万能公式推导

万能公式推导

sin2a =2s in a cos a =2s in a cos a /s A2 ( a) +sin^2 (a) ) ................... *,

(因为COsA2 ( a) +sinA2 ( a) =1)

再把*分式上下同除cosA2 ( a),可得sin2 a =2an a /(1+ta门人2 ( a))

然后用a /2代替a即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3 a =sin3 a /cos3 a

=/ Sin2 a cos a +cos2 a sin) a/ / cos2 a cos a-sin2 a sin a

=/ 2sin a cosA2 / a) +cosA2 / a) sin a—SinA3 / a ) ) / / cosA3 / a) —cos a sinA2 (a ) —2sinA2 / a) COS a )

上下同除以cosA3 / a)，得：

tan3 a= / 3tan a—tan人3 / a) ) / / 1-3ta门人2 / a))

sin3 a =sin / 2 a + a) =sin2 a cos a +cos2 a sin a

=2sin a cosA2 / a) + /1 —2si门人2 / a) ) sin a

=2sin a—2si门人3 / a) +sin a—2si门人3 / a)

=3sin a—4sin人3 / a)

cos3 a =cos / 2 a + a =cos2 a cos a —sin2 a sin a

=[2cosA2 / a) —1]cos a—2COS a S“A2 / a)

=2cosA3 / a) —cos a +[2COS a—2COSA3 / a)]

=4cosA3 / a) —3cos a

即

sin3 a =3sin(— 4si门人3 / a)

COS3 a =4COSA3 / a) —3COS a

和差化积公式推导

首先，我们知道 sin （a+b ） =sina*cosb+cosa*sinb , sin （a-b ） =sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin （a+b ） +sin （ a-b ） =2sina*cosb

所以，sina*cosb=[sin （ a+b ） +sin （ a-b ）]/2

同理，若把两式相减，就得到

cosa*sinb=[sin （ a+b ）-sin （ a-b ） ]/2 同样的，我们还知道 cos （ a+b ） =cosa*cosb-sina*sinb ， cos （ a-b ）

=cosa*cosb+s in a*s inb

所以，把两式相加，我们就可以得到 cos （ a+b ） +cos （ a-b ）=2cosa*cosb

所以我们就得到， cosa*cosb=[cos （ a+b ） +cos （ a-b ）]/2

同理，两式相减我们就得到 sina*sinb=-[cos （a+b ）-cos （a-b ）]/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

好，有了积化和差的四个公式以后， 我们只需一个变形， 就可以得到 和差化积的四

个公式

我们把上述四个公式中的 a+b 设为x , a-b 设为y ，那么a= （x+y ） /2， b= （x-y ） 把a ，b 分别用 x ，y 表示就可以得到和差化积的四个公式：

sin x+s iny=2s

in[

（x+y ） /2]*cos[ （ x-y ） /2] sin x-s

iny=2cos[

（x+y ） /2]*si n[ （ x-y ） /2] cosx+cosy=2cos[ （x+y ） /2]*cos[ （x-y ） /2]

cosx-cosy=-2sin[ （ x+y ） /2]*sin[ （ x-y ） /2]

sin a*cosb=[s in （a+b ） +s in （ a-b ）]/2

cosa*s in b=[s in （a+b ） -sin （ a-b ） ]/2

cosa*cosb=[cos （a+b ） +cos （ a-b ） ]/2

sin a*s in b=-[cos （a+b ） -cos （ a-b ） ]/2

同角三角函数的基本关系式

倒数关系

tan a • cot a =1

sin a CSC a =1

cos a sec a =1

商的关系

sin a /cos a =tan a =sec a /CSC a

COS a /sin a =COt a =CSC a /sec a

平方关系

sinT ( a) +cos A2 ( a) =1

1+ta门人2 ( a) =secA2 ( a)

1+CotA2 ( a) =CscA2 ( a)

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

sin (a + 3 =sin a cos 3 +cos a sin 3