哈工大测试大作业——信号的分析与系统特性——矩形波

信号的分析与系统特性

一、设计题目

写出下列方波信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取值，使得输出信号的失真小。

作业要求

（1）要求学生利用第1章所学知识，求解信号的幅频谱和相频谱，并画图表示出来。

（2）分析其频率成分分布情况。教师可以设定信号周期0T 及幅值A ，每个学生的取值不同，避免重复。

（3）利用第2章所学内容，画出表中所给出的系统)(s H 的伯德图，教师设定时间常数τ或阻尼比ζ和固有频率n ω的取值。

（4）对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x ，输入给3所分析的系统)(s H ，求解其输出)(t y 的表达式，并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真，应如何调整系统)(s H 的参数。

二、求解信号的幅频谱和相频谱

w (t )=w (t +nT 0)={

A 0

T 0

2−A T 0

2

002200-20

02

11=

(t)=+-=0T

T T T T a w dt Adt Adt T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭

⎰

⎰⎰

00220000-20

02

22()cos()cos()-cos()0T

T T T T n a w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T ⎛⎫=

=+= ⎪⎝⎭⎰

⎰⎰

00220000-20

02

00

0000002

2()sin()sin()-sin()4 2 cos()-cos()200 2T

T

T T T n b w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T A T T n A A nw t nw t n

T T nw nw n π⎛⎫=

=+ ⎪

⎝⎭

⎛⎫⎧⎪

⎪==⎨ ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎰

⎰⎰为奇数为偶数

式中ω0=2π/T 0

000411(t)=(sin(w t)+sin(3w t)+sin(5w t)+)

35A w π…

转换为复指数展开式的傅里叶级数：

()()

00000000000

2

-j 0

00

-2

00000011=

(t)e

=e +-e 1121 =(e -e ) =e -e | =e -e = 2T jnw t

nw t jnw t

n T jnw t jnw t jnw t jnw t jnw jnw c w dt A dt A dt T T A A A

A dt j T T jnw T nw j n τττ

τττπ

-----⎛⎫ ⎪

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

当0,2,4,...n =±±时，0n C =； 当1,3,5,...n =±±±时，2n A C j n π

=-

则幅频函数为：

2,1,3,5,...n A

C j

n n π

=-=±±±

42||,1,3,5,...n n A

A C n n π

==

=

相频函数为：

arctan

arctan(),1,3,5, (2)

nI n nR C n C π

ϕ==-∞=-= arctan

arctan(),1,3,5, (2)

nI n nR C n C π

ϕ==+∞==---

双边幅频图：

单边幅频图：

相频图：

三、频率成分分布情况

由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，矩形波是由一系列正弦波叠

加而成，正弦波的频率由0w 到30w ，50w ……，其幅值由

4A π到43A π，45A

π

，……

依次减小，各频率成分的相位都为0。

四、H(s)伯德图

一阶系统

1

()

1

H s

sτ

=

+

，对应=0.1, 0.5, 0.707

τ

二阶系统

22

40

()

2

n

n n

H s

s s

ω

ξωω

=

++

，对应10,500

n

ω=，=0.5, 0.707

τ

五、将此信号输入给特征为传递函数为H(s)的系统

（1）一阶系统响应

方波信号的傅里叶级数展开为：

1

4

()sin

n

A

x t n t

n

ω

π

∞

=

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

∑

据线性系统的叠加原理，系统对()

x t的响应应该是各频率成分响应的叠加，即

[]

0000

1

4

()()sin()sin(),1,3,5,...

t

z

n

A

y t A n n t n e n n

n

ωωϕωϕω

π

∞-

=

⎛⎫

⎧⎫

=+-=

⎪

⎨⎬

⎪

⎩⎭

⎝⎭

∑