线性代数课程介绍精讲
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
(完整word版)《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。
其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。
本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。
通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。
因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。
2. 课程在整个课程体系中的地位《线性代数》是计算机专业的基础课。
《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。
二、课程目标1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置；2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法；3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用；4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力；5．学会用线性代数的方法处理离散对象；6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力；7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。
三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
《线性代数(经管类)》讲义
2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 + 5×1列 1
0
0 按第二行展开 31
2 = 81
37 5
7 37 5
10/53
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 = b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 −1 2 1 2行 +1×1行 5 D4 = 5 2 3 2 3行 + (−2) ×1行 1
062 0 −5 0
56 按第二列展开 − 1 − 5
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 + ai2 Ak 2 + L + ain Akn = 0(i ≠ k )
或 a1 j A1s + a2 j A2s + L + anj Ans = 0( j ≠ s)
8/53
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
3
3
∑ ∑ 我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 = ai1 Ai1 = (−1)i+1 ai1Mi1
《线性代数》课件
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括 矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法， 包括矩阵法和消元法。
高等数学中的线性代数初步讲解
高等数学中的线性代数初步讲解近几年，线性代数已成为高等数学课程中必修的一门学科。
与其他数学分支不同，线性代数在实际生活中占据着重要的角色。
它不仅是数学基础中的重要组成部分，也在计算机科学、化学、物理学、社会科学、经济学等各个领域得到了广泛应用。
本文旨在初步讲解高等数学中的线性代数内容，帮助读者更好地理解这一学科。
一、向量和矩阵线性代数以向量和矩阵为其基本的概念。
向量简单的理解就是有方向的线段。
我们可以使用坐标来描述每个向量的位置。
假设在平面直角坐标系中有两个向量，分别表示为向量$u$和向量$v$，那么它们的坐标表示分别是:$u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2)$两个向量的和是它们的坐标分别相加:$u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$与此同时，矩阵也是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩阵。
例如下面的2x2的矩阵:$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$矩阵的上下文语境是重要的，它可以表示线性映射、方程组、向量空间等概念。
二、线性变换和线性方程组线性变换是指一种将每个向量映射到另一个向量的映射方法。
它是一种线性的映射方法，遵循以下原则：（1）变换不改变向量的零长度；（2）变换不改变两向量之间的距离或角度；（3）变换不改变向量的方向。
线性变化有一个特殊的矩阵形式，称之为变换矩阵，利用这个矩阵可以表示线性变化。
例如，下面的矩阵：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$其中零在最后一行最后一个位置上。
这个变换矩阵表示将三维空间中的向量映射到二维空间中。
线性方程组在实际应用中也非常广泛。
我们可以使用矩阵和向量表示线性方程组。
例如，下面的二元一次方程：$ax + by = c \\dx + ey = f$可以表达为如下矩阵形式：$\begin{bmatrix}a & b \\d & e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c \\f\end{bmatrix}$当然，这样表示的优势不仅仅在于简化表达，也在于简化解决问题的方法。
线性代数大学生公开课教案
课程名称：线性代数授课对象：本科生课时：1课时教学目标：1. 了解线性代数的基本概念和基本运算。
2. 掌握矩阵、向量、线性方程组等基本内容。
3. 培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学重点：1. 矩阵、向量、线性方程组的基本概念和运算。
2. 矩阵的秩、逆矩阵、特征值和特征向量等概念。
教学难点：1. 矩阵运算的技巧和性质。
2. 线性方程组的解法。
教学过程：一、导入1. 引入线性代数的实际应用背景，如工程、物理、经济等领域。
2. 强调线性代数在各个学科中的重要性。
二、教学内容1. 矩阵的基本概念和运算- 矩阵的定义、表示方法- 矩阵的加法、数乘、乘法- 矩阵的转置、共轭转置- 矩阵的行列式、逆矩阵- 矩阵的秩、性质2. 向量的基本概念和运算- 向量的定义、表示方法- 向量的加法、数乘- 向量的长度、单位向量- 向量的线性相关性、线性无关性3. 线性方程组- 线性方程组的定义、表示方法- 线性方程组的解法（高斯消元法、克莱姆法则）- 线性方程组的解的性质三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 计算矩阵的逆矩阵。
- 判断矩阵的秩。
- 求解线性方程组。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、总结与反馈1. 教师总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 学生反馈学习过程中的收获和困惑，教师进行解答和指导。
教学评价：1. 课堂练习的正确率。
2. 学生对线性代数基本概念和运算的掌握程度。
3. 学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况调整教学内容和进度。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 加强与学生的互动，提高课堂氛围。
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
线性代数第三节(非齐次线性方程组)课讲PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例1
2x y 4
x
3y
5
旳导出方程组为：
2x y 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
3y
0
定理1 非齐次线性方程组Ax=b旳解与它导出 方程组Ax=0 旳解之间有如下关系：
(1) 设 1 , 2 是Ax=b旳解, 则1 - 2 为对
齐次线性方程组Ax = 0 旳解。
(2) 是方程Ax=b旳解, 是Ax=0旳解,则 + 是方程 Ax=b 旳解.
其中 k1 , k2 是任意常数.
例 4 a，b为何值时， 线性方程组
x1 ax2 x1 2ax2
x3
x3
3,
4,
x1 x2 bx3 4.
有唯一解，无解或无穷多解？在有无穷多解，
求其通解？
ξ1
1
,
ξ
2
0
,
ξ
3
0
,
0 1 0
0
0
1
（4）通解
于是, 原方程组旳通解为
x = c11 + c22 + c33 + *,
其中 c1 , c2 , c3 是任意常数.
例3 已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性
方程组 Ax = b 旳解, R(A) = 1, 且
1
1
1
1 2 0 , 2 3 1 , 1 3 1 ,
0
0
1
求方程组旳通解.
解： 由题设易得
1
1 2
2(1
2
3 )
(2
3 )
1 2
[(1
2 )
(2
3 )
(1
3 )]
(2
线性代数-课件ppt
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
3 2 7 5
例1：已知
A
1 6
线性代数
• 矩阵的概念 • 矩阵的基本运算 • 矩阵的初等变换与矩阵的秩 • 逆矩阵 • 线性方程组解的判定
矩阵的概念
• 一、矩阵概念的引入 • 二、矩阵的定义 • 三、几种特殊的矩阵 • 四、同型矩阵和矩阵相等
一、矩阵概念的引入
B
某航空公司在A,B,C,D四城市之间
开辟了若干航线 ,如图所示表示了 四城市间的航班图,如果从A到B有
13 6 19 7
7 10
2 28
2 2
21 24
三、矩阵的乘法
引例：某校明后两年计划建筑教学楼和宿舍楼。建筑面积及材料耗用量如表：
建筑面积（单位：100平方米）
教学楼 宿舍楼
材料（每100平方米耗用量，单位：吨）
钢材 水泥 铝材
明年 20
10
教学楼
2
18
0.4
后年 30
20
宿舍楼 1.5
1 2 3 4
解：设A
4 3 2
1 4 3
2 1 4
123 ,
x1
X
x x x
2 3 4
,
1
B
2 2 1
,
所以方程组可表示为 ：
1 2 3 4 x1 1
线性代数讲座_1,2章
IO
P T A* A A 0
Q A T A1 b A 0
Q可逆 Q 0 T A1 b 0 T A1 b
例4. 设
A, B 均为 2 阶矩阵, 若
A
2,
B
3,
O
则
B
A O
*
=
A
O 2A*
3B*
O
B
O 3A*
2B*
O
C
O 2B*
3A*
a122
a123
3a121 1
a11 3 3
例3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, α 为 n 维列向量, b 为常数, 记
I O A
P
T
A*
A
,
Q
T
b
.
(1) 计算并化简 PQ. (2) 证明矩阵 Q可逆 T A1 b.
分析:
I O A
PQ
T
A*
A
标准方法: 利用行列式性质直接计算:
A 2B 1, 2, 3, 1 23, 1, 2, 2
1 23 , 2 21 , 3 22 , 1 22
A 2B 1 23 , 2 21, 3 22 , 1
1 23 , 2 21 , 3 22 , 22
1 2 0 0
按第一行(列)展开, 直接求得;
(3) 三线型:
按第一行(列)或最后一行(列)展开, 得
递推关系式, 解递推关系式;
(4) “爪”型(箭型) 行列式: 用中间的“爪”消去某条 “爪”;
(5) 计算某行(列)元的(代数)余子式的线性组合：
构造“新行列式”;
知识点2: 行列式计算
(6) 抽象行列式 |A| = |α, β, γ|的计算:
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数课程代码：课程性质: 必修总学分：2 总学时： 32* 其中理论教学学时：32*适用专业和对象：理（非数学类专业）、工、经、管各专业**使用教材：注：（1）大部分高校开设本课程的教学学时数约为32—48学时，为兼顾少学时高校开展教学工作，本大纲以最低学时数32学时（约2学分）进行教学安排，有多余学时的学校或专业可对需要加强的内容适当拓展教学学时。
（2）对线性代数课程而言，理工类与经管类专业的教学基本要求几乎一致，所以这里所列教学内容及要求对这两类专业均适合。
一、课程简介《线性代数》是高等学校理（非数学类专业）、工、经、管各专业的一门公共基础课，其研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
该课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性。
主要内容是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法，使学生具有熟练的矩阵运算能力并能用矩阵方法解决一些实际问题。
通过本课程的学习，使学生理解和掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算，理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构，掌握线性方程组的求解方法和理论，掌握二次型的标准化和正定性判定。
线性代数的数学思想和数学方法深刻地体现辩证唯物主义的世界观和方法论，线性代数的发展历史也充分展示数学家们开拓创新、追求真理的科学精神，展现古今中外数学家们忠诚爱国、献身事业的高尚情怀。
思想政治教育元素融入线性代数的教学实践之中，可以培养学生用哲学思辨立场、观点和方法分析解决问题，能够提高学生的创新能力和应用意识，培养学生的爱国主义情怀、爱岗敬业精神和开拓创新精神，帮助学生在人生道路上形成良好的人格，树立正确的世界观、人生观、价值观。
线性代数理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在物理、化学、生物、航天、经济、工程等领域中都有着广泛的应用。
同时，线性代数课程注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力、空间直观和想象能力，提高学生分析问题解决问题的能力。
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x1 x2
x1 x2 x1 x3
an 1 xn an
an 2 x n 1 x n an
x1 x2 x3 x1 x2 x4
…
an 3 xn 2 xn1 xn an
n
x1 x2
2.高等代数
xn 1
a0 an
1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想 彻底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此 代数转变成为研究代数运算结构的科学.
2、线性代数的数学模型 例:总收入问题 某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品, xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量, ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这 3种产品的总收入,则有:
y a1 x1 a2 x2 a3 x3
若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种 产品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工厂生产i种 产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价, yk表示k工厂的总收入,则有:
线性代数课程简介
线性代数是一门基础数学课程,其核心内容 是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理 论和方法有着广泛的应用. 一.教材与参考书 教材选用： 《线性代数及其应用》（第二版） 王建军主编 上海交通大学出版社 课后上机材料： 线性代数数学实验 自编讲义
1.教材内容:
行列式
矩阵
线性方程组 向量空间
x 25, y 75
例2：中国古代算书《张丘建算经》记载百鸡问 题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱， 小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只 鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各 有多少只？
解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有
7 yx 25 200 x x 8y 有（2）×3－（1）得 14 7 4 100 4
2、代数的基本定理
1799年高斯（Gauss）证明：
复数域上任意一个一元n次（n>0）方程
an x an1 xnn1源自 an2 xn 2
... a1 x a0 0
至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个 等式； 任何一个一元n次方程在复数域上 有且仅有n个根（重根按重数计算）
1、求解线性方程组
例1：明代程大为著的《算法统宗》中记载： 100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和 尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？ 解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有
x y 100 用代入法求得： 1 3 x y 100 3 8 200 ，解出： y 100 x ，代入 x 3 3
3.多项式方程的代数解问题
方程的代数解是指:
方程经过有限次代数运算得到的解。
ax bx c 0 的解. 例如：
2
2 b b 4ac b b a x c 0 x 2 2a 4a 2a 4a 2 b b 4ac x1,2 2a 阿贝尔（Abel）(1802～1829) 证明了五次方程不可能有代数解
初等代数研究的对象:
代数式的运算和方程的求解。
整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初 等代数的代数运算. 初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律： 加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、分配律； (2)两条等式基本性质:
等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变； (3)三条指数律： 同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。 人们在解方程的研究过程中发现了 无理数、负数和复数， 从而使数的概念得到了扩充。
2
2
2
，
，
4、方程根与系数的关系
韦达定理:设一元二次方程 ax bx c 0
2
在复数域上的两个根为 x1 , x2 ,则有 b c x1 x2 x1 x2 a a n n1 n 2 一般地:设 an x an1 x an2 x ... a1 x a0 0 在复数域上的n个根为 x1 , x2 , xn ,则有
y1 a1 x11 a2 x12 a3 x13 y2 a1 x21 a2 x22 a3 x23 y3 a1 x31 a2 x32 a3 x33 y4 a1 x41 a2 x42 a3 x43
在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消 费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投 入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线 性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学 奖获得者)的投入产出数学模型.
x y z 100 1 5 x 3 y z 100 3
因为y是整数，可设 x 4k 代入得：
x 4k y 25 7 k z 75 3k
又y>0,可知k=1,2,3,由此得 x 12 x4 x8 或 y4 y 18 或 y 11 z 84 z 81 z 78
矩阵的特征值
二次型
2.学习方法与要求; 预习+课堂学习+讨论 +自学
线性代数(Linear Algebra)简介
一.代数: 是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。 加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及 人和古巴比伦人。 初期的代数主要源于解方程. 我国古代的《九章算术》 中就有方程问题。
二.线性代数
“线性”的含义是指未知量的一次式。 例如: y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数， y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。 一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项， 这些二次项是非线性的。 线性代数的研究对象: 线性方程组、线性空间和线性变换。 行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.