二次函数专题讲解
二次函数知识点总结与典型例题讲解
二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的性质1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
二次函数中考题型讲解
二次函数中考题型讲解在中考数学中，二次函数是一个重要的考点，其涉及的知识点和题型都相当丰富。
二次函数中考题型讲解如下：一、求二次函数的表达式这一题型可以通过待定系数法或者平移法来解决。
例如，已知一个二次函数通过两个点，就可以设出二次函数的一般形式，再代入点的坐标来求解系数。
如果知道抛物线的顶点或者对称轴，也可以通过平移法来写出函数表达式。
二、求二次函数的顶点、对称轴和最值对于这一题型，需要掌握二次函数的性质，如顶点的坐标公式、对称轴的公式以及开口方向的判断等。
根据这些性质，可以方便地找到函数的顶点、对称轴，并求出函数的最值。
三、求二次函数与坐标轴的交点解决这一题型，可以通过令y=0然后解方程来找到与x轴的交点，令x=0找到与y轴的交点。
也可以通过判断抛物线与x轴的交点个数，利用判别式来判断。
四、求二次函数与一次函数的交点解决这一题型，可以先将两个函数联立，然后解方程组找到交点的坐标。
也可以分别求出两个函数的解析式，然后令两个解析式相等，解出x的值即为交点的横坐标。
五、求三角形的面积在二次函数中求三角形的面积是一个常见题型。
可以通过找到三角形的一边以及这边上的高，然后使用面积公式计算。
也可以通过找到三角形的三个顶点坐标，然后使用公式计算。
六、求抛物线上点的坐标对于这一题型，可以通过代入法或者作图法来解决。
代入法是将x的值代入到函数中求出y的值，作图法是通过观察图像的特点找到满足条件的点。
七、判断抛物线的开口方向以及与坐标轴的交点个数解决这一题型，可以通过观察抛物线的开口方向以及判别式的值来判断抛物线与坐标轴的交点个数。
如果抛物线向上开口且判别式大于0，那么抛物线与x 轴有两个不同的交点；如果抛物线向下开口且判别式大于0，那么抛物线与x轴有一个交点；如果抛物线向下开口且判别式小于等于0，那么抛物线与x轴没有交点。
以上就是中考数学中常见的二次函数题型以及解决方法。
在备考过程中，建议多做真题，熟悉题型和解题方法，提高解题速度和准确性。
《二次函数》数学教学PPT课件(4篇)
×
知1－讲
(2) y＝－5x2
解：
二次项系数
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
二次项系数
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，
常数项
一次项系数
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，
一次项系数为－21，常数项为30.（来自《点拨》）
知1－练
值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
两年后的产量
y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
知1－导
思考：函数y=6x2，m＝
1
2
n2－ 1 n,
2
y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
可以发现
1、函数解析式是整式；
2、化简后自变量的最高次数是2；
3、二次项系数不为0.
知1－讲
定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
(6)y＝x2＋
.
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1
(2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2
(3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3
(4)y＝x－2＋x； x－2不是整式
×
√
×
×
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
2－21x＋30，是二次函数 √
整理得到y＝3x
1
1
2
(6)y＝x ＋ x 2
a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变
量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
二次函数复习讲义
AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解（一）解析式的获取问题 1. 列取例1：正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE=AF ，设⊿AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取值范围。
例2：某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可售出20件。
现需降价处理，经过市场调查：每件服装每降价2元，每天可多售出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，确定y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
例3：如图，在⊿ABC 中，∠B=900，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动（不与点C 重合）。
假设P 、O 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式，并确定自变量的取值范围；⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由。
练：1.在半径为4米的圆中，挖一个半径为xcm 的圆，剩下的圆环面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价，若设平均每次的降价率为x ，该药品的原价为18元，降价后的药价为y 元，则y 与x 的函数关系式为 。
3.如图，一矩形场地，两边长分别是80m 、60m ，先欲在场地内修两条宽为xm 的小路，剩余局部的面积为ym 2，则y 与x 之间的关系式为 。
4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD 。
花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成。
如下列图，若设花园BC 边的边长为xm ，花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ；自变量的取值范围为 。
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
2024年中考冲刺二次函数相关的新定义问题专题讲解
2024年中考冲刺二次函数相关的新定义问题专题讲解1.在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看k ，二次函数看对称轴与区间的位置关系； 第二步：当a x =时，min y y =；当b x =时，max y y =；所以max min y y y ≤≤.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。
（1）若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处abx 2−=时，取到最值. （2）若abn x m 2−<≤≤，如图②，当m x =时，max y y =；当n x =时，min y y =. （3）若n x m ab≤≤<−2，如图③，当m x =，min y y =；当n x =，max y y =. （4）若n x m ≤≤，且n abm ≤−≤2，m a b a b n −−>+22，如图④，当a b x 2−=，min y y =；当n x =，max y y =.2．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为；②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为．（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和+＝﹣1且求k的值；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．。
初中数学《二次函数》8种求法讲解
01定义型此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足两个条件：1、a≠0；2、x的最高次数为2次．例1、若是二次函数，则m =.解：由m2+ m≠0得:m≠0，且m≠-1由m2–2m–1=2得m=-1或m=3，∴m=3 .02开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一。
例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足中的y=ax2+bx+c中的C=3，且a≠0即可∴y=x2+x+3（注：答案不唯一）03平移型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x–h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中。
04一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；例4、图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5），求二次函数的解析式：解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意得：05顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k．这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x = h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数；例5、图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）求二次函数的解析式：06两根式已知图像与x轴交于不同的两点(x1,0),(x2,0)，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．07翻折型（对称性）已知一个二次函数y=ax2+bx+c，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x–h)2 + k的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．08数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．。
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二次函数专题讲解一、知识综述：1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数， a 0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数2. 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成： y a x h 2 k 的形式，其中 h b ，k 4ac b 2a3. 求抛物线的顶点、对称轴的方法y a x h 2 k 的形式，得到顶点为 （ h , k ） ，对称轴是直线 x h .4. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ① y⑤ y ax 2 bx c . 它们的图像特征如下：开口大小与｜ a ｜成反比，｜ a ｜越大，开口越小；｜ a ｜越小，开口越大。
5. 用待定系数法求二次函数的解析式1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 x x 2 .6. 二次函数图象的平移左加右减（对 X ），上加下减（对 Y ）。
二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念4a1)公式法： y ax 2 bx c a x b22 2b 4ac b2，∴顶点是（ 2ba ，4ac4a b 2 ），对称轴是直线2a 4ax2a2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2 2 2 2ax 2 ；② y a x 2k ；③y a x h 2 ；④ ya x h 2 k ；2例1：如果函数y （m 3）x m2 3m 2mx 1是二次函数，那么m的值为考点二：二次函数的图象例2（2016 年广东省广州市）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标2）选取适当的数据填入下表，并在图7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy3）若该抛物线上两点112212 1 2例 3 （2016 年安徽省芜湖市）二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，反比例函数y＝x a与正比例函数y＝（b＋c）xx例 4 （2016 年兰州市）抛物线y x bx c图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，2y x 2x 3，则b、c 的值为（）A . b=2 ，c=2 B. b=2 ，c=0 C . b= -2 ，c=-1 D. b= -3 ，c=2例5.（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，?观察图像写出y2≥y1时，x 的取值范围_______ ．变式训练：A ．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位B ．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C ．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D ．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 考点三：确定二次函数的解析式12x 2 bx c 的图象经过 A （2，0）、B （0，－6）两点。
242 ）∵该抛物线对称轴为直线 x 41 2 （ ）2∴点 C 的坐标为( 4， 0)∴AC OC OA 4 2 2 11AC OB 2 6 6 22变式训练 ：考点四：最值问题cm ，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式 .并求出 CQ 的最大值。
（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 连结 BA 、 BC ，求△ ABC 的面积。
C ， 解：（1）把 A （2，0）、B （0，－ 6）代入 y 1x 2bx c 2得：2 2b c 0 解得c6 b4c6x∴这个二次函数的解析式为y 1x 24x 62例 6 ：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于 C 点。
点例 4：（ 2016 年宁波市）如图，已知二次函数 y∴ S ABC1、已知：函数 y ax 2 bx c 的图象如图：那么函数解析式为（2A ) y x 2 2x 3B ) y x 2 2x 3C ) yx 22x 3D ) y2x 2x 3例 5：矩形 ABCD 的边 AB =6 cm ， BC =8 cm ，在 BC 上取一点 P ，在 CD 边上取一点Q ，使∠ APQ 成直角，设 BP =x cm ， CQ =y3A,C 的坐标分别是（-1,0）,（0, ）2（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。
变式训练：1、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是 ______ c m。
2、如图，在Rt⊿ABC中，∠ C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥ AC，DF⊥ BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y 的代数式表示AE；（2）求y 与x之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x 之间的函数关系，并求出S的最大值．考点五：以二次函数为基架的综合题例7 ：某超市经销一种销售成本为每件40 元的商品。
据市场调查分析，如果按每件50 元销售，一周能售出500 件，若销售单价每涨 1 元，每周的销售量就减少10 件。
设销售单价为每件x 元（x≥50）,一周的销售量为y 件。
（1）写出y与x的函数关系式；（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为s，写出s 与x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？变式训练：某商店经销一种销售成本为每件40 元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210 件；销售单价每涨1 元，则每个月少卖10 件．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？3三、课堂练习21．已知二次函数 y a （x 1）2 b 有最小值 –1，则 a 与 b 之间的大小关系是6．求下列函数的最大值或最小值．22（1） yx 2 2x ； （ 2） y 2x 2 2x 1．7．已知二次函数 y x 2 6x m 的最小值为 1，求 m 的值．8．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x （单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x 2 2.6x 43（0 x 30） ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？9．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m ），围成中 2间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 A B 为x m ，面积为 S m 2．A ．a <bB ．a=b C．a > b D 22．（长沙）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像如图所．不能确定?则下列关系式不正确的是（ A ． a<0B ． abc>0C ．a+b+c<02D ．b 2－3．（2008，威海）已知二次函数 2y=ax 2+bx+c 的图像过点 A （1，2），B （3，2），C （ 5，点 M （－2，y 1），N （－ 1， y 2），K （ 8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像上，则下列 结论中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 24．如图所示，抛物线的函数表达式是（）2 2 2 2A ． y=x 2－x+2B ．y=－x 2－x+2C ． y=x 2+x+2D ．y=－x 2+x+225．（，泰安）在同一直角坐标系中，函数 y =mx+m 和 y=－ mx 2+2x+2 （ m 是常数， ?且 m ≠0）图像可能是（ ）1）求S与x 的函数关系式；22）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥ AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=E．F（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿ AGE与⊿ CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S的最小值．1．9 米，当球飞行距离为11．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面达最大高度5．5 米，已知球场长18 米，问这样发球是否会直接把球打出边线？12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？2.5m 时，达到最大13．如图，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？。