线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性(4)
∴点Q在∠AOB的平分线上
例1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供 大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 () A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
问：如果改成到三个顶点距离相等，那么凉亭应该建在哪？
建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离 相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位 置．
l1
B
A
l2
例7. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分 线AP相交于点P，PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线 AD与BC间的距离为_______．
例8. 已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一 点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断 ∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
l2 BAD CAD
例3 已知：如图，AD是△ABC的角平分线DE⊥AB， DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
A
E F C
B D
例4. 如图，在△ABC中，AB>AC，DF垂直平分
BC，交△ABC的外角平分线AD于点D，F为垂足，
DE⊥AB于E，连接BD、CD．求证：∠DBE＝
∠DCA．
D
G
A E
B
F
C
例5. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交 ∠BAC的平分线于E，EF⊥AB交AB于F，EG⊥AC，交 AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何? 证明你
的结论．
例6. “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有
两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备
八年级数学上册 线段和角的轴对称性课件 苏科版
ＣＦ
Ａ
书写规范解题(jiě tí)过
程！
第十页，共16页。
D 到三角形的三个顶点距离(jùlí)相等的点是
（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
A 到三角形的三条边距离(jùlí)相等的点是（
）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
（3）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （4）AD上任意一点到BC两端的距离相等，其 中正确(zhèngquè)的语句有（ ）
Ａ、１个
Ｃ、３个
Ｂ、２个
Ｄ、４个
第三页，共16页。
2、如图：在△ABC中，∠B=90°， BC=18cm，AD是角平分线，且BD： CD=1：2，则点D到AC的距离(jùlí)是 ______cm.
线段(xiànduàn)和角的轴对称 性
第一页，共16页。
0、如图，AC、BD互相垂直平分，那么 (nàme)图中共有等腰三角形（ ）
Ｂ
Ａ、１个 Ｂ、２个
Ｃ、３个 Ｄ、４个
Ａ
Ｃ
Ｄ
第二页，共16页。
1、如图：在△ABC中，AB=AC，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥ＡＣ，垂足分别为Ｅ、 Ｆ，则下列结论：（1）DE=DF；（2） BD=CD
第十四页，共16页。
线段：轴对称图形 对称轴：线段的垂直平分线和线段本身 (běnshēn)所在的直线
角：轴对称图形 对称轴：角平分线所在(suǒzài)的直线
第十五页，共16页。
线段垂直平分线性质(xìngzhì)和角平分线性质(xìngzhì) 类比 线段(xiànduàn)垂直平分线上的点到线段(xiànduàn)两端的 距离相等 角平分线上的点到角的两边距离(jùlí)相等 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
线段角的轴对称性ppt课件
已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NF
C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
线段AD与EF有何关系?并说明理由.
C E
D
A
B
F
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
●本节课你还有哪些疑问?
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图,已知:直线CD是线段AB的垂直
平分线,点M是直线CD上任一点,连结
MA、MB,则MA=MB，你能说明理
由？
C
M
A
0
B
结论
D
线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】：1．线段的轴对称性：① 线段是轴对称图形，对称轴有两条：一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【结论】：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2．角的轴对称性：①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【结论】：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少？2、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是三、应用题1、已知∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中，AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
线段、角的轴对称性 教学设计
探索交流、讲练结合。
【教学过程】
一、创设情境：
B
1．同学们用纸片做过纸箭和纸飞机吗？说说你的方法；
2．试用如图所示的三角形 AOB 纸片，折一只以点 O 为箭
头的纸箭，再展开纸箭，观察折痕，你有什么发现？
O
（游戏情境，有亲切感，易引起学生对折痕的关注，进而
引起对角的轴对称性进行讨论）
A
二、探索活动：
三、例题教学： 例 2．任意画∠O，在∠O 的两边上分别截取 OA．OB，使 OA=OB，过点 A 画 OA 的垂
线，过点 B 画 OB 的垂线，这两条垂线相交于点 P，点 O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ 这是条件明确的说理题，要先让做猜想，再用折纸验证，或用直尺和圆规作∠APB 的平分线， 观察点 O 与∠APB 的平分线的位置，然后进行说理。
线段、角的轴对称性
【教学目标】
1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2．探索并掌握角平分线的性质。 3．在“操作――探究――归纳――说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎 推理能力。
【教学重难点】
探索并掌握角平分线的性质。判断某点是否在某个角的平分线上。
【教学方法】
活动二：课本中的“讨论”，并作图验证所得结论。
B
（1）分组讨论。从轴对称的角度来剖析角平分线和线段的垂
直平分线的类似特征；
（2）引导学生用类比的方法，猜想具有怎样性质的点在角的
Q
O
平分线上？
（3）用好课本中的图 1－20，猜想并验证所得结点，在这个角的平分线上。
问题的讨论作为学生应用所学知识解决问题的一次练习，要引起足够重视。让学生对照图 形，分析已知条件，寻找解题策略，对有困难的学生，可作适当启发，参看下图。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
八年级数学下册课后补习班辅导线段、角的轴对称性讲学案苏科版
线段、角的轴对称性【本讲教育信息】一。
教学内容:线段、角的轴对称性［学习目标］探索基本图形(线段、角）的轴对称性及其相关性质。
二。
重、难点：1。
线段的垂直平分线的性质及其应用；2. 角平分线的性质及其应用。
三。
知识要点：1. 线段的轴对称性（1)线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
（线段的对称轴不只一条，除了它的垂直平分线，还有它本身。
）(2）线段垂直平分线及其性质。
a）线段垂直平分线垂直且平分—条线段的直线叫做线段的垂直平分线(简称中垂线）。
（线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合）b）线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(性质定理）到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（判定定理)c) 作法：①分别以B A 、为圆心，大于AB 21的长为半径画弧,两弧相交于点D C 、；②过D C 、两点做直线。
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
［注意]：平面内的曲线被理解为平面内适合某种条件的点的集合，必须满足下列两个条件,缺一不可:① 曲线上的每一个点都要具备某种条件； ② 每个符合某种条件的点都要在这条曲线上。
2。
角的轴对称性(1）角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴。
（2）角平分线及其性质。
a ） 角平分线由角的顶点出发到角的两边距离相等的一条射线叫做角平分线。
(角平分线是到角两边距离相等的点的集合) b) 角平分线的性质① 角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；(性质定理）② 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（判定定理）【典型例题】例 1. 求作一点P ，使点P 到已知AOB ∠的两边的距离相等,且到已知点D C 、的距离相等。
作法：①做AOB ∠的平分线OE ；②连接CD ，作CD 的垂直平分线MN ，交OE 于P 。
点P 即为所求点。
例2。
已知：如图,在ΔABC 中,AB 、BC 的中垂线交于点O ，那么点O 在AC 的中垂线上吗？为什么？分析:围绕着“中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点，在这条线段的中垂线上”。
2.4-2 线段和角的轴对称性
用直尺、圆规作已知线段垂直平分线的一般步骤： 活动3 画一画 回顾作法：
1.分别以A 、B为圆心， 1 大于 AB长为半径画弧；
2
M
A
2. 两弧相交于点M、N；
B
3.过点M、N作直线.
∴直线MN即为线段AB 的 垂直平分线.
N
活动4
再画画 如图，任意三角形ABC，边AB、BC的 垂直平分线 l1 、 l2交于点O
.
画板 Z J G 反 共
P
A
B
在线段垂直平分线外， 不存在到线段两端距 离相等的点.
定理： 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直 平分线上.
数量关系 位置关系
P
A B
推理格式:
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
如图，点MN为直线l上两点，且满足 l MA=MB，NA=NB
GO
M B
完成以下填空：
A
∵MA=MB， N AB ∴点M在线段 的垂直平分线上． (理由是 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上 又∵ NA=NB ， ∴点N在线段AB的垂直平分线上． ∴直线MN是线段AB的 垂直平分线 ． (理由是 两点确定一条直线 )
)
活动2
l
回顾、发现
如图，已知直线l 是线段AB的垂直平分线
作PO平分∠APB
1 2
共线
∵PO平分∠APB ∴ ∠1=∠2 在△POA和△POB中 PO=PO ∠1=∠2 PA=PB ∴△POA≌△POB(SAS) ∴∠AOP=∠BOP, OA=OB 又∵A、O、B三点共线 ∴∠AOP + ∠BOP=180° ∴∠AOP =90° ∴ PO⊥AB 又∵OA=OB ∴ PO垂直平分AB 即P在线段AB垂直平分线上
2_4线段、角的轴对称性(1)教案
2.4 线段、角的轴对称性（1）学习目标：1.知道线段的垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线.2.经历探索轴对称的性质的活动的过程，进一步发展空间观点，以及有条理地思考和表达的水平. 教学过程： 一、创设情境：1.复习提问：什么是轴对称图形，线段是轴对称图形吗？为什么？ 二、探索活动 实践探索一1.在一张薄纸上画一条线段AB ，操作并思考：线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？2.你能画出线段AB 的对称轴吗？说明理由。
实践探索二上图中，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一点，P A 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． 总结：线段垂直平分线上的点有什么特点？ 实践探索三试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？引导学生展开讨论：1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明． 教师点评，给出解答过程：解：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等． 如图，在线段AB 的垂直平分线l 外任取一点P ，连接P A 、PB ，设P A 交l 于点Q ，连接QB ．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q 在AB 的垂直平分线上，所以QA ＝QB ．于是P A ＝PQ ＋QA ＝PQ ＋QB ．因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ ＋QB ＞PB ，即P A ＞PB ．三、实践应用：课本52页练习1、2 四、例题教学：QlPBA天才由于积累，聪明在于勤奋。
2EDCBA例1已知：如图，AB =AC =12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长.例2 右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点.P A 和 PC 相等吗?为什么?五、课堂小结 六、课堂反馈1.已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的垂直平分线外，则线段PA 与PB______，线段QA 与QB________（填“相等”或“不相等” ）。
2.4线段、角的轴对称性(2)课件ppt
说说你本节课你有什么收获？
2.4 线段、角的对称性（2）
作业
P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法， 任选1题写出过程．
Q
A
M
B
2.4 线段、角的对称性（2）
定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直 平分线上． 因为QA＝QB ， 所以点Q是线段AB的、角的对称性（2）
试一试
你能用尺规画出任一条已知线段的垂直 平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（2）
2.4 线段、角的对称性（2）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相 等的点吗？ 这样的点有多少个？
A B
2.4 线段、角的对称性（2）
想一想
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
试一试
在直线AB外任取一点C，用刚学的方法 作出线段BC、AC的垂直平分线，你发现了 什么？
C
A
B
l2
2.4 线段、角的对称性（2）
例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的 垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的 垂直平分线上． A
l1
O
l2
B
C
2.4 线段、角的对称性（2）
课件：1.4.1线段、角的轴对称性(1)
B
L
312 国 道
实际问题
2、如图，在直线L上求 、如图，在直线 上求 作一点P， 作一点 ，使PA=PB.
数学化
实 际 问 题
A
2
B L
数学问题源于生活实 践，反过来数学又为 生活实践服务 PA=PB
p
小结： 小结：
1.线段的轴对称性 线段的轴对称性 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 3.利用线段的垂直平分线的 利用线段的垂直平分线的 性质解决实际问题
A
B
C
实际问题
1、求作一点P，使它和 、求作一点 ， 已知△ 已知△ABC的三个顶点 的三个顶点 距离相等. 距离相等
数学化
实
A
际 问 题 1
B
p
C
PA=PB=PC
A
实际问题2 实际问题
国道L 沪段） 在312国道 （昆—沪段）的同 国道 有两个工厂A、 ， 侧，有两个工厂 、B，为了便于 两厂的工人看病， 两厂的工人看病，市政府计划在公 路边上修建一所医院， 路边上修建一所医院，使得两个工 厂的工人都没意见， 厂的工人都没意见，问医院的院址 应选在何处？ 应选在何处？
A
C
问题1：线段是轴对称图形吗？ 问题 ：线段是轴对称图形吗？ 为什么？ 为什么？
探索活动：对折线段 探索活动：对折线段AB 探究1：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发 现折痕与线段有什么关系？ 现折痕与线段有什么关系？ 探究2：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发现 折痕上任一点到线段两端点的距离有 什么关系？ 什么关系？
问题2：由此你能得到
什么规律？ 什么规律？ 结论： 结论：
1.线段是轴对称图形，线段的 线段是轴对称图形， 线段是轴对称图形 垂直平分线是它的对称轴； 垂直平分线是它的对称轴；
苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1
苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1一. 教材分析苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》是学生在学习了轴对称的概念和性质的基础上进一步研究线段和角的对称性。
这一节的内容主要包括线段的轴对称性、角的轴对称性以及如何寻找线段和角的轴对称线。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究和发现轴对称的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了轴对称的基本概念和性质，能够识别和判断一个图形是否是轴对称的。
但是，对于如何寻找线段和角的轴对称线，以及如何应用轴对称的性质解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.理解线段和角的轴对称性，掌握寻找线段和角的对称轴的方法。
2.能够运用轴对称的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、推理能力和合作能力。
四. 教学重难点1.重点：线段和角的轴对称性，寻找线段和角的对称轴的方法。
2.难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考和发现轴对称的性质。
2.利用图形和实例，直观地展示线段和角的轴对称性，帮助学生理解和掌握。
3.运用小组合作的学习方式，鼓励学生相互交流、讨论，共同解决问题。
4.注重练习和反馈，及时发现和纠正学生的错误，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于展示和解释线段和角的轴对称性。
2.设计一些练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的轴对称图形，引导学生回顾轴对称的基本概念和性质。
提问：你们知道什么是轴对称吗？轴对称有哪些性质？2.呈现（15分钟）展示一些线段和角的图形，让学生观察和思考它们是否具有轴对称性。
提问：你们能找出这些线段和角的轴对称线吗？3.操练（10分钟）让学生分组合作，每组选择一个线段或角，尝试找出它的对称轴。
八年级数学上册第一章轴对称图形1.4线段、角的轴对称性1
A O A 'O 1 2 900
第五页，共十四页。
动手 试试 (dòng shǒu)
• 1、画线段AB; • 2、取中点O; • 3、过点O作AB的垂线(chuíxiàn)L; • 4、在L上任取一点P； • 5、连接PA,PB; • 6、度量PA,PB； • 你发现了什么？
练习(liànxí)
如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=4, AB的垂直平分线DE分别交AB、AC 于点E,D.求BCD的周长。
解： D E是 AB的 垂 直 平 分 线
BD AD C BCD B C B D C D BC AD CD BC AC 45 9第十一页，共十四页。
• 线段是轴对称图形吗？
第三页，共十四页。
结论(jiélùn)
• 线段(xiànduàn)是________图形，____________ 是它的对称轴；
第四页，共十四页。
线段 垂直平分线的性质 (xiànduàn)
由定义得到的性质：
线段(xiànduàn)的垂直平分线垂直于这条线段(xiànduàn)，并且平分这条线段(xià
5533
16
第九页，共十四页。
例题 2 (lìtí)
• 如图，已知ΔABC。分别作出 AB,AC的垂直平分线m,n，交于点 O。
• （1）测量(cèliáng)一下，OA=OB=OC吗
？为什么？
• （2）如果三角形的形状变化了， 上述结论是否仍然成立？由此，你 可以得出什么结论？
第十页，共十四页。
第十四页，共十四页。
AO BO
A O P B O P 900
（ 理 由 ： ____________)
苏科版八年级数学上册线段、角的轴对称性课件
∵ △BCD的周长为8 ∴ BC＝ △BCD的周长－(BD＋CD)
＝8－(AD＋CD) ＝8－AC 又∵ AC=5 ∴ BC=8-5=3
例题精讲 例 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交 AB，AC于点E，D，
D
F
B
C
EG
深练拓学
变式：△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的
垂直平分线分别分别交BC于点D、E，且DE=4，求
AD+AE的长.
A
B
C
DE
4 课堂小结
课堂小结
1.线段的对称性： 线段是轴对称图形，它有两条对称轴.
2.线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
A．50° B．70° C．75° D．80°
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的 垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E， 则△BCE的周长为___1_3___．
6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°， EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点 E、N在BC上，则∠EAN=_3_2_°__．
深练拓学
例1：如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交 AB、BC于点E、D. 已知：BAC＝160，，ABBE＝＝160，， 求△BACE的周长．.
深练拓学
例2.如图,△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线分别 交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、 BC于点F、G，求△AEG的周长. A
202X
2.4 线段、角的轴对称性（1）
八年级上册
2.4线段、角的轴对称性
BH
C
M
E
N
0 F
例1．已知：如图，AD是⊿ABC的角平 分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 为E、F. 求证：AD垂直平分EF.
A
E F
B
D
C
例2.如图，已知 BD=CD，ED⊥BC交 ∠BAC的平分线于E，EM ⊥AB于M，EN ⊥AC于N，
N
求证：BM＝CN.
E
C
D
A
M
B
例3. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的角平分线OC.
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NFC
线段、角的轴对称性(4)
性质定理：角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
A
D
P
几何语言：
O E
∵ 点P在∠AOB的角平分线上. 又∵ PD⊥OA, PE⊥OB
C
B
∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角
的两边距离相等）
角的内部到角的两边距离相等的
点，在这个角的平分线上.
A
D
C
P
符号语言：
O
E
B
∵PD=PE, 且PD⊥OA, PE⊥OB ∴点P在∠AOB的角平分线上.
∠AOC=∠BOC
PD⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
的点的 集合.
想一想
1．（1）、画出下面两个三角形三个内 角的平分线 你发现了什么特点： __________________________________
（2）、如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P，求证：点P到三边AB， BC，CA的距离相等； （3）、试说明点P在∠A的平分线上；
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线段、角的轴对称性—知识讲解
责编：陆海霞
【学习目标】
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线
的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点二、角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于1
2
DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【典型例题】
类型一、线段的轴对称性
1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）
A．13 B．15 C．17 D．19
【变式】（2015•黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，
然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．
类型二、角的轴对称性
3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )
A. 4cm
B. 6cm
C.10cm
D. 以上都不对
AB AC ，则△ABD与△ACD的面积之比为（）【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2
A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3
4、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
5、如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.。