湖北省宜昌一中2015-2016学年高一(下)入学数学试卷

2015-2016学年湖北省宜昌一中高一（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的）
1．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∪N）=（）
A．{1，2，3}B．{2}C．{1，2，3}D．{4}
2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（）
A．y=B．
C．D．
3．已知函数，则f（1）﹣f（3）=（）
A．﹣2 B．7 C．27 D．﹣7
4．函数的定义域为（）
A．（﹣∞，2 C．D．
5．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（2）=6，则f（﹣2）=（）
A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．10
6．设α角的终边上一点P的坐标是（﹣3，﹣4），则cosα等于（）
A．B． C．D．
7．若log2a＜0，（）b＞1，则（）
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
8．函数y=3sin（2x﹣）的图象作以下哪个平移得到函数y=3sin2x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移
9．一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）
A．u=log2t B．u=2t﹣2 C．u=D．u=2t﹣2
10．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3
f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）
A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
11．已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，则f（），f（），f（）的大小关系是（）
A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13．已知=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，则=．
14．对于定义域为D的函数f（x），若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称点（x0，x0）为f （x）图象上的一个不动点．由此函数的图象上不动点的坐标为．
15．若函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+a2﹣6，当f（x）＜0时解集为（﹣5，﹣2），则实数a=．16．若不等式x2﹣log m x＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求值：
（1）
（2）若，求的值．
18．已知函数f（x）=的定义域为A，
（1）求A；
（2）若B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
19．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）的单调递增区间．
20．（Ⅰ）求﹣2sin10°•tan80°的值．
（Ⅱ）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．求β的值．
21．某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a﹣x和x的乘积成正比；②y=a2；
③其中t为常数，且t∈．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
22．设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数
（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈4}，
故选D．
2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（）
A．y=B．
C．D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】如两个函数有相同的图象，则这两个函数表示同一个函数，需满足定义域、值域、对应法则都相同，分别验证即可得答案．
【解答】解：由题意知所求函数与y=x表示同一个函数，故定义域、值域、对应法则都相同
又原函数y=x的定义域为R、值域为R
对于A：函数y==|x|的值域为0，+∞），值域为B．（﹣∞，1，1）．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】把已知的不等式变形，转化为一个二次函数和一个对数函数的图象高低问题，然后列出不等式求解m的取值范围．
【解答】解：由x2﹣log m x＜0，得x2＜log m x，在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图，如图所示
要使x2＜log m x在（0，）内恒成立，只要y=log m x在（0，）内的图象在y=x2的上方，于是0＜m＜1
∵时，
∴只要时，，
∴，即．
又0＜m＜1，
∴．
即实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求值：
（1）
（2）若，求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用指数与对数的运算法则化简求解即可．
（2）利用诱导公式化简表达式，然后求解函数值．
【解答】解：（1）
=+1++2
=3 （5分）
（2），
=﹣
=﹣tan
=
18．已知函数f（x）=的定义域为A，
（1）求A；
（2）若B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算；函数的定义域及其求法．
【分析】（1）由题意，函数的定义域满足真数大于0，且分母不为0，二次根式的被开方数大于或等于0，由此列出不等式组，解即可；
（2）对集合B，解不等式x2﹣2x+1﹣k2≥0，并对k进行分类讨论，由A∩B≠∅求出k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，得；
解得﹣3＜x＜0，或2＜x＜3，
∴函数的定义域为
A=（﹣3，0）∪（2，3）；
（2）∵x2﹣2x+1﹣k2≥0，
∴当k≥0时，x≤1﹣k或x≥1+k，
当k＜0时，x≤1+k或x≥1﹣k；
又∵A∩B≠∅，
∴，或，
或，或；
解得k∈．
19．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）的单调递增区间．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【分析】（1）根据最值得A，根据函数周期计算ω，代入特殊点坐标即可求出φ，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间列出不等式解出即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知f（x）的最大值为，周期T=16，
∴A=，ω==，
又f（x）过点（2，），则（k∈Z），
∴，又|φ|＜，∴φ=，
∴f（x）=sin（x+）．
（2）令，解得：16k﹣6≤x≤16k+2（k∈Z），
∴f（x）的递增区间为（k∈Z）．
20．（Ⅰ）求﹣2sin10°•tan80°的值．
（Ⅱ）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．求β的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）利用倍角公式升幂，同时化切为弦，结合两角和与差的三角函数化简求值；（Ⅱ）由已知求得sin（α﹣β），然后利用拆角配角思想得答案．
【解答】解：（Ⅰ）﹣2sin10°•tan80°
=﹣2sin10°•
=﹣
=﹣=
=
=
=
=．
（Ⅱ）由0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=＞0，得0＜α﹣β＜，
∴sin（α﹣β）=，
于是，cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=，
∴β=．
21．某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a﹣x和x的乘积成正比；②y=a2；
③其中t为常数，且t∈．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）f（x）的表达式好列，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．
【解答】解：（1）设，可得k=4，∴y=4（a﹣x）x∴定义域为，t为常数，t∈
（2）
当
当＜时，即0≤t＜时，y=4（a﹣x）在上为增函数，
则时，投入时，售价y最大为a2万元；
当时，投入时，售价y最大为万元．
22．设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈﹣2，+∞）．
2016年10月15日。