利用导数求切线的方程
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。
求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。
设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。
若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。
下面例析四种常见的类型及解法。
类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。
例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。
例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。
例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。
设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。
例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。
两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。
例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。
解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
过点切线方程求法
过点切线方程求法
给定一个函数f(x)和曲线上的一个点P(x0,y0)，要求过点P的切线方程，可以按照以下步骤进行：
1.求导数：首先，求出函数f(x)的导数f′(x)。
导数表示函数在某一点的切线斜率。
2.计算斜率：将点P的横坐标x0代入导数f′(x)中，得到切线在点P处的斜率k=f′(x0)。
3.使用点斜式：利用点斜式方程y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是已知点，k是斜率。
将点P(x0,y0)和斜率k代入，得到切线方程：
y−y0=k(x−x0)
4.化简方程：将k的值代入方程，并化简，得到最终的切线方程。
示例：
假设函数为f(x)=x2，点P的坐标为(1,1)。
1.求导数：f′(x)=2x
2.计算斜率：k=f′(1)=2×1=2
3.使用点斜式：y−1=2(x−1)
4.化简方程：y=2x−1
所以，过点(1,1)的切线方程为y=2x−1。
用导数求切线方程的四种类型
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导数大于0表示函数在对应区间内 单调递增
导数小于0表示函数在对应区间内 单调递减
导数在几何上表导数等于0时，函数可能存在拐点或极值点 导数小于0时，函数在对应区间内单调递减
导数等于切线斜率 导数可以求出切线的斜率
导数在求切线方程中起到关 键作用
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切线与该点处的切线垂直
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切线方程的求解需要用到切点处的 坐标和斜率
确定函数表达式 确定导数表达式 计算导数值 代入切点坐标
代入切点坐标求斜率要细心 切线斜率与函数值大小无关 切线方程的形式要正确 切线方程与函数解析式不同
切线方程的书写格式要正确 切线斜率的计算要准确 切点坐标的选取要合理 切线方程的求解方法要规范
切线斜率：通 过将切点坐标 代入导函数中，
求得斜率为 f'(x0)
切线方程：利 用点斜式方程 y-y0=f'(x0)(xx0)，得到切线
方程
确定函数在某点的导数 利用导数求出该点的切线斜率 根据切线斜率和已知点写出切线方程 验证切线方程是否符合题意
切点是曲线上某一点，在该点处函 数的导数存在
切点处函数值必须为零
汇报人：XX
导数与切线斜率的关系是密 切相关的
切点是曲线上某 一点，在该点处 曲线的切线存在
切点处的导数值 即为切线的斜率
切点坐标由曲线 方程和切线斜率 共同确定
切点是唯一确定 的，但切线方程 可能有多种形式
确定函数表达 式
求导函数
代入切点坐标
计算切线斜率
切点坐标：已 知曲线上的一 个点，记为(x0,
y0)
定义：切线方 程是表示切点 与曲线在某一 点的切线关系
利用导数求切线方程
3
题型二：求曲线过一点的切线方程 例：已知曲线C：f (x) x3 x 2 ，求经
过点 P(1, 2) 的曲线C的切线方程。
思考（1）判断P点 所处的位置？ （2）从图像探究， 过该点有几条切线， 如何印证你的探究
答案：2x-y=0或x+4y-9=0
点P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点P 到直线 y x 2 的最小距离是多少?
T 切线
P
o
x
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__0
f′(x)=___α_x_α_-1
f′(x)=_c_o__s_x f′(x)=__-s_i_n_x_
原函数
导函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex
答案：
求曲线上的点到直线的最小距离。
• 练习：
1.求y xex 2x 1在(0，0)处的切线
3x y 1 0
2.曲线y x2 ax b在(0，b)处的切线方程是
x y 1 0，求a,b
a 1,b 1
已知切线方程为y ex,曲线为f (x) ex ,
求切点坐意义
函数 y f (x) 在x x0 处的导数就是函数
y f (x) 的图像在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的 斜率，即
k f (x0 )
一.曲线的切线
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ
绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
解：f ' (x) 6x2 3 k f '(1) 3 y 1 3(x 1)3x y 4 0
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。
通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。
在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。
1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。
假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。
要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。
2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。
点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。
一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。
2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。
与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。
为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。
2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。
3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。
4.解方程得出切线方程。
3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。
假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。
我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。
2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。
3.解方程以获得曲线方程。
4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。
为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。
2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。
通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。
这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。
导数的切线方程
导数的切线方程
导数作为微积分中的重要概念，在物理学、工程学、经济学等领域都具有广泛应用。
本文将重点介绍导数的切线方程。
首先，需要明确什么是导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率或斜率，可以用以下公式表示：
f'(x) = lim (h → 0) [f(x+h) - f(x)]/h
其中f(x)表示函数的值，f(x+h)表示函数在x+h处的值，h为趋近于0的极小值。
得到导数后，就可以计算出函数在该点的切线斜率。
切线斜率即为导数值，可以用点斜式或一般式来表示切线方程。
点斜式公式为y - y0 = k(x - x0)，其中(x0, y0)为切点，k为切线斜率。
一般式公式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，表示切线的一般性质。
接下来，我们以一个具体例子来说明如何求解切线方程。
假设我们有函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求出该函数在x=2处的切线方程。
首先，求出导数f'(x) = 2x + 2，在x=2处导数为6。
其次，确定切点，即x=2处的函数值为f(2) = 9。
最后，将切点和导数代入点斜式公式中，得到切线方程y - 9 = 6(x - 2)或y = 6x - 3。
至此，我们成功求出了函数f(x)在x=2处的切线方程。
总的来说，导数作为微积分的基础概念，其应用广泛，特别是在计算机图像处理、机器学习等领域都有着重要作用。
了解导数的切线方程，能够帮助我们更好地理解函数、优化算法等。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
导数法求对数函数切线方程的三种题型
导数法求对数函数切线方程的三种题型
引言
本文将介绍三种常见的题型，通过导数法求解对数函数的切线方程。
对数函数是数学中常见的一类函数，求解其切线方程是数学研究中的重要内容之一。
问题1：已知对数函数的函数式求切线方程
当已知对数函数的函数式，求对应点上的切线方程时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 求对数函数的导数；
2. 计算给定点的横坐标和纵坐标；
3. 代入导数公式，求得切线方程的斜率；
4. 使用切线方程的一般式，将斜率和给定点代入，得到切线方程。
问题2：已知对数函数的切点求切线方程
当已知对数函数的切点，求对应切点上的切线方程时，可以按照以下步骤来进行求解：
1. 求切点处的导数值；
2. 使用切线方程的一般式，将切点的斜率和坐标代入，得到切线方程。
问题3：已知对数函数的切线方程求函数式
当已知对数函数的切线方程，求对应对数函数的函数式时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 对给定的切线方程，提取出切线的斜率和截距；
2. 求解对数函数的导数，得到导数公式；
3. 将切线的斜率代入导数公式，得到方程的解；
4. 根据解得到的方程，确定对数函数的函数式。
结论
通过导数法求解对数函数的切线方程是一种常见且实用的方法。
掌握了三种题型的求解步骤，可以更好地解决相关问题。
但需要注
意的是，在使用导数法求解切线方程时，要注意计算的准确性和步
骤的合理性。
参考资料：
- 曹智勇，高等数学，北京：高等教育出版社，2006年。
- 杨学凤，高等数学，北京：高等教育出版社，2007年。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．【解析】 ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 本题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．【解析】 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.故选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
高中数学教案：利用导数求函数的切线方程
利用导数求函数的切线方程课程目标知识提要利用导数求函数的切线方程利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数在点处的导数；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为．精选例题利用导数求函数的切线方程1. 是抛物线上一点，若过点的切线与直线，垂直，则过点的切线方程为．【答案】【分析】设，则，故，所以，所以切线方程为，即．2. 直线是函数的图象上的点处的切线，则的值是．【答案】3. 过点与曲线相切的直线方程是．【答案】4. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则．【答案】【分析】由题意，在点处的切线的斜率为，又切线过坐标原点，所以．5. 曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】，故曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即．6. 已知正实数，满足，则的最小值等于．【答案】【分析】由，解得：，，，，，令，解得：，令，解得：，函数在递减，在递增，．最小值7. 曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．【答案】；8. 函数的图象在点处的切线方程是．【答案】【分析】因为，所以，，所以，所以的图象在点处的切线方程为，即．9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】10. 若直线是曲线的切线，则的值为．【答案】或【分析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，又，，解得，或，．11. 曲线上的点到直线的距离的最小值是．【答案】【分析】对求导得，令，得，，即与直线平行的曲线的切线的切点坐标是，曲线上任意一点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即．12. 若抛物线与直线相切，则．【答案】【分析】设切点为．易知．由得所以．又在直线上，所以，解得．13. 在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．【答案】【分析】设．因为，．所以．所以，．14. 曲线在点处的切线方程为．【答案】15. 若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是．【答案】16. 两曲线与在交点处的两切线的斜率之积为．【答案】【分析】两曲线与的交点坐标为，所以，．所以．17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，则．【答案】【分析】由得，则，即，即．所以，解得．故．18. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为．【答案】或【分析】的导数为，的导数为，由题可知，所以或．19. 曲线在点处的切线方程为．【答案】20. 已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．【答案】【分析】曲线在点处的切线方程为，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，所以．21. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．【答案】22. 过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为．【答案】【分析】设，则，因为过点的切线方程的斜率为，所以，整理得，又，所以点的横坐标是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以点．23. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则．【答案】24. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则．【答案】【分析】设直线与曲线的切点为，直线和曲线的切点为，根据函数在切点处的导数值就是切线的斜率可得，，解得，，所以，，．25. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则．【答案】26. 若直线与曲线相切，则．【答案】27. 曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】对函数求导为，即曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即．28. 曲线在点处的切线的斜率为．【答案】【分析】因为，故．29. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则．【答案】【分析】，．30. 已知函数，则在点处的线方程为【答案】31. 求曲线的平行于直线的切线方程．【解】设切点为．因为，所以曲线在切点处的切线斜率为．令，得，所以切点的坐标为，于是切线方程是．32. 求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程．【解】设切点为．函数的导数为，故切线的斜率，所以，故，所以，故所求的直线方程为，即．33. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求实数，的值．【解】因为的图象经过点，所以．①由，得．由条件，得，②由①②解得，．(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．【解】由（）知，，令，得或，因为函数在区间上单调递增，所以，或，则有或，所以或．34. 已知函数的图象为曲线．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围；【解】由题意得，则，即曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围是．(2)若曲线存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．【解】设一条切线的斜率为，则由（2）中条件并结合（1）中结论可知，解得或，令或，解得，所以所求的切点横坐标的取值范围是．35. 已知函数及的图象上一点，过点作直线．(1)求使直线和的图象相切，且以为切点的直线方程；【解】由，得，过点且以为切点的直线的斜率为，所以所求直线方程为．(2)求使直线和的图象相切，且切点异于点的直线方程．【解】设过点的直线与切于另一点，则．又直线过点，故其斜率可表示为．又，即，解得（舍去）或，所以所求直线的斜率．故直线的方程为，即．36. 已知抛物线，过原点作的切线，使切点在第一象限，求切线方程·【解】设点的坐标为，则，①，②将①代人②得．因为为切点，所以，所以或．当时，，．当时，，．因为在第一象限，所以切线的斜率，故所求切线方程为．37. 1．已知曲线．(1)求曲线在点处的切线方程；【解】，则．由题意可知点为切点，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)求曲线过点的切线方程．【解】，则．由题意可知点不一定为切点，故设切点为，，曲线过点的切线方程为，所以，．解得或，即切点为或．所以曲线过点的切线方程为或．38. 已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：(1)斜率最小的切线方程；【解】，所以当时，，，所以斜率最小的切线过，又斜率的最小值，所以切线方程为．(2)切线的倾斜角的取值范围．【解】由得，所以．又因为，所以．故的取值范围为．39. 已知曲线：．求曲线在点处的切线方程．【解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为，即．40. 设函数，当曲线斜率最小的切线与直线平行时，求的值．【解】，即当时，函数取得最小值，因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为，所以，即，即．41. 用定义求的导数，并求在处的切线方程．【解】在处的导数即为该点处切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即．42. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；【解】因为，所以在点处的切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，即．(2)求过点的函数的切线方程．【解】设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，即因为点在切线上，所以，即，所以，解得或，所以所求的切线方程为或．43. 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数，，的值．【解】曲线过，，，．，，．联立解①、②、③得，，．44. 求过点作曲线的切线的方程．【解】设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，即．因为切线过点，所以，所以．因此，所求的切线方程为．45. 已知函数．(1)求这个函数的导函数；【解】．(2)求这个函数在点处的切线方程．【解】．所以切点，因为，所以函数在处的切线斜率为．所以该函数在点处的切线方程为．46. 已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线，求实数，，的值．【解】求导可得，，．由题意得方程组解得47. 过函数（，）的图象上任意一点的切线与轴交于点，求证：．【解】，所以，过点的切线为，令，得，因为，所以，所以，即，又．所以．48. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．【解】设双曲线上任意一点．因为，所以点处的切线方程为．令，得．令，得．所以．所以三角形的面积为定值．49. 求函数过点的切线方程．【解】．若切点为，，切线方程为．若不是切点，设切点坐标，则所以切线方程为．50. 求曲线在点的切线方程．【解】点在曲线上，，切线的斜率是，所以切线方程是，即．51. 已知曲线上一点，求过点的切线方程．【分析】要注意此题中的点不一定是切点．【解】设切点为．因为，所以切线斜率为，由直线斜率公式，得，所以，整理得，即，解得或，所以切线斜率或，又切线过点，所以所求切线方程为或．52. 设函数的图象与轴交点为，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．【解】的图象与轴的交点为，的坐标为．又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而．又切线斜率，故在处的导数．而，从而．又函数在处取得极值，，，即，．解得所求函数解析式为．53. 已知函数．(1)若函数在处的切线平行于轴，求实数的值．【解】函数的定义域为，因为，所以，依题意有，即，解得．(2)求函数的单调区间．【解】．当时，因为，所以，所以函数在上是增函数．当时，令，则．因为，所以方程的两根分别为，，因为，所以，又因为，所以．所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数．综上可知，当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．54. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，求，的表达式．【解】两个函数的图象都过点，所以，，即，．又，，由已知，所以．结合前面的方程，解得，．所以，．55. 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式；【答案】【解】方程可化为当时，又，于是解得故(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】【解】设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为即令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值．56. 设直线与曲线相切于点，直线过且垂直于，若交轴于点，又作垂直于轴于，求的长．【解】设，则．由已知，所以，点处的切线的斜率．因为直线垂直于，所以，所以，，令，将代入，可得，易知，所以，．57. 知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，，则为定值．【解】曲线在点处的切线方程为：，即．由得，即，解得或，故．进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和．又，所以，因此有．58. 设定义在上的函数．(1)求的最小值；【解】当且仅当即时，的最小值为．(2)若曲线在点处的切线方程为，求的值．【解】由题意得：由①②得：59. 已知函数，，直线．又．(1)求的值；【解】．由，得，解得．(2)求函数的单调区间；【解】由（1），得，则．当变化时，和的变化如下：所以的增区间为，减区间为．(3)是否存在的值，使得直线既是曲线的切线，又是的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【解】因为直线恒过点．设直线切曲线于点．因为，所以切线方程是，将代入上式，解得．当时，切线方程为；当时，切线方程为．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以是曲线与的公切线．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以不是公切线．综上，当时，是曲线与的公切线．60. 已知曲线．(1)求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；【解】将代入曲线的方程，得，即切点．因为，所以．所以过点的切线方程为，即．(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【解】由可得，解得或．从而求得公共点为和．因此，切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点．课后练习1. 曲线在点处的切线方程为．2. 曲线的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为．3. 已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是．4. 已知函数，则函数的单调递增区间为．5. 若曲线在处的切线斜率为，则实数的值为．6. 曲线在点处的切线方程为．7. 曲线在点处的切线的斜率．8. 若轴是曲线的一条切线，则．9. 曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）10. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是．11. 已知函数，则；函数图象在点处的切线方程为．12. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为．13. 已知偶函数的图象经过点，且在处的切线方程是，则的解析式为．14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．15. 曲线上的点到直线的最短距离为．16. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（填锐角、直角或钝角）．17. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．18. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为．19. 设为曲线上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是．20. 函数在点处的切线方程为．21. 曲线在点处的切线方程为．22. 已知函数的图象在点处的切线为，则函数的图象在点处的切线方程为．23. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为．24. 已知直线是曲线的切线，则的值为．25. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．26. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于，此时点的坐标是．27. 函数的图象在点处的切线方程为．28. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．29. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．30. 函数在处的切线的斜率是．31. 已知，，直线与函数，的图象都相切于点．(1)求直线的方程；(2)求函数的解析式．32. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间．33. 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；；，，记点的坐标为．(1)试求与的关系；(2)求．34. 如图，已知函数及其导数的图象，求的图象在点处的切线方程．35. 已知函数的导数函数为．若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围．36. 已知函数在处取得极值．(1)求实数，的值；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程．37. 若直线是曲线上一点处的切线，求实数．38. 已知函致．(1)当时，求证：曲线与其在点处的切线只有一个公共点；(2)若曲线在点处的切线为，且它们只有一个公共点，求函数的所有极值之和．39. 在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，求的范围．40. 已知直线与曲线相切，分别求的方程，使之满足：(1)与曲线相切于点；(2)经过点；(3)平行于直线．41. 已知曲线上一点．试求：(1)在点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程．42. 设是的最小值点，求曲线在处的切线方程．43. 求函数的导数，并求出及函数在处切线的方程．44. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明：曲线的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．45. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值．46. 已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．47. 设抛物线（为不等于的常数）上的两点，的切线互相垂直．证明：(1)过，的直线必过定点；(2)两切线的交点在某定直线上48. 已知抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线．(1)求；(2)设，是异于且与及都相切的两条直线，，的交点为，求到的距离．49. 已知函数(1)求的单调区间；(2)曲线在点处的切线恒过轴上一个定点，求此定点坐标；(3)若，，曲线在点处的切线与轴的交点为，试比较与的大小，并加以证明．50. 已知曲线和它们交于点，过点的两条切线与轴分别交于两点．求的面积．51. 求函数在点处的切线方程．52. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求＝在上的最大值．53. 已知函数．若曲线与曲线在处的切线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一条直线．54. 已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．55. 求曲线在点处的切线方程．56. 请解答下列问题：(1)求函数在处的切线的方程；(2)过原点作曲线的切线，求切线的方程．57. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．58. 已知函数有极大值，为常数，且．(1)求的值；(2)若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．59. 已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．(1)若在点的法线的斜率为，求点的坐标；(2)设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．60. 已知点在曲线上移动，设点处切线倾斜角为，求倾斜角的取值范围．利用导数求函数的切线方程-出门考姓名成绩1. 已知，则曲线在点处的切线方程为．2. 曲线在点处的切线方程为．3. 已知曲线与的交点为，两曲线在点处的切线分别为，，则切线，及轴所围成的三角形的面积为．4. 曲线在点处的切线倾斜角为．5. 设为奇函数（为常数）图象上一点，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为．6. 曲线通过点，在点处的切线垂直于轴，则的最小值为．7. 过点作曲线的切线，则切线方程为．8. 经过原点且与曲线相切的直线方程是．9. 设函数．若曲线在点处与直线相切，则的值为．10. 函数的图象在点处的切线方程是，则等于．11. 曲线在处的切线方程为．12. 曲线在处的切线的方程为．13. 函数在点，处的切线方程为．14. 已知函数，其中是的导函数，为自然对数的底数，则在点处的切线方程为．15. 函数的图象在点处切线的斜率是．16. 若曲线与在它们的公共点处具有公切线，则．17. 曲线在点处的切线的倾斜角的大小为．18. 曲线在处的切线方程是．19. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．20. 曲线在处的切线方程为．21. 函数在处的切线方程．22. 已知为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是23. 已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为．24. 曲线在点处的切线方程为．25. 点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是．26. 已知直线与曲线相切，则实数．27. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．28. 在平面直角坐标系中，若曲线在（为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数的值为．29. 曲线上一点处切线斜率，则点纵坐标取值范围是．30. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点．若的面积为，则的面积为．31. 已知，是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程．32. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．(1)求直线的方程；(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积．33. 求曲线在点处的切线方程，与过点的切线的方程．34. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求曲线过点处的切线方程．35. 求曲线的斜率等于的切线方程．36. 若直线是函数的图象上点处的切线，求及点坐标．37. 已知曲线，求曲线上的一点处的切线的方程．38. 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．39. 已知函数，，．(1)若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；(2)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(3)对（2）中的和任意的，证明：．40. 已知曲线，点是曲线上的点．(1)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；(3)设与为两个给定的不同的正整数，与是满足(2)中条件的点的坐标，证明：．41. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．42. 曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．43. 设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为．(1)求，的值；(2)当时，求的最值；(3)证明：．44. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程．45. 若曲线的一条切线与直线垂直，求切线的方程．46. 已知曲线上一点．(1)求曲线在点处切线的斜率；(2)求曲线在点处切线的方程．47. 已知函数其中．(1)若曲线（）在处的切线与直线平行，求的值；(2)求函数在区间上的最小值．48. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．(1)已知函数，求证：直线为曲线的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．49. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．50. 已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；(2)若，求的极值；(3)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．51. 已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．(1)求的值和切线的方程；(2)设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．52. 设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(1)求的值；(2)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．53. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．54. 已知为抛物线：上的点，直线过点且与抛物线相切，直线：（）交抛物线于点，交直线于点．(1)求直线方程；(2)设面积为，求；(3)抛物线与直线，围成的平面图形的面积为，求证：的值与的取值无关．55. 已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．56. 已知函数．(1)求曲线过点的切线方程；(2)若过轴上的点可以作曲线的三条切线，求的取值范围．57. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．58. 已知函数，（为常数），直线与函数，的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为，求直线的方程及的值．59. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于．(1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值．60. 已知函数，其导函数的图象过原点．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若存在，使得，求的最大值；。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
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7．B
【解析】
试题分析： ，故选B．
考点：导数的几何意义．
8．C
【解析】
试题分析： 当且仅当 时，即 时， 时，斜率
考点：1、切线的斜率；2、求导运算；3、基本不等式．
9．
【解析】
试题分析：由 得 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，由 得 ，所以 即 ，即点 .
19．曲线 在点 处的切线方程为__________．
评卷人
得分
三、解答题
20．求曲线 在点（2,8）处的切线方程（一般式）
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： ,故选C.
考点：导数的几何意义.
2．C
【解析】
试题分析：由 为幂函数，故 ；因为点 在幂函数 上，代入可得： .则 ，故 在点 处的切线的斜率为 .根据直线的点斜式方程可知切线方程为： ，化简可得： .故选C.
考点：导数几何意义
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
14．已知函数 ，则 在点 处的线方程为__________.
15．函数 在点 处的切线方程是.
16．设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为______．
17．已知曲线 与曲线 在交点 处有公切线，则实数 的值为____________．
18．函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为________．
考点：导数的概念及几何意义.
3．D
【解析】
试题分析： ，故选D.
考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积.
4．C.
【解析】
试题分析：由题意可知，切线方程的斜率为 ，则可求出在点 处的切线方程，故选C.
考点：1.导数的几何意义；2.切线方程.
5．B
【解析】
试题分析：当直线平行于直线 且与曲线 相切时，切点到直线 的距离最小，求导，得 ，可求得切点坐标为 ，故点 到直线 的距离为 .
17．
【解析】
试题分析：因为两个函数的交点为 在 处有公切线， .
考点：导数的几何意义.
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．曲线的切线方程是导数的几何意义的应用.
18．
【解析】
试题分析：由题意有， ，则 ，则切线的倾斜角为 .
考点：1.导数的几何意义；2.斜率的几何意义.
19．
【解析】
试题分析： ．
考点：导数的几何意义．
20．
【解析】
试题分析：由题意可得，求出曲线 的导函数 ，即切线方程的斜率，从而可利用点斜式求出切线的方程.
试题解析：：
【考点】1导数的求导法则；2.导数的几何意义.
考点：导数几何意义．
【方法点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
6．A
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，又因为曲线 在 处的切线与直线 平行，所以 ，故选A.
考点：导数的几何意义.
10．2
【解析】
试题分析： ， 时， ，即切线斜率为2．
考点：导数的几何意义．
11．
【解析】
试题分析：设切点为
考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
A． B． C． D．6
第II卷（非选择题）
二、填空题
9．设曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直，则点 的坐标为__________.
10．曲线 在点 处的切线的斜率为___________．
11．已知直线 与曲线 相切，则 的值为．
12．若曲线 的一条切线是直线 ，则实数 的值为．
13．若直线 是曲线 的一条切线，则实数 ．
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
12．
【解析】
试题分析：设切点为 ，即切线斜率为 ，代入切线 .可得
考点：函数的切线13．【析】试题分析：设切点 ，则
16．
【解析】
试题分析：直线 斜率为 ，所以 .
考点：导数与切线.
【思路点晴】求函数 图象上点 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 ，由导数的几何意义知 ，故当 存在时，切线方程为 .要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.切线与某条直线平行，斜率相等.
利用导数求切线的方程
利用导数求切线的方程
第I卷（选择题）
一、选择题
1．已知曲线 在 处的切线与曲线 在 处的切线互相平行，则 的值为（）
A．0B． C．0或 D．
2．若幂函数 的图像经过点 ，则它在点A处的切线方程是（）
A. B.
C. D.
3．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A、 B、 C、 D、
4．函数 在点 处的切线方程是（）
A. B.
C. D.
5．若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为（）
A．1B． C． D．
6．曲线 在 处的切线与直线 平行，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
7．函数 在点 处的切线平行于 轴,则 （）
A． B． C． D．
8．曲线 上一动点 处的切线斜率的最小值为（）
14．
【解析】
试题分析： ，把 代入得到切线的斜率 ，切点为 ，则所求切线方程为 ，即为 .故答案为： .
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.
15．
【解析】
试题分析：函数 的导数为 ，可得在点 处的切线斜率为 ，切点为 ，即有切线的方程为 ，即为 .故答案为： .
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线.