投资学第二讲利息2
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m
r/m r/m
lim (1 ) e
r m m
r/m
r
r/m
0 m periods
1
Continuous Compounding
更一般的，如果投资了t 年，每年复利 m次
m
lim(1 ) e
r tm m
r/m r/m
rt
r/m
r/m
0 m periods
1
Example: Let A=$100, r=9% compounded continuously. After 1.5 years, your investment has grown to:
principal interest
Principal and Interest
按照如下表示：
A : Principal 本金 r : interest rate per period 每期的收益率
一期以后，你可以得到
A(1+r)
A
0 1
A(1+r)
time
Principal and Interest
0
A
1
A(1+r)
A(1+nr)
n
A(1+nr) Money grows linearly
time
Example
如果按照每年10％的单利借入5000元， 5年后应该还多少？
Let V = Final value, A = Principal, r = interest rate:
V A(1 r (time)) $5000(1 0.1(5)) $7500
•Duration •Convexity
本金和利息 Principal and Interest
利息Interest
单利Simple Interest 复利Compound Interest 有效利率Effective Interest Rate
基本的想法
一次投资主要看支出与收入的分布情况 如果用货币来描述支出和收入的话，就可以 集中来讨论现金流 Cash Flow
多期后的利息如何计算？ 两种方法：
– Simple 单利 – Compound 复利
A
0 10
???
time
Simple Interest
单利
– Interest is proportional to the time invested.
Time: 0 1 2 n Value: A A+Ar=A(1+r) A+A(2r)=A(1+2r)
费雪（I.Fisher)
“二十世纪最伟大的经济 学家”。
– 《资本与收入的性质》 （1907） – “利息论”（1907） – 《利息理论》（1930） （上海人民中译本）
－把奥地利学派的经济 学思想拉回到真实世界 里来
1
10 (1 0.08/ 4)
3
34
12.68元
10 (1 r ) 12.68元
10 (1 3r ) 12.68元
10
0 3
12.68
time
连续复利 Continuous Compound Interest
将每年复利的频次取为无数次 Take the limit of m periods per year as m approaches infinity.
特征 Interest on Interest.
Time: 0 1 2 n Value: A A(1+r) A(1+r)(1+r)=A(1+r)2
0
A
1
A(1+r)
A(1+r)n
n
A(1+r)n
time
Money grows geometrically
• Example:
You deposit $100 at 7% interest compounded yearly. How much do you have after 10 years? 你按照7％的年复利率，投资了100元， 10年后能得到多少?
r/m r/m r/m
0.08
4
) 1 8.24%
4
r/m
0 m periods
1
习 题
1 、Convert
a)
nominal 3% compounded quarterly to the nominal rate compounded monthly. nominal 6% compounded semi-annually to the nominal rate compounded continuously.
r/m r/m r/m r/m
0 m periods
1
Nominal Interest Rate
给出年复利率 r%，实际每年计复利m次， 半年后 (1+r/m)0.5m 一年后 (1+r/m)m 一年半后 (1+r/m)1.5m 如果投资了k期，那么本金增值为 (1+r/m)k
r/m r/m r/m r/m
b)
2、求以下名义利率的有效利率
a) 8% compounded monthly?
b) 5% compounded semi-annually?
c) 10% compounded continuously?
3、以下四种利率哪项对投资者最优，为什么？
a) 10% compounded continuously. b) 10.3% compounded monthly. c) 10.5% compounded quarterly. d) 10.6% compounded yearly.
– 事件（events) – “一连串事件”构成收入
资本是资产的现时市场价值，是未来收入的折现，或者 收入的资本化 Capitalization 利息是连接收入与资本的桥梁
利息理论
有形形色色的利息 利息= 纯利息 + 风险/莫测 纯利息 pure interest 1、没有不履行债务的信用风险 2、没有通货膨胀的风险 3、没有需要牺牲其它投资机会的机会成本
Appendixwenku.baidu.com1
费雪的经济理论框架
产权理论
财富/资产
收入
价格理论
资本
金融理论
收入的市值
资产、收入与资本
资产是一切带来未来收入的资源；
– 财货（有形的与无形的） – 人的能力 – 人本身
收入
– 享受的、实际的和货币的 – 收入是资产或财货提供的服务。 – 收入川流（income flow)
“收入是一连串事件”（Income is a series of events)。
r/m r/m r/m
(1 r )k
r 1 m
k
e
rt
r/m
0 m periods
1
Principal and Interest Simple Interest Interest
Compound Interest
Effective Interest Rate
有效利率 Effective Interest Rate
V 100e
r/m r/m
(0.09)(1.5)
$114.45
r/m
r/m
0 m periods
1
Compound Interest Summary
r 是给出的名义利率:
Yearly for k years: m periods per year for k periods: Continuously for time t:
x1 x2 x3 x0 x4
x5
x6
time
Principal and Interest
Principal 本金: Amount invested
Interest 利息: Rent paid on investment
比如你投资了 $1，回报率是 每年8%. 一年结束时，你收到 $1.08.
$1.08 = $1.00 + $0.08
V A(1 r )n 100(1 0.07)10 196.72
拇指法则 Rule of Thumb
The rule of 72: – 按照每年r% 复利的投资，大约 过72/r 年可以翻倍。
名义利率 Nominal Interest Rate
– 很多场合下比年复利还要频繁，比如每年复利m次. – 传统：给出年复利率r，但按照每年复利次数m， 计算复利 – 这样给出的复利率，就称为名义利率.
1 reff (1
rnom m
)
m
reff (1
rnom m m
) 1
Example: What is the effective yearly rate of 8% compounded quarterly? 名义利率8％，每季度复利一次，求它的有 效年利率
reff (1
Simple interest is not used often in practice.
Principal and Interest Simple Interest Interest
Compound Interest
Effective Interest Rate
Compound Interest
不耐（impatience)
不耐：急不可耐的现时消费倾向。 享受收入是生命的投入 纯利息：为牺牲“不耐”的出价 降低不耐的其他可能性：收入水平，安全 性，教育
利息率：自然生长率 投资机会：牺牲现时消费的回报
资本是收入的折现
– 收入流 – 净收入流：未来收入减去未来成本
资本与行为解释：人们站在现在，面对未 来做选择；选择的机会成本；约束下的 行为
0 m periods
1
Example:
按照8％的复利率投资了10元，每季度复利一次，三 年后回报多少？ Invest $10 at 8% compounded quarterly for 3 years.
10 (1 0.08/ 4)
r/m r/m r/m
34
12.68元
r/m
0 m periods
投资学第二讲
利息 Interest
课程脉络
确定性的现金流定价： 时间的维度
单期随机现金流定价： 风险的维度
Chapters 5，14-16
Chapters 6-13
Course Overview
Topics:
•Interest
确定性的现金流定价： 时间的维度
•NPV/IRR
•Yield Curve/Forward Rates
r/m r/m
lim (1 ) e
r m m
r/m
r
r/m
0 m periods
1
Continuous Compounding
更一般的，如果投资了t 年，每年复利 m次
m
lim(1 ) e
r tm m
r/m r/m
rt
r/m
r/m
0 m periods
1
Example: Let A=$100, r=9% compounded continuously. After 1.5 years, your investment has grown to:
principal interest
Principal and Interest
按照如下表示：
A : Principal 本金 r : interest rate per period 每期的收益率
一期以后，你可以得到
A(1+r)
A
0 1
A(1+r)
time
Principal and Interest
0
A
1
A(1+r)
A(1+nr)
n
A(1+nr) Money grows linearly
time
Example
如果按照每年10％的单利借入5000元， 5年后应该还多少？
Let V = Final value, A = Principal, r = interest rate:
V A(1 r (time)) $5000(1 0.1(5)) $7500
•Duration •Convexity
本金和利息 Principal and Interest
利息Interest
单利Simple Interest 复利Compound Interest 有效利率Effective Interest Rate
基本的想法
一次投资主要看支出与收入的分布情况 如果用货币来描述支出和收入的话，就可以 集中来讨论现金流 Cash Flow
多期后的利息如何计算？ 两种方法：
– Simple 单利 – Compound 复利
A
0 10
???
time
Simple Interest
单利
– Interest is proportional to the time invested.
Time: 0 1 2 n Value: A A+Ar=A(1+r) A+A(2r)=A(1+2r)
费雪（I.Fisher)
“二十世纪最伟大的经济 学家”。
– 《资本与收入的性质》 （1907） – “利息论”（1907） – 《利息理论》（1930） （上海人民中译本）
－把奥地利学派的经济 学思想拉回到真实世界 里来
1
10 (1 0.08/ 4)
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12.68元
10 (1 r ) 12.68元
10 (1 3r ) 12.68元
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0 3
12.68
time
连续复利 Continuous Compound Interest
将每年复利的频次取为无数次 Take the limit of m periods per year as m approaches infinity.
特征 Interest on Interest.
Time: 0 1 2 n Value: A A(1+r) A(1+r)(1+r)=A(1+r)2
0
A
1
A(1+r)
A(1+r)n
n
A(1+r)n
time
Money grows geometrically
• Example:
You deposit $100 at 7% interest compounded yearly. How much do you have after 10 years? 你按照7％的年复利率，投资了100元， 10年后能得到多少?
r/m r/m r/m
0.08
4
) 1 8.24%
4
r/m
0 m periods
1
习 题
1 、Convert
a)
nominal 3% compounded quarterly to the nominal rate compounded monthly. nominal 6% compounded semi-annually to the nominal rate compounded continuously.
r/m r/m r/m r/m
0 m periods
1
Nominal Interest Rate
给出年复利率 r%，实际每年计复利m次， 半年后 (1+r/m)0.5m 一年后 (1+r/m)m 一年半后 (1+r/m)1.5m 如果投资了k期，那么本金增值为 (1+r/m)k
r/m r/m r/m r/m
b)
2、求以下名义利率的有效利率
a) 8% compounded monthly?
b) 5% compounded semi-annually?
c) 10% compounded continuously?
3、以下四种利率哪项对投资者最优，为什么？
a) 10% compounded continuously. b) 10.3% compounded monthly. c) 10.5% compounded quarterly. d) 10.6% compounded yearly.
– 事件（events) – “一连串事件”构成收入
资本是资产的现时市场价值，是未来收入的折现，或者 收入的资本化 Capitalization 利息是连接收入与资本的桥梁
利息理论
有形形色色的利息 利息= 纯利息 + 风险/莫测 纯利息 pure interest 1、没有不履行债务的信用风险 2、没有通货膨胀的风险 3、没有需要牺牲其它投资机会的机会成本
Appendixwenku.baidu.com1
费雪的经济理论框架
产权理论
财富/资产
收入
价格理论
资本
金融理论
收入的市值
资产、收入与资本
资产是一切带来未来收入的资源；
– 财货（有形的与无形的） – 人的能力 – 人本身
收入
– 享受的、实际的和货币的 – 收入是资产或财货提供的服务。 – 收入川流（income flow)
“收入是一连串事件”（Income is a series of events)。
r/m r/m r/m
(1 r )k
r 1 m
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r/m
0 m periods
1
Principal and Interest Simple Interest Interest
Compound Interest
Effective Interest Rate
有效利率 Effective Interest Rate
V 100e
r/m r/m
(0.09)(1.5)
$114.45
r/m
r/m
0 m periods
1
Compound Interest Summary
r 是给出的名义利率:
Yearly for k years: m periods per year for k periods: Continuously for time t:
x1 x2 x3 x0 x4
x5
x6
time
Principal and Interest
Principal 本金: Amount invested
Interest 利息: Rent paid on investment
比如你投资了 $1，回报率是 每年8%. 一年结束时，你收到 $1.08.
$1.08 = $1.00 + $0.08
V A(1 r )n 100(1 0.07)10 196.72
拇指法则 Rule of Thumb
The rule of 72: – 按照每年r% 复利的投资，大约 过72/r 年可以翻倍。
名义利率 Nominal Interest Rate
– 很多场合下比年复利还要频繁，比如每年复利m次. – 传统：给出年复利率r，但按照每年复利次数m， 计算复利 – 这样给出的复利率，就称为名义利率.
1 reff (1
rnom m
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) 1
Example: What is the effective yearly rate of 8% compounded quarterly? 名义利率8％，每季度复利一次，求它的有 效年利率
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Simple interest is not used often in practice.
Principal and Interest Simple Interest Interest
Compound Interest
Effective Interest Rate
Compound Interest
不耐（impatience)
不耐：急不可耐的现时消费倾向。 享受收入是生命的投入 纯利息：为牺牲“不耐”的出价 降低不耐的其他可能性：收入水平，安全 性，教育
利息率：自然生长率 投资机会：牺牲现时消费的回报
资本是收入的折现
– 收入流 – 净收入流：未来收入减去未来成本
资本与行为解释：人们站在现在，面对未 来做选择；选择的机会成本；约束下的 行为
0 m periods
1
Example:
按照8％的复利率投资了10元，每季度复利一次，三 年后回报多少？ Invest $10 at 8% compounded quarterly for 3 years.
10 (1 0.08/ 4)
r/m r/m r/m
34
12.68元
r/m
0 m periods
投资学第二讲
利息 Interest
课程脉络
确定性的现金流定价： 时间的维度
单期随机现金流定价： 风险的维度
Chapters 5，14-16
Chapters 6-13
Course Overview
Topics:
•Interest
确定性的现金流定价： 时间的维度
•NPV/IRR
•Yield Curve/Forward Rates