二次函数交点式公式
二次函数交点式例题
二次函数交点式例题
交点式也叫恒等式，是应用于函数的数学技巧。
它可以用来求解两个函数的交点。
交点式应用于二次函数，即可以解出两个二次函数的交点。
其中，二次函数是由一个方程式组成的，形式为：
y = ax2 + bx + c
其中，a, b, c为实数，a 0 。
以下为用于二次函数交点式的例题：
例 1：求下列两个二次函数的交点：
y1 = x2 + 2x + 4
y2 = x2 - 2x + 1
解：
根据交点式，可得方程组：
x2 + 2x + 4 = x2 - 2x + 1
解得：
x = -1
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1)。
例2：求下列两个二次函数的交点：
y1 = 6x2 + 3x + 2
y2 = 2x2 - x + 3
解：
根据交点式，可得方程组：
6x2 + 3x + 2 = 2x2 - x + 3
解得：
x = -1/2
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1/2)。
以上就是关于二次函数交点式的例题及解答，还有其他更多的例题和解法，需要通过观察、思考、实际操作等实践方式来掌握，相信只要同学们认真做习题，学习数学将会变得更加轻松。
此外，交点式还可以用于求解更复杂的函数，比如3次函数、4次函数等，为学习者提供了更多的可能性。
它还能够帮助我们理解函数中的极值点、凹点、波峰点、局部最大值等概念，可以说是学习数学的重要工具。
通过以上内容，希望同学们可以更好地掌握交点式，积极参与数学课堂，加深对数学的掌握。
九年级数学 二次函数顶点公式
二次函数顶点公式对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A( ,0)和B( ,0)，其中的 , 是一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=| - |.当△=0,图象与x轴只有一个交点；当△<0,图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．二次函数顶点坐标公式及推导过程二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)2二次函数的其他表达式交点式[仅限于与x轴即y=0有交点时抛物线，即b2-4ac≥0] a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式一般地 ,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a ,b ,c为常数 ,a0) ,那么称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a ,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a ,h ,k为常数 ,a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2) ,其中x1 ,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标 ,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根 ,a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k ,抛物线的顶点坐标是(h ,k) ,h=0时 ,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时 ,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时 ,抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时 ,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时 ,根据二次三项式的分解公式
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ,二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式
y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次元函数的所有公式方程
二次元函数的所有公式方程I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2;的图象，可以看出，二次函数的图象是一条抛物线二次元公式只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程有5种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、图象法。
公式法不能解没有实数根的方程（也就是b²-4ac<0的方程），其它所有一元二次方程都能解。
因式分解法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。
配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。
成立条件：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
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一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a≠0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数交点式对称轴公式
二次函数交点式对称轴公式二次函数是数学中常见的一种函数类型，其特点是含有二次项的多项式函数。
在解析几何中，二次函数的图像是一个抛物线，它可以打开向上或向下，并且具有一个对称轴。
交点式是二次函数的一种常见表现形式，它使用函数与直线的交点来描述二次函数的性质。
而对称轴则是二次函数图像的一条特殊线，具有对称性质，可以帮助我们更好地理解和分析二次函数。
二次函数的交点式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
这个式子描述了一个关于x的二次方程，通过求解x与y轴的交点，我们可以得到二次函数的零点，即二次方程的解。
而二次函数的对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。
这个公式告诉我们，二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其横坐标x的值等于二次函数中一次项系数b的相反数除以二次项系数a的两倍。
对称轴是二次函数图像的特殊线段，具有对称性质。
对称轴将二次函数图像分成两部分，左右两部分关于对称轴对称。
这意味着，如果我们在对称轴上选择一个点A，那么与点A关于对称轴的另一个点B，它们的纵坐标y的值相等。
对称轴还有一个重要的性质，即二次函数的顶点位于对称轴上。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是抛物线的拐点。
通过对称轴的横坐标和纵坐标，我们可以求得二次函数的顶点坐标。
二次函数的交点式和对称轴公式是解析几何中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析二次函数。
通过交点式，我们可以求得二次函数的零点，从而解决实际问题中的方程。
而对称轴则可以帮助我们确定二次函数图像的形状和性质，从而更好地理解二次函数的行为。
例如，我们可以通过交点式求解二次方程的解，进而得到二次函数与x轴的交点。
这些交点可以帮助我们确定二次函数的零点，也就是函数取零的x值。
而对称轴公式可以帮助我们确定二次函数图像的形状。
通过计算对称轴的横坐标，我们可以确定抛物线的对称轴在x轴上的位置。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
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二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：〔1〕一般式：y=ax2+bx+c 〔a，b，c为常数，a0〕，那么称y为x的二次函数。
顶点坐标〔-b/2a，〔4ac-b^2〕/4a〕〔2〕顶点式：y=a〔x-h〕2+k或y=a〔x+m〕^2+k〔a，h，k 为常数，a0〕。
〔3〕交点式〔与x轴〕：y=a〔x-x1〕〔x-x2〕
〔4〕两根式：y=a〔x-x1〕〔x-x2〕，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
〔1〕任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a
〔x-h〕2+k，抛物线的顶点坐标是〔h，k〕，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a〔x-h〕2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
〔2〕当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a〔x-x1〕〔x-x2〕，二次函数y=ax2+bx+c 可转化为两根式y=a〔x-x1〕〔x-x2〕。
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二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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已知两交点求二次函数解析式
二次函数交点式怎么求解析式
二次函数交点式为：y=a（x-x1）（x-x2），这里与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）还需要知道第三点即可求解。
举例如下：
已知二次函数与x轴的交点为（1，0）（2，0），以及函数图像像一点（4，1 2），求解析式。
解：设二次函数解析式为y=a（x-1）（x-2），则
12=a（4-1）（4-2）
12=a×3×2
12=6a
解得：a=2
故，函数解析式为：y=2（x-1）（x-2）。
顶点决定抛物线的位置，几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
扩展资料：
交点式：y=a(X-x1)(X-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx +c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1，X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。