课题反函数概念

课题 反函数的概念

松江二中 黄继红

一、 教案设计思考 1．教材分析：

“反函数的概念”一课选自高中一年级数学>第一学期>上教版>第一课时，是对函数概念在认识上的深化和提高，又是为后继对数函数的学习作准备。

教材的编排思路是先借助摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换的实例，从图像、表格和函数解析式三面，揭示华氏温度关于摄氏温度的函数和摄氏温度关于华氏温度的函数，从特例中让学生初步感受反函数的概念，在此基础上，定义反函数，然后揭示互为反函数的两函数关系，通过例题解答揭示反函数的求法，最后提出同一坐标系中函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1

x f

y -=的图像的关系问题，以特例

加以说明。这样的编排，学生对于反函数概念的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于为什么学习反函数、什么样的函数存在反函数、同一坐标系下()y f x =与1

()x f

y -=的图像有关系、将x )(1

y f

-=改写为y )(1

x f

-=的必要性等问题无

从感受或体验不深。我的教学对像是重点中学学生，认知水平较高，善于思考，探究欲望强，但是对于概念学习重视不够，这是一个普遍存在的现象。为了让学生不仅获得反函数知识,而且更重要的是体验知识的形成过程,以及形成过程中的思想法和思维过程，提高学生数学素质，激发学习数学概念的兴趣。我将反函数的教学分为两课时完成，本课为第一课时，确立以“问题解决”为中心，将反函数的概念教学设计成“活中有实，实中见活”的探究性学习的课堂教学，这对培养学生的创新意识和能力是有一定帮助的。 2．教案亮点：

以反函数概念教学为核心，以“函数的定义和图像特征”为主线，通过解决实际问题，将学生现有的知识经验（函数概念）作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验（反函数概念），建立、理解和记忆概念，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与小组合作相结合，引发认知冲突，以师生和生生间交流、互评的式，促进学生的思维能真正动起来,展示学生是理解和深化概念的主体；在概念形成、理解、深化和应用中，结合媒体实验，展示学生是体验概念研究法和数形结合思想的主体。 二、 教学目标 1．知识目标：

正确理解反函数的定义，初步掌握由原来函数求反函数的法。 2．能力目标：

体会数形结合思想的应用，感受具体到抽象到具体的概念学习的法，培养观察、分析和抽象概括的能力。

3．情感目标：

在建立反函数定义的探究中培养学生思维的谨性；在理解互为反函数的两个函数之间的在联系中，培养学生树立对立统一的辩证思维观点；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情。 三、教学重点、难点：

教学重点：反函数的定义及反函数的求法。 教学难点：反函数存在的条件。 四、教学法及手段：

教学法：探究、讨论式。 教学手段：多媒体辅助教学。

反函数是数学教学中的一个难点，为了突出重点、突破难点，我设计了以下的教学环节。首先应用课本实例，渗透函数的三种表示形式，带动复习函数定义及函数图像的特征，从而加强学生对函数概念的认识，为引入新课打下坚实的基础。其次我根据重点中学学生实际（认知水平较好），在“反函数概念”的建立过程中，以“函数定义和图像研究”相结合、以“黑板板书和PPT 显示及几画板实验”相结合，贯穿教学全过程，组织了六个层面的活动。（1）实例分析、抽取本质，复习函数概念，初步建立“反函数概念”。（2）引导学生在对具体函数的研究中，紧扣函数定义，从数与形的两个角度探索存在反函数的条件，达到对反函数概念本质的理解。（3）通过对同一坐标系下()y f x =与1

()x f

y -=的图像研究，引发认知冲突，从

而理解互换x y 、的必要性。（4）探讨互为反函数的函数关系，理解反函数的性质与求法，并在解题的应用中，强化反函数概念。（5）引导学生对思考题的探究，深化反函数概念。（6）学生自我总结，进一步体会反函数概念及其研究法。最后，对于学生在课堂讨论中出现的关于互为反函数的函数关系的其它性质，

[][2,1--一个公共点，说明函数2

y x =][]2,1--）存在反函数。

以作业形式留给同学们课外探究，然后在后面的课时中再研究。 七、教学反思：

1、紧扣课本，但又不死扣课本

建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。所以，我仍然应用课本实例引入，但不同的是我设计了几个具体问题，并抽取本质带动复习函数概念，并在实际应用中，让学生感受反过来研究x 是否是y 的函数的必要性，即让学生体验学习反函数的必要性，为引入新课作了铺垫。同时，又设计函数328.1+=x y 与

函数8

.132

-=

y x 是否为相同函数问题，一面再次复习函数概念，另一面为后面一般研究()y f x =与 1()x f y -=的关系服务，达到分散难点的目的。在形成反函数概念的过程中，我拆成了三个环节教学，

（1）初步形成概念；（2）探究反函数存在的条件；（3）互换x y 、的必要性。我认为这样的处理，学生获得的双基是扎实的，对反函数概念的知识形成的体会是深刻的。我又应用课本例题——求下列函数的反函数，但是我分为两环节应用，第一环节设计成判断题，是否存在反函数，并回答为什么，用于理解概念；第二环节设计成书本问题，用于巩固反函数的求法，强化三个步骤。所不同的是，我又设计了两个用图像法表示的函数作为是否存在反函数的判断题，通过几画板实验，研究函数和反函数存在的原来函数的图像的几特征，让学生又能从形的角度把握反函数的概念，我认为这样的处理，学生获得的双基又是深化发展的。最后设计的探究题，展示学生的思维是灵活的，对反函数概念的理解是深刻的。

2、主导和主体相结合，自主学习和小组合作相结合

自主探索与合作交流是《数学新课标》中提出的学生学习数学的重要式。教学实践也证明，在自主探索与合作交流的学习式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多。在本节课实施中的每一个学习活动，都试图以学生个性思维，自我感悟为前提，多次创设让学生自主探索，合作交流的时间与空间。通过学生和谐有效地互动，强化学生的自我意识。我精心设计问题，以问题为中心组织教学，体现教师的导向功能，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与小组合作相结合，体现教师的导律功能，展示学生是理解和深化概念的主体；应用媒体实验，体现教师的导标功能，展示学生是体验概念研究法和数形结合思想的主体。本课从不同的角度和面加深了学生对反函数有关概念和性质的理解，对数学语言、阅读能力的培养，同时对提高他们的抽像思维能力是极有好处的。学生课堂上的反映热烈，积极参与小组讨论，回答问题踊跃。

3、课堂预设和生成的矛盾处理

当我提问“为什么说328.1+=x y 表示了y 关于x 的函数”而学生一时说不上时，我能适时根据学生反映调整教学活动，帮助他们复习函数概念，而且在黑板上加以板书，并在后面的环节中，结合具体例子，创设多次复习函数概念的问题，为反函数概念学习打下坚实的基础。但是，当学生研究出“1

()f f x x -⎡⎤=⎣⎦，[]1()f f x x -=”时，又一次发生“预设和生成”的冲突时，我为了突出本课的教学重点和难点，决定将计划在下节课研究的这两条恒等式作了回避处理。对于这一环节处理，我总觉得未能很好地尊重学生，是否顺着他的思维让全班同学对此一起研究，我觉得值得思考。