求参数的值(或范围)．主要以解答题的形式呈现， 能力要求高．
热点 1 利用导数研究函数的零点(方程的根) 1．利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点 的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函 数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势， 数形结合求解．
(2)证明：由于 x2＋x＋1＞0，所以 f(x)＝0 等价于 x3 －3a＝0. 2 x ＋ x＋ 1 x （x ＋2x＋3） x3 设 g(x)＝ 2 －3a， 则 g′(x)＝ ≥ x ＋x＋1 （x2＋x＋1）2 0，
2 2
仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增． 故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点． 1 12 1 又 f(3a－1)＝－6a ＋2a－ ＝－6(a－ ) － ＜0， 3 6 6
2．三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞ 时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定 其零点的个数即可．存在两个极值点 x1，x2 且 x1＜x2 的 函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
a的符号 a＞0 (f(x1)为 极大值，f(x2) 为极小值)
＝x2－6x－3. 令 f′(x)＝0，解得 x＝3－2 3或 x＝3＋2 3. 当 x∈(－∞，3－2 3)∪(3＋2 3，＋∞)时，f′(x) ＞ 0；
当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)＜0. 故 f(x)在(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)上单调递 增，在(3－2 3，3＋2 3)上单调递减．
人教版高三数学二轮复习导数及导数的应用-精品课件 12页PPT文档
2.函数y x2 2lnx的单调递增区间 为 1,
3 3.函f数 (x)2x31x23x的单调递 增 (-1, 2 区 ) 间 是
32
4 .若 函f(数 x)x3ax24在0（ ， 2）内单调a递 的取减 值范围， 是 则 3,
5.函数f ( x ) x( x m)2在x 1处取得极小值，则实m数 1
t
t1 2 x
2
2
2
1。 当２ t即t4时 2。 当１ t 2即 2t4时 3。 当 t 1即0 <t 2时
2
2
2
f(x)在1， 2上单调递f (减 x)在1，2t
上单调递减
f(x)在1， 2上单调
在
t 2
,2上单调递增
例２ （2019年青岛模拟21（2））【已知函数的单调区间求参数范围】
END
2019本定理 函数极值、不等式证明
14分 函数单调性、极值、 不等式证明
课前双基自测
1.(2011山东文）曲线y x3 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标C是（）
A 9 B 3 C 9 D 1 5
已知函数 f(x) 4 x3 3 t2 x 6 t2x t 1 ,x R 其中 t R
当t 0 时，求 f ( x ) 的单调区间.
f'(x) 6 (t 1 )2 (t 1 )
讨论依据：导函数零点的大小
变式训练：
讨论依据：导函数中最高次项系数的正负
f'(x) 6 (x t)2 (x t)t(0 )
该如何求b的取值范围？f(x)极大值为16 ln 2 - 9, 极小值为32 ln 2 - 21
并且 x 1时， f ( x )
3 3.函f数 (x)2x31x23x的单调递 增 (-1, 2 区 ) 间 是
32
4 .若 函f(数 x)x3ax24在0（ ， 2）内单调a递 的取减 值范围， 是 则 3,
5.函数f ( x ) x( x m)2在x 1处取得极小值，则实m数 1
t
t1 2 x
2
2
2
1。 当２ t即t4时 2。 当１ t 2即 2t4时 3。 当 t 1即0 <t 2时
2
2
2
f(x)在1， 2上单调递f (减 x)在1，2t
上单调递减
f(x)在1， 2上单调
在
t 2
,2上单调递增
例２ （2019年青岛模拟21（2））【已知函数的单调区间求参数范围】
END
2019本定理 函数极值、不等式证明
14分 函数单调性、极值、 不等式证明
课前双基自测
1.(2011山东文）曲线y x3 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标C是（）
A 9 B 3 C 9 D 1 5
已知函数 f(x) 4 x3 3 t2 x 6 t2x t 1 ,x R 其中 t R
当t 0 时，求 f ( x ) 的单调区间.
f'(x) 6 (t 1 )2 (t 1 )
讨论依据：导函数零点的大小
变式训练：
讨论依据：导函数中最高次项系数的正负
f'(x) 6 (x t)2 (x t)t(0 )
该如何求b的取值范围？f(x)极大值为16 ln 2 - 9, 极小值为32 ln 2 - 21
并且 x 1时， f ( x )
《导数的应用文科》课件
导数在数学、物理、工程等 领域的应用将更加广泛
导数在金融、经济等领域的 应用将更加重要
导数在教育、科普等领域的 应用将更加普及
感谢观看
汇报人：
导数在历史学中的应用
历史事件的变化趋 势：通过导数分析 历史事件的发展趋 势和变化规律
历史人物的评价： 通过导数分析历史 人物的贡献和影响
历史事件的影响： 通过导数分析历史 事件对后世的影响 和意义
历史事件的比较： 通过导数分析不同 历史事件之间的异 同和联系
导数在哲学中的应用
单击此处添加标题
导数在哲学中的定义：导数在哲学中通常被用来描述事物发展的趋势和变 化速度。
自然语言处理： 导数在语言模型 和情感分析中用 于优化模型参数
计算机视觉：导 数在图像识别和 图像生成中用于 优化模型参数
导数在大数据分析中的应用前景
导数在数据分析中的重要性：导 数是数据分析中的重要工具，可 以帮助我们更好地理解和分析数 据。
导数在机器学习中的应用：导数 在机器学习中扮演着重要的角色， 可以帮助我们更好地理解和优化 机器学习模型。
《导数的应用文科》 PPT课件
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 导数在生活中的应用 导数的实际应用案例 总结与展望
导数的定义与性质 导数在文科中的应用 导数的未来发展前景
01
添加章节标题
02
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的局部线性近似 导数是函数在某一点的局部线性逼近
导数在金融、经济等领域的 应用将更加重要
导数在教育、科普等领域的 应用将更加普及
感谢观看
汇报人：
导数在历史学中的应用
历史事件的变化趋 势：通过导数分析 历史事件的发展趋 势和变化规律
历史人物的评价： 通过导数分析历史 人物的贡献和影响
历史事件的影响： 通过导数分析历史 事件对后世的影响 和意义
历史事件的比较： 通过导数分析不同 历史事件之间的异 同和联系
导数在哲学中的应用
单击此处添加标题
导数在哲学中的定义：导数在哲学中通常被用来描述事物发展的趋势和变 化速度。
自然语言处理： 导数在语言模型 和情感分析中用 于优化模型参数
计算机视觉：导 数在图像识别和 图像生成中用于 优化模型参数
导数在大数据分析中的应用前景
导数在数据分析中的重要性：导 数是数据分析中的重要工具，可 以帮助我们更好地理解和分析数 据。
导数在机器学习中的应用：导数 在机器学习中扮演着重要的角色， 可以帮助我们更好地理解和优化 机器学习模型。
《导数的应用文科》 PPT课件
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 导数在生活中的应用 导数的实际应用案例 总结与展望
导数的定义与性质 导数在文科中的应用 导数的未来发展前景
01
添加章节标题
02
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的局部线性近似 导数是函数在某一点的局部线性逼近
2021届高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题6 第3讲 导数的简单应用(文科)
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】
(1)由题意可知
y′＝axcos
x－asin x2
x，故在点
M(π，0)处
的切线方程为 y＝－πa(x－π)＝－π1x＋b，则ab＝ ＝11， ， 故选 C．
(2)由题意得：f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex
∴f′(0)＝3，又 f(0)＝1
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，则 n＝mln m，可得切线的斜率为 k＝1＋ln m，
所以 1＋ln m＝n＋m e＝mlnmm＋e，解得 m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选 B．
分值 5 5 5 5 5 5
第二部分 专题六 函数与导数
返回导航
02 考点分类 • 析重点
高考二轮总复习 • 数学
考点一 导数的几何意义
返回导航
1．导数的几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y ＝ f(x) 上 点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)．
(2)由积分的几何意义可得，m2＝m 0
xdx＝
3
23x2
m0 ＝23m32
，
解得 m＝49.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点二 利用导数研究函数的单调性
返回导航
导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区 间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本初等函数 f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝logax(a>0，a≠1)
返回导航
导函数 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝xln1 a
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，
所以 f′(x)＝－1x＋x＝1x(x2－1)．
由f′x>0， ⇔x2－1>0， ⇔x<－1或x>1， ⇔x>1．
x>0
x>0
x>0
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情 况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的 讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大 小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论．
第二部分 专题六 函数与1)(2019·大庆二模)已知函数 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，则其单调递增 区间为__(1_，__＋__∞__)__.
(2)设 f(x)＝ex(ln x－a)，若函数 f(x)在区间1e，e上单调递减，则实数 a 的取值范围为___[e_－__1_，__＋__∞__)__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，则 n＝mln m，可得切线的斜率为 k＝1＋ln m，
所以 1＋ln m＝n＋m e＝mlnmm＋e，解得 m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选 B．
(2)由积分的几何意义可得，m2＝m 0
xdx＝
3
23x2
m0 ＝23m32
，
解得 m＝49.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点二 利用导数研究函数的单调性
返回导航
导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区 间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
知函数 y＝asixn x在点 M(π，0)处的切线方程为－πx＋b＝y，则 ( C )
A．a＝－1，b＝1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝1，b＝1
D．a＝1，b＝－1
(2)(2020·九师联盟质量检测)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，则曲线 y＝f(x)
在点(0，f(0))处的切线方程为__3_x_－__y_＋__1_＝__0__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集； (2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b) 上有解．
专题六 函数与导数
第3讲 导数的简单应用(文科)
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现， 难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、 极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏 下，有时综合在解答题中．
(1，e) ＋ ↗
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
返回导航
可导函数的极值与最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的 极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x) 的极小值． (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要 忽视了定义域的限制．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
典例3 (1)(2019·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义 域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围 是_1_，__32_
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点一 导数的几何意义
返回导航
1．导数的几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y ＝ f(x) 上 点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)．
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区 间，则实数a的取值范围为__(_－__∞__，__－__2_－__2_ln__2_)__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x. 由 f′(x)＝0，得 x＝12.
3．导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
典例1 (1)(2020·贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)已
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
当 a＝－1 时，函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a＜0 时，函数 f(x)在区间(0,1)，－1a，＋∞上单调递减，在 区间1，－1a上单调递增； 当 a＜－1 时，函数 f(x)在区间0，－1a，(1，＋∞)上单调递减，在区 间－a1，1上单调递增．
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
③当－1＜a＜0 时，1＜－a1，令 f′(x)＞0， 则 1＜x＜－1a，令 f′(x)＜0， 则 0＜x＜1 或 x＞－a1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)和－1a，＋∞上单调递减， 在区间1，－1a上单调递增；
第二部分 专题六 函数与导数
据题意，得k－1<12<k＋1， k－1≥0
解得 1≤k＜23.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x) ＝2x－4ex－a>0，即a<2x－4ex有解．
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex. 令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2． 当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增； 当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减． 所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2， 所以a<－2－2ln 2．
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
④当 a＜－1 时，1＞－1a，令 f′(x)＞0， 则－1a＜x＜1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜－1a或 x＞1， 所以函数 f(x)在区间0，－1a和(1，＋∞)上单调递减，在区间－1a，1 上单调递增． 综上，当 a≥0 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋ ∞)上单调递增；
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向 1 讨论函数的单调性 典例2 (2019·长沙二模)已知函数 f(x)＝1x＋(1－a)ln x＋ax(a
∈R)．试讨论 f(x)的单调性． 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x12＋1－x a＋a＝ax2＋1x－2 ax－1＝x－1x2ax＋1.
因为 g′(x)＝1x－x12＝x－x21.
由 g′(x)＝0，得 x＝1．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
x g′(x)
1e，1 －
g(x)
↘
g1e＝ln 1e＋e＝e－1，g(e)＝1＋1e，
因为 e－1>1＋1e，所以 g(x)max＝g1e＝e－1． 故 a 的取值范围为[e－1，＋∞)．
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝3(x－0)，
即 3x－y＋1＝0．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设 切 点 P(x0 ， y0) ， 通 过 方 程 k ＝ f′(x0) 解 得 x0 ， 再 由 点 斜 式 写 出 方 程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求 得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝logax(a>0，a≠1)
返回导航
导函数 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝xln1 a
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，
所以 f′(x)＝－1x＋x＝1x(x2－1)．
由f′x>0， ⇔x2－1>0， ⇔x<－1或x>1， ⇔x>1．
x>0
x>0
x>0
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情 况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的 讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大 小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论．
第二部分 专题六 函数与1)(2019·大庆二模)已知函数 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，则其单调递增 区间为__(1_，__＋__∞__)__.
(2)设 f(x)＝ex(ln x－a)，若函数 f(x)在区间1e，e上单调递减，则实数 a 的取值范围为___[e_－__1_，__＋__∞__)__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，则 n＝mln m，可得切线的斜率为 k＝1＋ln m，
所以 1＋ln m＝n＋m e＝mlnmm＋e，解得 m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选 B．
(2)由积分的几何意义可得，m2＝m 0
xdx＝
3
23x2
m0 ＝23m32
，
解得 m＝49.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点二 利用导数研究函数的单调性
返回导航
导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区 间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
知函数 y＝asixn x在点 M(π，0)处的切线方程为－πx＋b＝y，则 ( C )
A．a＝－1，b＝1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝1，b＝1
D．a＝1，b＝－1
(2)(2020·九师联盟质量检测)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，则曲线 y＝f(x)
在点(0，f(0))处的切线方程为__3_x_－__y_＋__1_＝__0__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集； (2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b) 上有解．
专题六 函数与导数
第3讲 导数的简单应用(文科)
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现， 难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、 极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏 下，有时综合在解答题中．
(1，e) ＋ ↗
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
返回导航
可导函数的极值与最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的 极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x) 的极小值． (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要 忽视了定义域的限制．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
典例3 (1)(2019·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义 域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围 是_1_，__32_
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
考点一 导数的几何意义
返回导航
1．导数的几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y ＝ f(x) 上 点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)．
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区 间，则实数a的取值范围为__(_－__∞__，__－__2_－__2_ln__2_)__.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x. 由 f′(x)＝0，得 x＝12.
3．导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
典例1 (1)(2020·贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)已
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
当 a＝－1 时，函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a＜0 时，函数 f(x)在区间(0,1)，－1a，＋∞上单调递减，在 区间1，－1a上单调递增； 当 a＜－1 时，函数 f(x)在区间0，－1a，(1，＋∞)上单调递减，在区 间－a1，1上单调递增．
返回导航
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
③当－1＜a＜0 时，1＜－a1，令 f′(x)＞0， 则 1＜x＜－1a，令 f′(x)＜0， 则 0＜x＜1 或 x＞－a1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)和－1a，＋∞上单调递减， 在区间1，－1a上单调递增；
第二部分 专题六 函数与导数
据题意，得k－1<12<k＋1， k－1≥0
解得 1≤k＜23.
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x) ＝2x－4ex－a>0，即a<2x－4ex有解．
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex. 令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2． 当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增； 当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减． 所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2， 所以a<－2－2ln 2．
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
④当 a＜－1 时，1＞－1a，令 f′(x)＞0， 则－1a＜x＜1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜－1a或 x＞1， 所以函数 f(x)在区间0，－1a和(1，＋∞)上单调递减，在区间－1a，1 上单调递增． 综上，当 a≥0 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋ ∞)上单调递增；
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向 1 讨论函数的单调性 典例2 (2019·长沙二模)已知函数 f(x)＝1x＋(1－a)ln x＋ax(a
∈R)．试讨论 f(x)的单调性． 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x12＋1－x a＋a＝ax2＋1x－2 ax－1＝x－1x2ax＋1.
因为 g′(x)＝1x－x12＝x－x21.
由 g′(x)＝0，得 x＝1．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
x g′(x)
1e，1 －
g(x)
↘
g1e＝ln 1e＋e＝e－1，g(e)＝1＋1e，
因为 e－1>1＋1e，所以 g(x)max＝g1e＝e－1． 故 a 的取值范围为[e－1，＋∞)．
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝3(x－0)，
即 3x－y＋1＝0．
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设 切 点 P(x0 ， y0) ， 通 过 方 程 k ＝ f′(x0) 解 得 x0 ， 再 由 点 斜 式 写 出 方 程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求 得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．