二次函数投球问题
【武汉2013中考数学】二次函数应用题
二次函数的实际应用1例题1：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?例题2：（2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．O练习1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是21251233y x x=-++则他将铅球推出的距离是m 练习1图3．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
例题3：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面外安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA ＝1.25米，由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线开口与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？例题4：(2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？练习：1. 爱琴公园的音乐喷泉中的一个旋转喷泉如图所示，水管AB高出水面53米，B处是自转的水喷头，喷出水流呈抛物线状，喷出的水流在与A点的水平距离2米处达到最高点C，点C距离水面3米。
二次函数投篮问题(附答案)
二次函数投篮问题1．在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？﹣﹣×时，﹣x2．如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？，则该抛物线解析式为，时，时，+3.5=3.05，即3．（2011•宝山区一模）如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；），∴4.．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t﹣5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？﹣=5．（2013•婺城区一模）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？．，或﹣，，x））×=，=6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．[x﹣（≤]7．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．[x﹣（≤]。
二次函数方程的应用题解析
二次函数方程的应用题解析二次函数方程是高中数学中重要的一部分，它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
本文将从实际问题出发，通过解析具体的应用题，介绍二次函数方程的应用方法和解题思路。
1. 弹射物体的高度计算假设一球从地面上以速度v0垂直上抛，经过时间t后，求球的高度h。
根据物理知识，球的高度h与时间t之间的关系可以用二次函数方程h=-gt^2+vt表示，其中g是自由落体加速度。
解题步骤：（1）确定二次函数的三要素，即开口方向、平移和伸缩等。
（2）将问题中已知的速度v0和时间t代入二次函数方程，解得球的高度h。
2. 投影问题假设有一个斜抛运动，以速度v0沿着夹角α斜抛出去，求物体的水平位移x和垂直位移y。
解题步骤：（1）将水平方向和垂直方向的速度分解，分别为v0cosα和v0sinα。
（2）根据时间t的不同，将x和y分别表达为关于t的函数。
（3）令y=0，求解方程得到物体落地的时间t0。
（4）将t0代入x的函数中，求解物体的水平位移x。
3. 关于顶点的最值问题对于二次函数方程f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标为x0=-b/2a。
（1）最值问题：若a>0，则f(x)在x0处取得最小值，最小值为f(x0)。
（2）最值问题：若a<0，则f(x)在x0处取得最大值，最大值为f(x0)。
通过上述例题，我们不难发现，二次函数方程在解决实际问题中起到了重要的作用。
掌握二次函数方程的应用方法和解题思路，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
总结：二次函数方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
本文从弹射物体的高度计算、投影问题以及关于顶点的最值问题等方面，解析了二次函数方程的应用方法和解题思路。
通过深入理解和练习实际问题的解析，我们可以更好地掌握二次函数方程的应用技巧，提高数学解题能力。
2021-2022苏科版九年级上册---第5章二次函数--二次函数的实际应用-抛球问题
二次函数的实际应用-抛球问题一、单选题1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（）A. 3mB. 4mC. 8mD. 10m2.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（）A. 2米B. 3米C. 5米D. 6米3.2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－14x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y=−14x2+34x+1 B. y=−14x2+34x−1C. y=−14x2−34x+1 D. y=−14x2−34x−14.在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=−112x 2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（）A. 3米B. 2米C. 10米D. 53米5.一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A. 1米B. 3米C. 5米D. 6米6.为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式ℎ=−5t2+v0t表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v0(m／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（）A. 5m／sB. 10m／sC. 20m／sD. 40m／s7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A. 小球滑行12秒停止B. 小球滑行6秒停止C. 小球滑行6秒回到起点D. 小球滑行12秒回到起点8.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是() A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒9.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③10.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米二、填空题11.如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用时间为________s12.小明推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−4)2+3，则小明推球的成绩是________m.13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−5)2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．14.小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣112(x−4)2+3，则小明推铅球的成绩是________m．15.如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C 三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为米．16.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则他将铅球推出的距离是________ m．17.烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h= −32t2+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．18.向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第________秒．三、解答题19.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53m．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？20.在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）.如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.求这个二次函数的解析式.21.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是85米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度52的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？22.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是ℎ=30t−5t2( 0≤t≤6)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？23.体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）24.(本题8分) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a（x-4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m.（1）当a=− 1时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.24m的Q处时，乙扣球（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125成功，求a的值.x2+x+2的一部25.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=−112分，根据关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？26.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a(x+4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（1）当a=- 124m的Q处时，乙（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125扣球成功，求a的值．27.在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？m，与篮28.NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高209圈中心的水平距离7m。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
2019中考数学狙击重难点系列专题2----二次函数的实际应用之抛球问题
二次函数的实际应用--抛球问题一、单选题1.把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( )A. 1.05米B. －1.05米C. 0.95米D. －0.95米2.林书豪身高1.91m，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y= x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（）A.3.2mB.4mC.4.5mD.4.6m3.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线y＝－x2＋bx ＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O 点的距离是4m，那么这条抛物线的表达式是( )A.y＝－x2＋x＋1B.y＝－x2＋x－1C.y＝－x2－x＋1D.y＝－x2－x－1 4.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢h 0 8 14 18 20 20 18 14 …20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、解答题5.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时球离地面约．铅球落地点在处，铅球运行中在运动员前处（即）达到最高点，最高点高为．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？三、综合题6.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？7.如图，已知排球场的长度OD为18 m，位于球场中线处球网的高度AB为2.4 m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6 m的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6 m时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系（1）当球上升的最大高度为3.4 m时，对方距离球网0.4 m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1 m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）8.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？9.如图，一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球水平运行4 m时达到离地面的最大高度4 m．设篮球运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈距地面3 m，在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．(注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)（1）问：此球能否投中？（2）此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19 m，则他如何做才能成功？10.小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m 处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=- x2+x+c.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）球在运动的过程中离地面的最大高度；（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB. 11.足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑其它因素），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数解析式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要在几s内到球门的左边框？12.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？13.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．15. 2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为________米．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故答案为：C.【分析】将t=2.1，v0=10,g=10代入函数解析式即可算出h的值，再用h的值加上小明开始距地面的高度即可得出答案。
生活中的二次函数(篮球问题)
解：如图，建立平面 直角坐标系
因为抛物线的顶点为（4，4） ， 因此可设此抛物线的关系式为
y ax 4 4
2
1 2 y x 4 4 9
y
20 9
（4，4）
3米 2.解法二：∵抛物线的关 系式为： 1 2
y
9
x 4
4
8 2.解法一：∵抛物线的关系 式为：
-2
x
• 4.在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则他朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？ 6 y
（4，4） （5，4）
4
A (７，３）
20 0, 9
2
●
B（8，3）
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
-2
X 答：向前平移1米后跳起投篮也能 将篮球投入篮圈
用抛物线的知识解决运动场上或者生活中 的一些实际问题的一般步骤：
1.（建）恰当建立直角坐标系 2.（找）将已知条件转化为点的坐标 3.（设）合理设出所求函数关系式 4.（求）代入点的坐标，求出关系式 5.（解）利用关系式求解实际问题
课本p31页
如图，一位篮球运动员在离篮 圈水平距离4米处跳起投篮， 球沿一条抛物线运行，当球运 行的水平距离为2.5米时，达 A 到最大高度3.5米，然后准确 落入篮框内。已知篮圈中心离 地面高度为3.05米。 （1）建立图中所示的直角坐标系， 求抛物线所对应的函数关系式。
0
4
x
所以：当y 3时 1 2 3 x 4 4 9 解得：x 7或1
∵篮圈在8米处∴不能投中
1 2 y x 4 4 9
九年级数学二次函数应用题-含答案
九年级数学专题二次函数的应用题一、解答题1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2. 5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式；（2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，）4.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系：1.写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
专题20 二次函数与实际问题：投球问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题20 二次函数与实际问题：投球问题一、单选题1．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 具有函数关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地的所用时间为( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B【分析】 根据二次函数的图象与性质解题．【详解】解：依题意，令0h =得20205t t =-，得(205)0t t -=，解得0t =（舍去）或4t =，即小球从飞出到落地所用的时间为4s ，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是22201h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．4sB ．5sC ．6sD ．10s【答案】B【分析】把22201h t t =-++化成顶点式，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：()2222012551h t t t =-++=--+，∴当t=5s 时，礼炮达到最高点；故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y =－x 2+bx +c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是3m ，那么这条抛物线的解析式是（ ）A ．y =－x 2+83x +1B ．y =－x 2+83x －1 C ．y =－x 2－83x +1 D ．y =－x 2－83x －1 【答案】A【分析】根据已知得出B 点的坐标为：（0，1），A 点坐标为（3，0），代入解析式即可求出b ，c 的值，即可得出答案．【详解】解：∵出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是3m ，∴B 点的坐标为：（0，1），A 点坐标为（3，0），将两点代入解析式得：1930c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：841b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴这条抛物线的解析式是：y =-x 2+83x +1， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B ，A 两点的坐标是解决问题的关键．4．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43（0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2（ 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网，当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 5．竖直向上的小球离地面的高度h （米）与时间t （秒）的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高． A ．37 B ．47 C ．34 D ．43【答案】A【分析】首先根据题意得出m 的值，进而求出t ＝2b a-的值即可求得答案． 【详解】∵竖直上抛的小球离地面的高度h (米)与时间t (秒)的函数关系式为h ＝﹣2t 2+mt +258，小球经过74秒落地， ∴t ＝74时，h ＝0， 则0＝﹣2×(74)2+74m +258， 解得：m ＝127， 当t ＝2b a -＝()12722-⨯-=37时，h 最大， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确得出m 的值是解题关键．6．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x -4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ） A ．3mB ．4mC ．8mD ．10m【答案】D【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x 的值即可得到成绩.【详解】由题意得，当y=0时， 21(4)3=012--+x ， 解得：110x =，22x =-（舍去）故选D.【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x 的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键.二、填空题7．竖直上抛物体时，物休离地而的高度()h m 与运运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时高地面的高度，()0m /s v 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m ．【答案】21.5【分析】根据题意可得到h 关于t 的函数关系式，再将其化为顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：由题意得：h ＝﹣5t 2+20t +1.5＝﹣5（t ﹣2）2+21.5，∵a ＝﹣5＜0，∴当t ＝2时，h 取得最大值，此时h ＝21.5．故答案为：21.5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ． 【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度为y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：令21(4)312y x =--+中，y=0， 21(4)3012x --+=， 解得12102x x ==-，（舍去），即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．9．一个小球被抛出后，如果距离地面高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．【答案】6【分析】直接利用配方法将一般式转化为顶点式，进而求得二次函数最大值即可得解．【详解】解：∵()225101516h t t t =-++=--+∴小球达到最高点时距离地面高度是6米．故答案是：6【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．10．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y =ax 2+bx+c （a≠0），若此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第_____秒．【答案】11【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x 的值．【详解】∵此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：616112x +==， ∴炮弹所在高度最高时,时间是第11秒．故答案为：11．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴是解题的关键． 11．一中学生在练习投掷铅球时，通过对自己某次铅球训练的录像进行分析，发现铅球的飞行高度h （米）与水平距离x （米）之间满足关系式221618252525=-++h x x ，则该中学生铅球投掷的成绩是______米． 【答案】9【分析】根据题意当h=0时，代入求解即可．【详解】解：由题意得：当h=0时，则有2216180252525x x =-++， 解得：121,9x x =-=，∴该中学生铅球投掷的成绩是9米；故答案为9．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()26y a x h =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.24m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h 的取值范围是_________．【答案】83h ≥ 【分析】根据当球正好过点（9，2.24）时，抛物线y=a （x -6）2+h 还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（18，0），抛物线y=a （x -6）2+h 还过点（0，2）时分别得出h 的取值范围，或根据不等式即可得出答案．【详解】解：当球过球网时y=a （x -6）2+h 过（0，2）和（9，2.24），3629 2.24a h a h +=⎧⎨+=⎩，解得： 66752.32a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ()266 2.32675y x ∴=--+， 当y=0时，()266 2.320675x --+=，解得，16x =（舍去），2618x =，∴球过网时，球出界；∴ 2.32h >当球到界时y=a （x -6）2+h 过（0，2）和（18，0），3621440a h a h +=⎧⎨+=⎩，解得： 15483a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ()2186543y x ∴=--+， 83h ∴≥ ， ∴球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h 的取值范围是83h ≥． 故答案为：83h ≥ 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．13．一名男生推铅球，铅球行进的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系212123y x x =-+53+，则这个男生这次推铅球的成绩是_______． 【答案】10【分析】铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值．【详解】当0y =时，212123x x -+53+0=， 解得：12102x x ==-，（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．14．小明推铅球，铅球行进高度y ()m 与水平距离x ()m 之间的关系为21(4)312y x =--+，则小明推球的成绩是______m ．【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：令函数式21(4)312y x =--+中y=0，得210(4)312x =--+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是_____m.【答案】4【分析】根据题意可以求得当y=3.05时，抛物线y（（15x 2（3.5中对应的x 的值，从而可以解答本题． 【详解】将y=3.05代入y（（15x 2（3.5，得 3.05=（15x 2+3.5（ 解得,x=−1.5(舍去)或x=1.5（（若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是：2.5+1.5=4(m)（故答案为（4.【点睛】本题考查二次函数的应用.16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．【答案】1.6．【解析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h ,这个最大高度为h ,则小球的高度y =a (t −1.1)2+h ，由题意a (t −1.1)2+h =a (t −1−1.1)2+h ，解得t =1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故答案为1.6.三、解答题17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间满足函数表达式 ()24y a x h =++ ，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当a=- 124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值． 【答案】（1）①h= 53；②此球能过网，理由见解析；（2）a=- 15． 【分析】（1）①将点P （0，1）代入y=-124(x -4)2+h 即可求得h ；②求出x=5时，y 的值，与1.55比较即可得出判断； （2）将(0，1)、(7，125)代入y=a(x -4)2+h 代入即可求得a 、h ． 【详解】（1）解：（当a=-124 时，y=-124(x -4)2+h ， 将点P(0，1)代入，得：-124×16+h=1， 解得：h=53； （把x=5代入y=-124(x -4)2+53 ，得：y=-124×(5-4)2+53 =1.625， （1.625＞1.55，（此球能过网； （2）把(0，1)、(7，125)代入y=a(x -4)2+h ，得： 1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：15215a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （a=-15． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．18．张强在一次投掷铅球时，铅球划过的路径刚好是一段抛物线，如图所示．已知张强刚出手时铅球离地面的高度为53m ，铅球运行的水平距离为4m 时达到最高，高度为3m ． （1）求抛物线的函数关系式；（2）张强这次的投掷成绩大约是多少？【答案】（1）21251233y x x =-++；（2）10m ． 【分析】（1）已知给出顶点坐标与y 轴的交点坐标，利用抛物线的顶点式即可求出，然后化为一般式即可； （2）张强这次的投掷成绩就是y=0，解一元二次方程求出x ，再进行取舍即可．【详解】（1）∵铅球运行的水平距离为4m 时达到最高，高度为3m ．∴抛物线的顶点坐标为（4，3）， ∵出手时铅球离地面的高度为53m ， ∴A 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设抛物线的顶点式为()243y a x =-+，∵抛物线过点A ， ∴()250433a =-+， 解得112a =-， ()214312y x =--+， 21251233y x x =-++； （2）当 y=0时，()2143=012x --+， 46x -=±，=10x 或=2x -（不合题意舍去）， 张强这次的投掷成绩大约是10m ．【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数与一元二次方程的关系问题，掌握用待定系数法求二次函数解析式与解一元二次方程是解题关键．19．愤怒的小鸟——为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒．而捣蛋猪为了躲避打击，将自己藏在各种障碍物后面，自此，双方展开了一番斗智斗勇的较量．（1）如图1，愤怒的小鸟调整好位置后，恰好可以越过2m 高的箱子(箱子宽度不计)，射中6m 外的捣蛋猪，最高点距离地面3m ，问出发时小鸟与箱子的距离？（2）如图2，箱子的长宽不断发生变化，愤怒的小鸟按照原弹射轨迹(射中6m 外的捣蛋猪，最高点距离地面3m)，当轨迹恰好经过B 、C 两点时，则AB+BC+CD 的最大值是多少？【答案】（1）出发时小鸟与箱子的距离为(3+) m ；（2）AB BC CD ++的最大值为152m ． 【分析】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，再求得当2y =时，x 的值，结合题意可得答案；（2）设B 点坐标为(x ，2123x x -+)，则C 点坐标为(6x -，2123x x -+)，根据题意得到AB+BC+CD 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，设抛物线的解析式为：()233y a x =-+，把(0，0)代入得：()20330a -+=， 解得：13a =-，∴抛物线的解析式为()221133233y x x x =--+=-+， 令2y =，则()213323x --+=，即()233x -=，解得：1233x x ==不合题意，舍去)，答：出发时小鸟与箱子的距离为(3+) m ；（2）设B 点坐标为(x ，2123x x -+)，则C 点坐标为(6x -，2123x x -+)， ∵B 点、C 点都在第一象限， ∴21AB CD 23x x ==-+，BC 662x x x =--=-， ∴21AB BC CD 22623x x x ⎛⎫++=-++- ⎪⎝⎭ 22263x x =-++ 22315322x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，AB BC CD ++的最大值为152m ． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义．20．在篮球比赛中，东东投出的球在点A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C 时被东东抢到，CD ⊥x 轴于点D ，CD =2.6m ．求OD 的长．【答案】（1）22(0.4) 3.32y x =--+；（2）OD =1m ．【分析】（1）设2(0.4) 3.32y a x =-+（0a ≠），将A （0，3）代入求解即可得出答案；（2）把 2.6y =代入（1）所求得的解析式中，解方程求出x ，即可得出OD 的长．【详解】（1）设2(0.4) 3.32y a x =-+（0a ≠）， 把A （0，3）代入得，23(0.4) 3.32a x =-+，解得2a =-，∴抛物线的函数表达式为22(0.4) 3.32y x =--+； （2）（把 2.6y =代入22(0.4) 3.32y x =--+， 化简得2(0.4)0.36x -=， 解得10.2x =-（舍去），21x =，∴1OD m =．【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．21．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C . （1）如图，已知AD CD ⊥于D ，以D 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B 的坐标为________；（2）小明此次投掷的成绩是多少米？【答案】（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米 【分析】（1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =- 2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍）答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键22．九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示，若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2)，实心球路线的最高处B 点的坐标为(6,5)B ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号）【答案】（1）21(6)512y x =--+；（2）(6m + 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，设其顶点式，由A 坐标可得答案；（2）令0y =，解方程求得x 的值即可．【详解】解：（1）设抛物线解析式为2(6)5(0)y a x a =-+≠，(0,2)A 在抛物线上，∴代入得112a =-， ∴抛物线的解析式为21(6)512y x =--+． （2）令0y =，即21(6)5012x --+=，解得16x =-，26x =+6OC ∴=+答：该同学把实心球扔出(6m +．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．23．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发出的乒乓球的运动路线是固定不变的，在乒乓球运行时，设乒乓球与发球机的水平距离为x （米），与桌面的高度为y （米），经多次测试后，得到如下数据：（1）把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数解析式，并求出函数关系式；（2）乒乓球经发球机发出后，最高点离地面多少米？（3）当球拍触球时，球离地面的高度为58米．（此时发球机与球的水平距离；（现将发球机向后平移了0.4米，为确保球拍在原位置接到，发球机需调高多少米？【答案】（1）y＝﹣18x2+14x+1；（2）98米；（3）（3米；（0.22米【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）运用对称性或配方法计算二次函数的顶点坐标的纵坐标即可；（3）①球离地面的高度为58米时发球机与球的水平距离，就是当y＝58时，对应的x的值，代入解方程即可；（先设发球机需调高m米，发球机向后平移了0.4米，就是相当于将抛物线向左平移了0.4米，表示出新的抛物线的解析式，将（3，58）代入即可求出m的值．【详解】解：（1）描点如下：观察图形发现是二次函数，设y＝ax2+bx+c，把（0，1）、（1，1.125）、（2，1）代入得：11.125 421ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：18141abc⎧=-⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，则解析式为：y＝﹣18x2+14x+1；（2）由图表得：当x＝0或2时，y＝1，对称轴为：直线x＝022+＝1，当x＝1时，y＝98，∵a＝﹣18＜0，y有最大值，是98，∴乒乓球经发球机发出后，最高点离地面98米；（3）（当y＝58时，﹣18（x﹣1）2+98＝58，（x﹣1）2﹣9＝﹣5，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝3，x2＝﹣1（舍去），则此时发球机与球的水平距离为3米；（设发球机需调高m米，y＝﹣18x2+14x+1＝﹣18（x﹣1）2+98，平移后得：y＝﹣18（x﹣1+0.4）2+98+m，由题意得（3，58）仍在平移后的抛物线上，所以把（3，58）代入得：﹣18（3﹣1+0.4）2+98+m＝58，解得m＝0.22，答：发球机需调高0.22米．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，求出函数解析式是解题关键．24．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，其高度为3米，球网BC离点O 的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为(,0)m．（1）求抛物线的表达式(不要求写自变量的取值范围)．（2）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围【答案】（1）21(5)315y x =--+；（2）68m << 【分析】（1）设抛物线解析式为y ＝a （x−5）2＋3，将点（0，43）代入可得出a 的值，继而得出抛物线解析式； （2）先计算出刚好接到球时m 的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m 的取值范围．【详解】解答：解：（1）设抛物线解析式为y ＝a （x−5）2＋3，将点（0，43）代入可得：43＝a （0−5）2＋3， 解得：a ＝−115， 故抛物线的解析式为：21(5)315y x =--+． (2)若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时−115（m−5）2＋3＝2.4， 解得：m 1＝2，m 2＝8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m ＜8，∵OC ＝6，乙运动员接球时不能触网，∴m 的取值范围为：6＜m ＜8．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．25．足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y （m ）关于飞行时间x （s ）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s 时，足球的飞行高度是2.44m ，足球从飞出到落地共用3s ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m （如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时．．．．．．，离球门左边框12m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？【答案】（1）21.22 3.66y x x =-+；（2）6m /s【分析】（1）设y 关于x 的函数关系式为2y ax bx =+，依题可知：当1x =时， 2.44y；当3x =时，0y =，解得a 、b ，即可得到y 关于x 的函数关系式；（2）令 2.44y，解得x ，然后求速度． 【详解】解：（1）设y 关于x 的函数关系式为2y ax bx =+，依题可知：当1x =时， 2.44y ； 当3x =时，0y =．∴ 2.44930ab a b ，∴1.223.66ab，21.22 3.66y x x．（2） 2.44y，22.44 1.223.66x x，2320x x∴-+=，11x∴=，22x=．当11x=时，球刚好踢出，还没到达球门处，不符合题意，舍去，∴平均速度至少为126(/)2m s．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟悉相关性质是解题的关键．26．小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x ﹣k）2＋2.5．（1）求铅球的落点与小明的距离；（2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？【答案】（1）（（（（（（（（（（（（8m；（2）会受到伤害【分析】（1）将点(0，1.6)代入y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5，解得k的值并根据题意作出取舍，从而可得抛物线的解析式，然后令y=0，解得x的值并作出取舍即可；（2）将x=7代入（1）中的抛物线解析式，求得y值，再与1.5比较即可得出结论．【详解】（1）由题意知，点(0，1.6)在抛物线y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5上，∴1.6=﹣0.1（0﹣k）2＋2.5，解得：k=3或k=﹣3（舍去），∴抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5，当y=0时，﹣0.1（x﹣3）2＋2.5=0，解得x1=8，x2=﹣2（舍去），∴铅球的落点与小明的距离为8m；（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5，∴当x=7时，y=﹣0.1（7﹣3）2＋2.5=0.9，∵0.9＜1.5，∴一个身高为1.5m的小朋友会受到伤害．【点睛】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数与一元二次方程的关系及求二次函数的值等知识点是解题的关键．27．小亮推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示（二次函数图象的一部分）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求小亮推出铅球的水平距离．【答案】（1）21(4)312y x =--+；（2）小亮推出铅球的水平距离是10m ． 【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为：2(4)3y a x =-+，将5(0,)3代入解析式中即可求出结论； （2）将y=0代入解析式中，结合实际意义即可得出结论．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：2(4)3y a x =-+， ∵点5(0,)3在2(4)3y a x =-+的图象上， ∴25(04)33a =-+ 解得，112a =-， ∴y 与x 之间的函数关系式是：21(4)312y x =--+； （2）将0y =代入21(4)312y x =--+，得210(4)312x =--+， 解得12x =-，210x =由图可知，小亮推出的距离为正值，12x =-，不符合题意，舍去，故小亮推出铅球的水平距离是10m ，答：小亮推出铅球的水平距离是10m ．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和实际意义是解题关键． 28．如图，有一款电脑屏幕弹球游戏，球每次运行在同一平面内，从O 处发射小球，球将投入“篮筐”—正方形区域DABC 边CD ，AB 为入口和出口，三个顶点为A （2，2）、B （3，2）、D （2，3），小球按照抛物线y=-x 2+bx+c 飞行，小球落地点P 坐标（n ，0）．（1）点C 坐标为 ；（2）求出小球飞行中最高点N 的坐标（用含有n 的代数式表示）；（3）随着n 的变化，抛物线的顶点在二次函数 的图象上运动；（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触“篮筐”AD 、BC ，请求出n 的取值范围．【答案】（1）点C 坐标为(3,3)；（2）2(,)24n n N ；（3）2y x ；（4）71123n << 【分析】 （1）由正方形的性质及A 、B 、D 三点的坐标求得AD=BC=1即可得；（2）把（0，0）（n ，0）代入y=-x 2+bx+c 求得b=n 、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；（3）由抛物线的解析式可得抛物线顶点坐标为（2n ，24n ），在y=x 2中，当x=2n 时，y=24n ，即可得出答案；（4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y ＞3，当x=3时y ＜2，据此列出关于n 的不等式组，解之可得．【详解】解：（1）∵A （2，2），B （3，2），D （2，3），∴AD=BC=1，则点C （3，3），故答案为：（3，3）；（2）把（0，0）（n ，0）代入y=-x 2+bx+c 得：200c n bn c =⎧⎨-++=⎩， 解得：0b n c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y=-x 2+nx=-（x -2n ）2+24n ， ∴顶点N 坐标为（2n ，24n ）； （3）抛物线解析式为y=-x 2+nx=-（x -2n ）2+24n ， ∴抛物线顶点坐标为（2n ，24n ）， 在y=x 2中，当x=2n 时，y=24n ，∴抛物线的顶点在函数y=x 2的图象上运动；（4）根据题意，得：当x=2时y ＞3，当x=3时y ＜2，即423932n n -+>⎧⎨-+<⎩， 解得：71123n <<． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数的问题能力．29．王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系可以表示为2+112243y x x =-+，铅球从出手到落地的路线如图所示．（1）求铅球出手点的离地面的高度OA 是多少米？铅球推出的水平距离OB 是多少米？（2）求铅球推出的水平距离是多少米时铅球到达最高点？【答案】（1）铅球出手点离地面的高度是2米，铅球推出的水平距离DB 是12米；（2）铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是83米 【分析】（1）要求OA ，只需求A 点坐标，由点Azaiy 轴上，x=0，可求；铅球推出的水平距离OB ，求B 点坐标，点B 在x 轴上，让y=0解之即可，（2）把给的抛物线解析式配方变为顶点式即可．【详解】解：（1）当0x =时，2y =，∴铅球出手点离地面的高度是2米．令0y =，即21120243x x -++=， 解得112x =，24x =-（不合题意，舍去），∴铅球推出的水平距离DB 是12米．（2）2112243y x x =-++， ()2184243x =--+， ∴最高点坐标为84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，答：铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是83米． 【点睛】本题考查二次函数的实际问题，关键熟悉二次函数的知识，求轴上点的坐标方法，对称轴，顶点式，即顶点式中各代数式表示的意义．30．弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为1m 的点A 处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面2m 时，弹球与甲的水平距离为2m ．弹球在B 处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点C 处．。
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-抛球问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-抛球问题一、综合题1．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：2012h v t gt =-（h 是物体离起点的高度，0v 是初速度，g 是重力系数，取210m/s ，t 是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s 的初速度把球向上拋出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m ？（3）球离起点的高度能达到6m 吗？请说明理由．2．一名高尔夫球手某次击出的球的高度()h m 和经过的水平距离()d m 满足下面的关系式：20.01h d d =-．（1）当球经过的水平距离为50m 时，球的高度是多少？（2）当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？（3）设当球经过的水平距离分别为20m 和80m 时，球的高度分别为1h 和2h ，比较1h 和2h 的大小．3．如图，将小球从地面击出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2205h t t =-．（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？（2）直接写出小球从飞出到落地需要的时间；（3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？4．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）5．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处（即4OC=）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．（1）求铅球所经过路线的函数表达式．（2）铅球的落地点离运动员有多远?6．如图，运动员小成推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53m（即53OA=）.铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即4OC=）达到最高点，最高点高为3m（即3CD=）.已知铅球经过的路线是抛物线.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）请算出小成的成绩为多少米（即OB长）.7．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面20m9，与篮圈中心的水平距离为7m，球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此时球能否准确投中？（3）此时，对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？8．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m… 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s=m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m.①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度.9．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．10．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h(m)和经过的水平距离d(m)可用公式h ＝－0.01d2＋d来估计．（1）当球的水平距离达到50m时．球上升的高度是多少？（2）当球的高度第一次达到16m时．球的水平距离是多少？11．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．12．（1）解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5；（2）在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣112x2+x+2，求铅球行进的最大高度是多少？13．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x=刻画.若小球到达的最高的点坐标为(48)，，解答下列问题：（1）求抛物线的表达式：（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为3.5，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；（3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.14．任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-12)2+h．小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m．（假定甲．（1）当h=3时，求y与x的关系式．（2）当h=3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由．（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围．15．乒乓球台的横截面如图所示，桌面长274cmAB=，位于球桌中线的球网高15.25cmMN=，以BA的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系．从O点发出的球经过点75(50)4C，，且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm的地方，球达到最高点．（1）求抛物线的解析式；（2）此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．16．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式；（2）求出2y 与x 之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？17．如图①，小明和小亮分别站在平地上的C D 、两地先后竖直向上抛小球A B 、（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面.A B 、两球到地面的距离1(m)y 和2(m)y 与小球A 离开小明手掌后运动的时间(s)x 之间的函数图象分别是图②中的抛物线12C C 、.已知抛物线1C 经过点(02)P ，，顶点是(17)Q ，，抛物线2C 经过(12)M ，和(25)N ，两点，两抛物线的开口大小相同.（1）分别求出12y y 、与x 之间的函数表达式.（2）在小球B 离开小亮手掌到小球A 落到地面的过程中.①当x 的值为▲时，两小球到地面的距离相等；②当x 为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？18．在高尔夫球训练中，运动员在距球洞10m 处击球，其飞行路线满足抛物线2155by x x =-+，其图象如图所示，其中球飞行高度为()y m ，球飞行的水平距离为()x m ，球落地时距球洞的水平距离为2m .（1）求b 的值；（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；（3）若球洞4m 处有一横放的 1.2m 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线2155by x x =-+，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求b 的取值范围.19．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B。
二次函数投篮问题
（1）求抛物线的解析式。
（2）在这次投跳中，球在头顶上方0.25m处出手，球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
y
0.25米
1.8米
3.5米
3.05米
﹖ 2.5米
0
x
4米
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地 面高 29米0 ,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出 手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球 运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
y
4米
20
9
4米
0
8米
3米
x
若假设出手的角度和力度 都不变,则如何才能使此 球命中?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
(７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
若假设出手的角度和力度都不变, 则小明如何改进才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离 是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知 球门高2．44米，问能否射中球门？
3米Байду номын сангаас
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练(word、含简单答案)
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练一、单选题1．一个小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：()2516h t =--+，则小球距离地面的最大高度是（ ）.A ．1米B ．5米C ．6米D ．-5米 2．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m /s B ．10m /s C ．20m /s D ．40m /s 3．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度()y m 与水平距离之间的关系是21251233y x x =-++，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（ ） A ．5 3米 B ． 4米 C ． 8米 D ．1?0米 4．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣6（t ﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．2米B ．5米C ．6米D ．7米 5．把一个小球以30米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒）的函数关系为2305h t t =-，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ） A ．2秒 B ．3秒 C ．6秒 D ．45秒 6．从地面竖直上抛一小球，小球的高度h 米与时间t 秒的关系式是：()230506h t t t =-≤≤，当2t =秒时，h 的值是（ ）A ．40米B ．30米C ．60米D ．100米 7．竖直向上发射的小球的高度()h m 关于运动时间()t s 的函数表达式为2h at bt =+，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（ ）A ．3sB ．3.5sC ．4sD ．6.5s8．林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m二、填空题9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t －5t 2，则小球飞出______s 时，达到最大高度．11．铅球运行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的函数关系满足2143123y x x =-++，此运动员能把铅球推出__________m ． 12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系为()215312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．13．从地面上竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是2305h t t =-(06)t ≤≤，则小球从抛出___________秒后离地面25米． 14．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝﹣112x 2+23x+53，铅球推出后最大高度是_____m ，铅球落地时的水平距离是______m.三、解答题17．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-．(1)小球从抛出到落地经过了多少秒？(2)当小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？18．如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：米）与飞行时间t （单位：秒）之间有下列函数关系：h ＝30t ﹣5t 2.依据所给信息，解决下列问题： （1）小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？（2）小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？请直接写出答案： ．（3）小球从飞出到落地要用多少时间（设地面是水平的）？19．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．20．一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m 处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用20.2 3.5y x =-+来描述，那么：（1）球能达到的最大高度是多少？（2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？参考答案：1．C2．C3．D4．D5．B6．A7．C8．B9．410．211．1812．1113．1或514．4s15．2.516． 3 1017．(1)6秒(2)3s ；45m18．（1）小球的飞行高度能达到25米，飞行的时间为1s 或5s ；（2）3s ；（3）6s 19．（1）见解析；（2）()214316y x =--+；（3）达到优秀 20．（1）3.5m ；（2）0.2m ．。
(文章)二次函数在体育运动中的应用
二次函数在体育运动中的应用函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。
特别是在体育运动中的应用更为方便，下面略举几例一、铅球运动例1．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。
分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。
解：根据题意，建立直角坐标系，如图，可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x≤10) ，将(0, )和(10, 0)代入解析式，得由①，得a=-，代入②，得-(10-h)2+3=0去分母，整理得h2+16h-80=0 ，解出h1=-20, h2=4 ，当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合，0≤x≤10的要求，舍去。
当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3即y=-x2+x+(0≤x≤10)。
二、篮球运动例2．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。
（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。
解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，∴设y=a(x-0)2+3.5即y=ax2+3.5，将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5，2.25a=-0.45 ，a=-，∴y=-x2+3.5（2）当x=-2.5时， y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.252.25-1.8-0.25=0.20(m)答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。
生活中二次函数(篮球问题)PPT课件
未来展望与研究方向
跨学科研究
未来可以将数学与其他学科结合 起来，如物理学、生物学等，从 更广泛的视角研究体育运动的规
律和技巧。
高科技应用
随着科技的发展，未来可以利用更 多的传感器和数据分析技术来研究 体育运动的细节和技巧，进一步提 高运动水平。
普及教育和推广
加强数学和体育的普及教育，让更 多的人了解和掌握数学在体育运动 中的应用，促进体育事业的发展。
数学与体育的紧密联系
运动规律描述
数学中的函数和方程可以 用来描述各种运动规律， 如篮球运动中的轨迹、速 度和加速度等。
数据分析和预测
通过数学方法对体育比赛 数据进行处理和分析，可 以预测比赛结果和球员表 现，为决策提供依据。
技术创新和发展
数学在体育技术创新和发 展中发挥了重要作用，如 运动装备的优化、训练方 法的改进等。
球员更好地实现个人和团队的目标。
04 篮球运动中的其他数学问 题
角度与弧度的应用
总结词
在篮球运动中，角度和弧度的概念非常重要，它们涉及到投篮、传球、防守等 各个环节。
详细描述
角度在篮球中主要用于描述投篮的角度、传球的角度等，弧度则用于描述球的 轨迹和旋转程度。通过数学模型和公式，可以计算出最佳的投篮角度和弧度， 从而提高投篮的准确性和效率。
05 结论
二次函数在篮球运动中的重要性
01
02
03
投篮轨迹分析
通过二次函数，可以描述 篮球的投篮轨迹，帮助球 员和教练更好地理解和预 测球的落点。
最佳出手点
利用二次函数的极值性质， 可以找到最佳的投篮出手 点，提高投篮命中率。
训练和比赛策略
基于二次函数的分析，可 以制定更加科学的训练和 比赛策略，提高球队的整 体水平。
二次函数抛球问题
实验中学九年级数学学案
练习平台一、循序渐进
1．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，•上面的A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8m，如图建立直角坐标系，•水流喷出的高度y（m）与水面距离x（m）
之间的函数关系式为y=－x2+2x+4
5
．
（1）求喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）水池的半径至少为多少才能使喷出的水流都落在水池内？
二、拓展提高：
2．“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥（图1），桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，•一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，•已知跨度AB=44m，∠A=45°，AC1=4m，D2的坐标为（－13，－1.69）．求：（1）抛物线D1OD8的解析式；（2）桥架的拱高OH．。
2022年中考数学专题复习：二次函数应用题(投球问题)
2022年中考数学专题复习：二次函数应用题（投球问题）1．手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．(1)求这条抛物线的表达式；(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．2．2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD 为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．k=时，求这条抛物线的解析式．(1)当4k=时，求运动员落水点与点C的距离．(2)当4(3)图中92CE =米，5CF =米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．3．弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为1m 的点A 处抛出弹力球，弹力球在B 处着地后弹起，落至点C 处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为()222y a x =-+．(1)a 的值为______；点B 的横坐标为______；(2)若弹力球在B 处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半． ①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；①求弹力球第二次着地点到点O 的距离；①如果摆放一个底面半径为0.5m ，高0.5m 的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m ，若要甲能投球成功，需将筐沿x 轴向左移动b m ，直接写出b 的取值范围．4．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s ，经过t （s ）时球的高度为h（m ）．已知物体竖直上抛运动中，2012h v t gt =-（0v 表示物体运动上弹开始的速度，g 表示重力系数，取210m /s g =）．(1)写出h （m ）关于t （s ）的二次函数表达式．(2)求球从弹起到最高点需要多少时间，最高点的高度是多少？(3)若球在下落至 3.75m h =处时，遇一夹板（这部分运动的函数图象如图所示），球以遇到夹板时的速度再次向上竖直弹起，然后落回地面．求球从最初10m/s 弹起到落回地面的时间．5．我国铅球运动员巩立姣在2021年8月1日东京奥运会铅球比赛中以20.53米的成绩力压群雄夺得冠军．如图是在她的一次赛前训练中，铅球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间存在的函数关系式是2119512123y x x =-++．求：(1)这次训练中，巩立姣推铅球的成绩是多少米；(2)这次训练中，铅球距离地面的最大高度为多少米．6．如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m （水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面209m ，当篮球运行的水平距离为4m 时达到离地面的最大高度4m ．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m ．(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；。
二次函数的应用4(生活中的抛物线)
20 9 4米
4米 3米
（1）跳得高一点
0
8米
x （2）人向前平移一点
如图，建立平面 直角坐标系， 1 a 点（4，4）是图中这段抛物 9 线的顶点，因此可设这段抛 1 2 物线对应的函数为： y x 4 4 (0≤x≤8) 9 2 y a x 4 4 (0≤x≤8) 20 当x 8时， y 9 20
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
6
y
在出手角度、力度及高度都不变的 情况下，则小明朝着篮球架再向前平移 多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
第48页第5题: 2.在一场足球比赛中，一个球员从
抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高 度为多少时能将篮球投入篮圈?
6
y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
y
O A
x
B
5.现有一座拱桥，桥洞为抛物线型，当水面宽
为14米时，水面距桥洞的拱顶3米。(1)建立如 图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2) 如果水面下降1米，那么此时水面宽多少米？
“球类”运动中二次函数
“球类”运动中的二次函数数学和生活息息相关，数学就在你的身边.“新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动工程中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下.一、跳绳运动中的二次函数例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67my分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标．解：设函数表达式为y =Ax 2+Bx +C ，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得A —B +C =1，A = —1/6， C =1.5，解得B =1/3， 9A +3B +C =1．C =1.5． 所以函数表达式为y = —61x 2+31x +23．当x =1.5时，y =1.625． 答案：B ．二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球工程，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试卷设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解读式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解读式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可.（1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解读式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解读式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解读式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10M.例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．解：⑴设y =Ax 2+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A = —121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +35． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +35=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10M ．⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —121（x 2—8x —20）= —121（x —4）2+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（35+3）×4+21×6×3=1831．三、篮球比赛中的二次函数例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920M ，与篮圈中心的水平距离为7M ，当球出手后水平距离为4M 时到达最大高度4M ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3M ．⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1M 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1M ，那么他能否获得成功？（3）若该队员身高 1.7M ，球出手时距头顶0.3M ，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）分析点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1M 的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，920），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．设二次函数解读式为y =A （x —h ）2+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —91（x —4）2+4．将点C 的坐标代入上式，得左边=右边，即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中． ⑵将x =1代入函数式，得y =3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．四．铅球与二次函数例5某同学推铅球时，铅球行进的路线是抛物线．已知铅球出手时距离地面的高度是1.4M ，铅球行进1.5M 后到达最高点，此时距离地面2M ，问铅球从出手到落地行进的距离是多少M?（结果保留根号）解：依题意，铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A -B -C 这一部分(A 为铅球出手时位置，B 为铅球行进中的最高点，C 为铅球落地时的位置)．以地面为x 轴，过点A 垂直于x 轴的直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线经过点A (0，1.4)，顶点为(1.5，2)，其解读式为y =a (x -1.5)2+2． 把x =0，y =1.4代入得，1.4=2.2a +2．解得a =-415．故y =-415(x -1.5)2+2． 由y =0，得x=1.5±2．所以C(1.5+ 2，0)．OC=1.5+2≈4.2(M)． 2、（07年连云港市）丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，铅球飞行的线路符合抛物线20.1() 2.5y x k =--+，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．解：由题意知，点(016)，在抛物线20.1() 2.5y x k =--+上，所以21.60.1(0)2.5k =--+．解这个方程，得3k =或3k =-（舍去）．所以，该抛物线的解读式为20.1(3) 2.5y x =--+．当0y =时，有20.1(3) 2.50x --+=，解得18x =，22x =-（舍去）． 所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m ．五、以“足球”为背景二次函数应用问题例6、（08吉林省长春市、新疆建设兵团）如图，足球场上守门员在O 处开一高球，球从离地面1M 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6M 的B 出发现球在自己头的图3x(M)x（第2题图）正上方达到最高点M ，距地面4M 高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C 距守门员多少M ？（取34=7）(3)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少M ？（取62=5）分析：（1）由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为（6，4），故可设相应抛物线的解读式为y=a(x －6)2+4，又开出点A （0，1）在抛物线上，故有36a+4=1，解之，得a=－121，故抛物线的解读式为y=－121x 2+x+1， （2）欲求足球落地点到守门员C 的水平距离，即求当y=0时与x 轴交点的横坐标.因而有－121x 2+x+1=0，解之得x 1=6－43，（舍去）x 2=6+43，所以足球第一次落地点C 距守门员6+43≈13M.（3）因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，故可设抛物线的解读式为y=－121(x －k )2+2又点（6+43，0）在抛物线上，所以k=6+43+26，根据抛物线的对称性，运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑CD=2×（6+43+26－6－43）=46≈10M.例7 为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员距离门12M 处挑射，正好射中了2.4M 高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y =ax 2+bx +c ，如图所示，则下列结论⑴a ＜-160；⑵-160＜a ＜0；⑶a -b +c ＞0；⑷0＜b ＜-12a ，其中正确的是()A ．⑴⑶B ．⑴⑷C ．⑵⑶D ．⑵⑷解：把点(0，2.4)、(12，0)代入解读式得c =2.4，b =-12a -0.2． 故b ＜-12a ．又抛物线开口向下，故a ＜0．且对称轴x =-2ba＞0，故b ＞0．即0＜b ＜-12a ， 因此⑷正确．又因144a +12b =-2.4且b ＞0，故144a ＜-2.4．因此a ＜-160，因此⑴正确． 因此，应选B ．六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题 例8、（山西省）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s(M)与其地面高度h(M)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23如图，已知球网AB 距原点5M ，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为49M ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是_____.分析：此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数的应用问题，本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(M)与其地面高度h(M)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23，我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为49M 刚刚触及羽毛球时，乙对应的横坐标值.列方程得2121m -+m 32+23=49，解得m 1=74-，m 2=74+，根据二次函数h=2121m -+m 32+23在对称轴m=4的右侧h 随m 得增大而减小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度”所以m<74+，另一方面乙站在球网的右则因而m> 5故m 的取值范围为5<m<74+点评：数学和生活息息相关，数学就在你的身边，数学与日常生活、自然、社会、和科学技术有着密切的联系，数学在现实生活中有着广泛的应用，就连大家平时喜爱的体育运动都蕴含着许多数学道理．练习1.某跳水运动员进行10M 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O 的一条抛物线。
二次函数的应用于娱乐业问题
二次函数的应用于娱乐业问题二次函数是高中数学中的一种重要的函数类型，它在数学中的应用非常广泛。
在娱乐业中，二次函数也扮演着重要的角色。
本文将通过几个具体例子，探讨二次函数在娱乐业中的应用问题。
1. 投篮游戏中的二次函数投篮游戏是娱乐场所中常见的一种游戏，我们可以通过二次函数来分析投篮得分的情况。
假设一个投篮游戏中，篮筐的位置为坐标系原点，投篮点的位置为(x, y)，则二次函数可以表示为 y = ax^2 + bx + c。
其中，a，b，c为常数，代表篮球抛物线的形状及位置。
我们可以通过研究二次函数的顶点，来分析投篮的最佳角度和最佳位置。
顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)代表二次函数的值。
在投篮游戏中，我们可以根据顶点坐标来设计合适的篮筐位置和投篮点的距离，以提高游戏的趣味性和挑战性。
2. 过山车游戏中的二次函数过山车游戏是娱乐场所中备受欢迎的一种项目。
在设计过山车的轨道时，二次函数可以用来描述过山车的高度变化。
假设过山车的轨道为一条对称的抛物线，则高度可以用二次函数来表示。
我们可以通过研究二次函数的顶点和开口方向，来设计过山车轨道的起始高度、最高点高度以及快速变化的地方。
通过合理运用二次函数，可以给游客带来惊险刺激又安全可靠的过山车体验。
3. 售票系统中的二次函数娱乐场所中的售票系统也可以应用二次函数。
假设某个娱乐场所的门票价格为p(x)，其中x表示购票数量。
我们可以使用二次函数来描述门票价格的变化规律。
通过研究二次函数的开口方向和具体参数，可以制定出合理的门票定价策略。
例如，当游客购票数量较少时，可以提供折扣，吸引更多的游客购买；当购票数量较多时，可以适当调高价格，以增加收益。
二次函数的应用可以使售票系统更加灵活，同时也能帮助娱乐场所实现经济效益的最大化。
总结：二次函数在娱乐业中有着广泛的应用。
通过合理运用二次函数，可以设计出更有趣、更具挑战性的娱乐项目，提高游客的体验；同时，也可以通过二次函数来制定合理的门票定价策略，实现经济效益的最大化。
高中数学一道经典二次函数抛物线题的解析
高中数学一道经典二次函数抛物线题的解析
今天本店铺今天为大家整理了高中数学一道经典二次函数抛物线题的解析，快来学习吧！
一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时，达到最大高度4m（B处），设篮球运行的路线为抛物线。
篮筐距地面3m.
①问此球能否投中？
②此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为
3.19m,他如何做才能盖帽成功？
其中第2个问题中，由y=3.19可求得x=1.3m或x=6.7m.
这个问题至此一般就结束了，可按照篮球规则应该舍去x=6.7m 这个解，因为它不符合实际意义。
在篮球规则中，投篮后篮球处于下降阶段时，如果防守队员触到篮球，则判为干扰球，判进攻方得分。
所以，在这个位置盖帽不能算盖帽成功。
今天本店铺就和大家分享到这，希望这篇文章对大家有用，更多内容请关注本店铺。
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二次函数投球问题（期末22）
1在一次篮球比赛中,运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮,如图所示,球运行3的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05米
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)运动员小涛的身高是1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手问:球出手时,小涛跳离地面的高度是多少?
2某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面209m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地3m
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
3小明在一次羽毛球比赛中,羽毛球飞行的路线为如图所示抛物线的一部分,小明在O 点正上方1m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)
之间满足函数表达式y=−1
24（x-4)2+h (1)直接写出h 的值
(2)求羽毛球落地点与O 点的水平距离;
(3)若距离点O 的水平距离为5m 的点B 处,有一球网BC,且高度为1.55m 通过计算请你判断此球能否过网?
4如图,某排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+2.6.已知网球与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m
(1)求y与x的关系式;
(2)球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由。