第八章非线性控制系统
非线性控制系统
第 8 章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性
微分方程描述。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由
非线性微分方程描述。
非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。
加以分析和设计。
第 8 章 非线性控制系统分析
2. 非线性系统的特征
非线性系统不能应用叠加原理，其运动有以下特点：
（1）稳定性分析复杂
线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参 数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线性系 统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输入信号以 及初始状态都有关。
第 8 章 非线性控制系统分析
学习本章，掌握非线性系统的性质特点， 在此基础上重点掌握用描述函数分析非线性 系统的稳定性、基于描述函数法计算系统自 振参数，了解非线性系统的简化和非线性控 制系统设计方法。
第 8 章 非线性控制系统分析
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述 8-2 常用非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5非线性控制系统设计
例：对于一由非线性. 微分方程
x = - x( 1 – x )
描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0 和x2=1。将上式改写为
dx dt x(1 x)
设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得
x(t)
x0et
1 x0 x0et
第 8 章 非线性控制系统分析
非 线 性 一 阶 系 统 的 时 间 响 应 曲 线
自动控制原理 教学课件
自动控制原理--第8章 非线性控制系统相关知识介绍
自动控制原理
18
（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 x 。0除奇点外相轨迹在x轴上的斜率 为
f(x, x
x)
f(x, x
x)
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
（4
在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的
加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，
下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统
第 8 章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 非线性系统的特点 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.5 MATLAB在非线性控制系统分析中的应用
自动控制原理
1
8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在(x, x)和(-x, x)
点上的斜率相等，符号相同，应有 f(x, x) f(-x, x)
即有 f(x, x) f (x,x) 。
x
x
自动控制原理
17
1.相平面图的特点
（2）相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x) ，只要不同时满足x 0和 f(x, x) 0，
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
12
8.3相平面法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
08第八章 非线性控制系统
第八章 非线性控制系统一．基本要求：1．了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别； 2．掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性；3．了解分析非线性控制系统的常用两种方法—描述函数法和相平面法。
4．掌握分析非线性控制系统的方法—描述函数法； 5．熟练掌握应用描述函数分析法分析系统的稳定性；6．掌握应用描述函数分析法，分析系统自振荡产生的条件及振幅和频率的确定。
二．本章要点：1．常见的典型非线性特性：饱和特性、死区特性、回环特性、继电器特性、变放大系数特性等。
2．非线性系统的特性：非线性控制系统与线性控制系统相比，有如下特点： （1）非线性控制系统的稳定性，不仅取决于系统的结构和参数，而且与输入信号的幅值和初始条件有关。
（2）在非线性控制系统中，如果输入是正弦信号，输出就不一定是正弦信号，而是一个畸变的波形，它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加。
（3）叠加原理不适用于非线性控制系统。
（4）非线性控制系统常常产生自振荡。
在非线性控制系统中，即使没有外加的输入信号，系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡，称为自振荡（自持振荡）。
自振荡是非线性控制系统的特有运动模式，它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。
3．非线性控制系统的分析研究方法：目前分析非线性控制系统的常用方法之一描述函数法，是一种基于频率域的分析方法。
这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。
如系统产生自振荡，如何求)(X N )( j G rc-出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。
非线性控制系统经过变换和归化可表示为图8-1所示的典型结构。
其中函数)(X N 称为该非线性元件的描述函数，)(ωj G 为系统的线性环节。
此描述函数)(X N 是正弦输入信号幅值X 的函数，这时线性系统中的频率法就可用来研8-1非线性控制系统典型结构图 究非线性系统的基本特性，而)(1X N -称为描述函数的负倒特性。
4．用描述函数法分析非线性控制系统稳定性：仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性，不再是参考点)0,1(j -，而是一条)(1X N -的轨迹线。
第八章 非线性控制系统分析
8-2 8-3 非线性控制系统的概述常见非线性特性及其对系统运动的影响 相平面法第八章 非线性控制系统分析 《现代控制理论》 唐 建8-1 8-4 描述函数法8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。
1)如图 8-l (a) 所示，随动系统放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象。
图 8-l (a) 2)如图 8-l (b) 所示，执行元件电动机，轴上存在摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数时，电机的转速将不再增加，3)如图 8-1(c)所示，传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性。
图 8-l (c) 实际系统中普遍存在非线性因素。
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。
在图8-2所示的柱形液位系统中，设 H 为液位高度，Q i 为液体流入量，Q 0为液体流出量， C 为贮槽的截面积。
根据水力学原理： 图8-2 液位系统 其中比例系数k 取决于液体的粘度和阀阻。
液位系统的动态方程为：一般地，非线性系统的数学模型表示为：其中 和 为非线性函数。
),,...,,(),,...,,(r dt dr dtr d t g y dt dy dt y d t f m m n n =)(∙f )(∙g 两类近似处理1) 非线性程度不严重时，如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；2) 当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。
例如，图8-2液位H 在H 0附近变化，液位输入量Q i 在Q i0附近变化时，可取 Q Q Q H H H -=∆-=∆,对于非线性严重的系统，必须采用非线性控制理论进行系统研究和非线性控制器设计。
第八章 非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
一、饱和特性 y 斜率k 斜率 -a 0 a x
x>a ka y = kx x ≤a − ka x < −a
对系统的影响： 对系统的影响： 1.使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利； 使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利； 使系统开环增益下降 2.使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
3.逆系统法 逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直 此为基础，设计外环控制网络。 接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方 接研究非线性控制问题， 程，是非线性系统控制研究的发展方向。 是非线性系统控制研究的发展方向。
二、死区特性 y 斜率k 斜率 -△ 0
△
x
0 x ≤∆ y= k[ x − ∆sign( x)] x > ∆
对系统的影响： 对系统的影响： 1.使系统产生稳态误差； 使系统产生稳态误差； 使系统产生稳态误差 2.当系统输入端存在小扰动信号时，在系统动态过程的 当系统输入端存在小扰动信号时， 当系统输入端存在小扰动信号时 稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。 稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。
三、间隙特性 y c 斜率k 斜率 -h 0 h -c 对系统的影响： 对系统的影响：
k ( x − h) y = k ( x + h) x c sign ( x)
ɺ y>0 ɺ y<0 ɺ y=0
增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度， 增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度，使过 渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。 渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。 一般来说，间隙特性对系统总是有害的， 一般来说，间隙特性对系统总是有害的，应该消除 或消弱它的影响。 或消弱它的影响。
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
第8章非线性控制系统
2：时间响应 线性系统时间 响应的一些基本特征（如振 荡性和收敛性）与输入信号 的大小及初始条件无关。图 8-4中的虚线表明，对于线性 系统，阶跃输入信号的大小 只影响响应的幅值，而不会 改变响应曲线的形状。非线 性系统的时间响应与输入信 号的大小和初始条件有关。
考虑到：
x 以x为横坐标、x 为纵坐标所组成的直角坐标平面称为相平面 (状态平面)。
在某一时刻t，x(t)和 x(t ) 对应于相平面上的一个点，称为 相点(状态点),它代表了系统在该时刻的一个状态。 通常系统在初始时刻t0的初 始状态用相点( x0 , x0 )表示,随 着时间的增长，系统的状态 不断地变化，沿着时间增加 0 的方向，将描述这些状态的 t 1 许多相点连接起来，在相平 t 2 面上就形成了一条轨迹曲线，3 t 这种反映系统状态变化的轨 t 迹曲线叫相轨迹，如图8-6所 示。
5：非线性系统的畸变现象 线性系统在正弦信号作用 下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号；非线性系统 在正弦信号作用下的稳态输出不是正弦信号，它可能包 含有倍频和分频等各种谐波分量，从而使系统输出产生 非线性畸变。
三.非线性系统的分析方法 对于非线性系统，建立数学模型的问题要比线性系统困难 得多，至于解非线性微分方程，用其解来分析非线性系统 的性能，就更加困难了。这是因为除了极特殊的情况外， 多数非线性微分方程无法直接求得解析解。所以到目前为 止，还没有一个成熟、通用的方法可以用来分析和设计各 种不同的非线性系统，目前研究非线性系统常用的工程近 似方法有： 1：相平面法 相平面法是时域分析法在非线性系统中的推 广应用，通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程 在任何初始条件下的解，所得结果比较精确和全面。但对 于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从 而大大增加了工程使用的难度。故相平面法仅适用于一、 二阶非线性系统的分析。
第8章 非线性控制系统
4.继电器特性 由于继电器吸合电压和释放电压的不同，其特性中包 含了饱和、死区、和回环特性。
理想继电特性
M e0 x(t ) M e 0
理想的继电特性
具死区的继电特性
M x(t ) 0 M
e(t ) e0 e0 e(t ) e0 e(t ) e0
种可能的初始条件为起始点，可以得到相轨迹簇，相平面和
相轨迹簇合称为相平面图。
2 相轨迹的性质
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
/ dx (1)相轨迹的斜率 dx dx dx dx dx x x f ( x, x ) dt dx dt dx
dx dx dt f ( x , x ) dx dx dt x
x (1 ) x
) (x x x x x 1
等倾线方程
x
x 1 1 1
1 arctan 1
3.75 2.19 1.58 1.18 0.82 0.42 0.19 0.36 20 0.84 40 1.73 60
作用：从等效增益的角度来看，死区特性的存在减小了系 统的开环增益，减弱动态响应的振荡倾向，故可提高系统的平 稳性。死区的作用也可减小扰动信号的影响，一定程度上提高 了系统的抗干扰能力。
3. 间隙特性
k e(t ) y(t ) k e(t ) b sgn e(t )
3. 非线性系统的分类
非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的 非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
4. 研究非线性系统的方法
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非 线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能 应用叠加原理，目前还没有统一的且普遍适用的处理 方法。 由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具 限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解， 通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）……
131209第8章非线性控制系统分析
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M
sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
第八章 非线性系统
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0＜ ＜1
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
（2）奇线
当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系 统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取 决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的 相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象，它只 发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统 中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能 源中获取能量，从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将 极限环分为三种类型：
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程：
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
第八章 非线性控制系统分析PPT课件
2x(t)sinntd(t)
0
直流分量 n次谐波
Xn (An2Bn2)1/2
narctan(An/Bn)
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
N (A )2 M A 1 (m A )2 h1 (A h)2 j2 M A 2(m h 1 )
上节重点内容回顾
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
x(t)=Asinωt
死区非线性环节的描述函数
19
典型非线性特性的描述函数
2. 饱和特性的描述函数
x(t)
x(t)
0
π
2π
Kk
a
e(t) 0 ψ
ωt
0
A e x( t )
ψ
π 2π ωt
e(t)Asint
kAsint 0t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(t) ka
t,Aa,Asina
kAsint t
N(A )2 k arcsina Aa A1(a A)2 ,Aa
x(t)A 1co stB 1sint X1sin(t1)
A11X021x=(t)cAos12+tdB( 12t) B 11 a1rc0t2gABx(11t)sintd(t)
负倒 描述函数
r e N(A) x G(s)
第八章非线性控制系统
什么是线性系统
如二极管特性，当工作在小信号范 围时，可以用线性化来近似。
实际系统元件不同程度地存在非线性问题。如：放大器的饱和 特性、二极管的非线性，铁磁元件（变压器）的磁滞特性、测量元
件的死区、机械系统存在的摩擦和间隙等。
二、什么是非线性系统
系统中只要有一个元件的输入、输出关系是非线性的，就称为 非线性控制系统。 由非线性定义，严格地说，实际系统都是非线性系统，但对于 非线性程度不严重，或者仅仅在工作点附近小范围内工作的系统可 以将其近似视为线性关系。将非线性问题线性化，用线性理论进行 研究。
本章仅介绍小范围线性近似法、相平面法 和描述函数法。
第二节
典型非线性环节输入输出特性
1.死区特性：当输入信号小于某一个值时，系统无输出
死区非线性特性的数学表达式为
0 y k ( x sgn( x))
x x
常见于测量、放大元件中。死区非 线性特性导致系统产生稳态误差。
近似方法的应用是有一定条件的，否则所得结果没有价值。
4.相平面法：是一种图解法，仅适用于一阶或二阶系统。 通过在
x x 平面上绘制非线性系统的运动轨迹，可分析系统的
稳定性和动态性能。对于任意的二阶以下的非线性系统均适用。
5.计算机仿真：是研究复杂非线性系统的一种非常有效的方法，但 它只能给出特解，无法得到解析解，因此缺乏对一般非线性系统的 指导意义。 6.逆系统法：运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统。
相平面法概念6 解析法
2、直接积分法： 因为：
d dx dx dx dx dx x x dt dt dt dx dt dx
非线性系统的分析与设计方法
由于非线性系统的特点，在分析非线性系统时有以下几个特
第8章非线性控制系统汇总
自动控制原理
16
8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统 (8-2) 式中 与 n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。 设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两 个变量， x 和 x 来描述。若令，则方程(8-2)可化为 x1 x, x2 x (8-3) 2 (8-4) x2 n x1 2n x2 (0) ，由这两 x2 (0)或 x(0)、x 只要给定初始条件 x1 (0) 、 个一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如 此定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a) 绘出了初始条件为 x(0) x0 , x(0) 0，在不同阻尼下的 时间响应曲线。
自动控制原理
3
8.1.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
y
M 近似饱和特性 -b 0 -M b
实际饱和特性 x
图8.1 饱和非线性特性
y
K
- 0 K
-b
x
0
b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
自动控制原理
4
4. 继电器特性
y M 0 -M (a) y M - y M y M
自动控制原理
13
1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性 特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘 制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始 条件下解的运动形式。 2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对 于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化， 将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应 用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
自动控制原理
6
自动控制原理：第八章 非线性控制系统
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
x
dx dx
w
2x
0
积分得相轨迹方程
x 2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
§8.2 相平面图
自动控制原理第8章 非线性系统分析
一、 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2
x2
f
(
x1,
x2
)
dx2 f ( x1, x2 )
dx1
x2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x1 为横坐标，x2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
x1 x2
x x
x1 x2
x2
f ( x1, x2 )
一般形式为
x1
f1( x1, x2 )
x2 f2 ( x1, x2 )
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx2 f2 ( x1, x2 ) dx1 f1( x1, x2 )
求解可得相轨迹方程，即
奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
图8-4 -1＜＜0
时的相轨迹
(b) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一 族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所 示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。
图 8-5 ＜-1时的相轨迹
(c)对图所示的正反馈二阶系统
r(t)
n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2n x2 n2x1
dx1
x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x1 0, x2 0 为系统的奇点。
系统的特征根为
1，2 -n n 2-1
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
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改写为：
x.
a=-1
x d dx x 2w nx wn 2x0
令dx. / dx = a
A
a=-1.2 a=-1.4
B
a=-1.6
C DE
a=-1.8 a=-2 a=-2.5
a=-3
a=-4
a=-6
得等倾线方程：
a=-11
a=9 x
x 2wwnxn2ax
a=-1
aa==42 a=1 a=0.5 a=0 a=-0.2 a=-0.4
输出
K -b
0 b 输入
(On-off nonlinear)
(四) 继 电 器 型 非 线 性
输出 M
0
输入
-M
(a)
M 输出
-h 0 h 输入 -M (c)
输出 M -h 0 h 输入
-M
(b)
输出 M -h -mh 0 mh h 输入
-M
(d)
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
3
1
5
3
4
0 ω0
ω
具有硬弹簧的机械系统
2
1 6
4
0
ω0
ω
具有软弹簧的机械系统
三、非线性系统的研究方法
❖ 相平面法(Phase-plane technique)
o 适用于一阶、二阶系统
❖ 描述函数法(Describing function technique)
o 是一种等效线性化方法
❖ 计算机仿真(Computer simulation)
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
一、相平面图的基本概念
二阶系统
x 2 n w x wn 2 x 0
一、典型非线性特性
(一)饱和非线性 (Saturation nonlinear)
输出
M 近似饱和特性
实际饱和特性
-t
0 t 输入
-M
一、典型非线性特性
(二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)
输出 K
-h 0 h 输入
K
一、典型非线性特性
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
➢典型非线性特性 ➢非线性系统的运动特点 ➢非线性系统的研究方法
令x1x, x2 x.
x1 x
x2 wn2x1 2wnx
以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为 相平面 (phase plane)。
在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变 量构成的曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。
x2= x.
B C A
x1=x
二、相平面图的绘制
对于二阶系统 x.. + f(x, x. ) =0
b、关于x轴对称
f (x, x.) x. =
f (x, － x.
- x. )
或
f (x, x. ) = f (x, - x. )
即f(x, x. )是 x. 的偶函数。
c、关于原点对称
f (x, x. ) －f (-x, - x.) x. = － x.
即 f(x, x. ) f(x, x.)
(一)相平面图的特点
=∞
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
(一)相平面图的特点
4.相轨迹移动的方向
在相平面的上半平面，系统状态沿 相轨迹由左向右运动；
在下半平面，系统状态沿相轨迹由 右向左运动。
系统状态沿相轨迹的移动方向由相 轨迹上的箭头表示。
(二)绘制相平面图的解析法
相轨迹方程
. x =g(x)
例8.1 试绘制二阶系统 x w2x0
研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式
某些非线性
e(t)
系统的零输入响 E
应形式与系统的
初始状态有关。 0
t
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
2. 奇点和普通点
▪ 普通点 相平面上不同时满足x. 0和 f(x, x. )0的点。
▪ 奇点
相平面上，同时满足 x. 0
和f(x, x. )0的点。
(一)相平面图的特点
3.相轨迹通过x轴的斜率
在x轴上，所有点都满足 x. 0。除奇点外 相轨迹在x轴上的斜率为
d x. dx =
－f (x, x. ) x.
相轨迹的斜率方程为
d x. dx
=
－ f(x, x.
x. )
所 成等有了倾相等线轨斜方斜率程率 线为即dx.等/ d倾x线常。量a的点，构
a x. =- f(x, x. )
给定一组a值，可求得一组等倾线族。
利用等倾线族，可以确定相平面中任 意一点相轨迹的斜率。
设系统方程为 x 2 n w x w n 2 x 0
例8.2 求 x.. + a | x. |+ x=0 的相平面图
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
)是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
xddxxw2x0
积分得相轨迹方程
x2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。