二次函数解析式专题训练
求二次函数解析式-综合题-练习+答案
求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。
(完整版)求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式 专题练习题姓名： 班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和D(4，－)，求抛物线的解析式．232．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM 的解析式；(3)求△MCB 的面积．3．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式． 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x … －4 －3 －2 －10 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝－.12(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．答案:1. 解：y ＝x 2－x －216132. 解：(1)y ＝－x 2＋4x ＋5(2)y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，则M 点坐标为(2，9)，可求直线MC 的解析式为y ＝2x ＋5(3)把y ＝0代入y ＝2x ＋5得2x ＋5＝0，解得x ＝－，则E 点坐标为(－，0)，5252把y ＝0代入y ＝－x 2＋4x ＋5得－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则B 点坐标为(5，0)，所以S △MCB ＝S △MBE －S △CBE ＝××9－××5＝1512152121523. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y ＝x ＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y ＝a(x －1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a ＝－1，故函数解析式是y ＝－(x －1)2＋2，即y ＝－x 2＋2x ＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y ＝a(x ＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝－x 2－2x ＋3 (2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3(2)由(1)可知y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，则y 的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M 都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x ＝－1，在x 轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，把(－2，－6)代入得a ·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a ＝2，所以抛物线解析式为y ＝2(x ＋3)(x －1)，即y ＝2x 2＋4x －68. (1) 2 0(2)(－1，－1) (3)＝22＋32139. y ＝－x 2＋2x ＋310. 解：(1)y ＝－x 2－x ＋31212(2)由y ＝0得－(x ＋)2＋＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3，1212258∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得OC2＋OB2222BC＝3，∴BM＝3，∴M点坐标(3－3，0)．2综上所述，M点坐标为(3－3，0)或(0，0)。
二次函数解析式的求法专题
二次函数解析式的求法专题1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．2.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．7.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．2（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．，0）三点，求这个二次9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（12函数的解析式．10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），×9×（4+2）=27．所以△ABC的面积=12【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）×（5+1）×9=27．所以△MAB的面积=12【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．3.【答案】解；（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．【解析】（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．4.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把（3，1）代入得：a+3=1，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．【解析】根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，，解得a=-19（x+2）2+2．所以这个函数的关系式为y=-19【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），×（3-1）×3=3．所以△ABC的面积=12【解析】（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7.【答案】解：（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-12x2+bx+c得{c=−6−2+2b+c=0，解得{c=−6b=4，所以抛物线解析式为y=-12x2+4x-6，∵y=-12（x-4）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=4，（2）y=-12x2-6．【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】解：（1）由题意，得 {a −b +c =−4c =−2a +b +c =2，解这个方程组，得 a =1，b =3，c =-2，所以，这个二次函数的解析式是y =x 2+3x -2；（2）y =x 2+3x -2=（x +32）2-174，顶点坐标为（-32，-174），对称轴是直线x =-32．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：设抛物线解析式为y =a （x +2）（x -12）， 把（0，-1）代入得a •2•（-12）=-1，解得a =1．所以抛物线解析式为y =（x +2）（x -12），即y =x 2+32x -1．【解析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a （x+2）（x-），然后把（0，-1）代入求出a 的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，，把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-13所以抛物线解析式为y=-1（x-3）2-1，3（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，（2）y=-4时，-13所以当0＜x＜6时，y＞-4．【解析】（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．第11页，共11页。
二次函数的解析式(含答案)
二次函数的解析式一、选择题2.（2011泰安，20，3分）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：则当x＝1时，y的值为（）A．5 B．－3 C．－13 D．－27解答：解：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵h＝－3，k＝5，∴y＝a(x＋3)2＋5，把（－2，3）代入得，a＝－2，∴二次函数的解析式为y＝－2(x＋3)2＋5，当x＝1时，y＝－27．故选D．3.（2011福建莆田，5，4分）抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位故选B．4.（2011天水，7，4）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A、y=（x+1）2+4B、y=（x﹣1）2+4C、y=（x+1）2+2D、y=（x﹣1）2+2故选D．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．5.（2011•包头，12，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（）A、4或﹣30B、﹣30C、4D、6或﹣20分析：由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a （x ﹣1）2+15，只需求出a 即可，又与x 轴交点横坐标的平方和为15﹣a ，可求出a ，所以可求出解析式得到b 的值． 解答：解：由题可设抛物线与x 轴的交点为（ 1﹣t ，0），（ 1+t ，0），其中t ＞0， ∵两个交点的横坐标的平方和等于15﹣a 即：（1﹣t ）2+（1+t ）2=15﹣a ， 可得t=213a -，由顶点为（1，15），可设解析式为：y=a （x ﹣1）2+15， 将（1﹣213a-，0）代入可得a=﹣2或15（不合题意，舍去） ∴y=﹣2（x ﹣1）2+15=﹣2x 2+4x+13，∴b=4．故选C ． 三、解答题1. （2010广东佛山，21，8分）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A （﹣1，﹣1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图象．解答解：（1）根据题意，得123a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得，122a c c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求的解析式是y =﹣x 2+2x +2；（2）二次函数的图象如图所示：。
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式专题练习题姓名：班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B和D(4，－23 )，求抛物线的解析式．2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．3．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．2x …－4 －3 －2 －1 0 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－1 2 .(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．答案:1. 解：y＝16x2－13x－22. 解：(1)y＝－x2＋4x＋5(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，则M点坐标为(2，9)，可求直线MC的解析式为y＝2x＋5(3)把y＝0代入y＝2x＋5得2x＋5＝0，解得x＝－52，则E点坐标为(－52，0)，把y＝0代入y＝－x2＋4x＋5得－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，则B点坐标为(5，0)，所以S△MCB ＝S△MBE－S△CBE＝12×152×9－12×152×5＝153. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y＝x＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y＝a(x－1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a＝－1，故函数解析式是y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y＝a(x＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x －3)，即y＝x2－2x－3(2)由(1)可知y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则y的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－68. (1) 2 0(2)(－1，－1)(3)由平移知两个图象顶点之间的距离＝22＋32＝139. y＝－x2＋2x＋310. 解：(1)y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)．综上所述，M点坐标为(32－3，0)或(0，0)。
中考数学复习《二次函数》求解析式专题(含答案)
2019年中考复习《二次函数》求解析式专题训练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；第1题图3. 在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；图①4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3.（1）求抛物线的解析式；第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F .（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；7. 如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1，0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3，0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；图①8.如图①，关于x 的二次函数y = -x 2+bx +c 经过点A (-3，0)，点C (0，3)，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；图①9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M .（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；第4题图10.如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1，0)、B (4，0)、C (0，3)三点.（1）求抛物线的解析式；图①11. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；12.已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，-4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式；15.如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.第1题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），解得⎩⎨⎧==3-4c b ， ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0，则y =3，∴点C （0，3），又∵点A (3，0)，∴直线AC 的解析式为y = -x +3，设点P （x ，x 2-4x +3），∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ，-x +3)，∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49， ∵a =-1<0，∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. 3.解：（1）对于直线y =x +4，令x =0，得y ＝4，令y =0，得x =-4，则A (-4，0)，C (0，4)，代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b ， 解得⎩⎨⎧==4-1c b ， ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. 4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，-1)，C 的坐标为(4，3)， ∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴，又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴，∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ，解得⎩⎨⎧==-12c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1. 5.解：（1）∵OA =2，∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3，∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎩⎨⎧=+=c c b 32--20， 解得⎩⎨⎧==312c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0)，将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ，∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x +2. 7.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、B (1，0)，∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ，，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ， ∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.8.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ，解得⎩⎨⎧==3-2c b . ∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.9.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)，∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4， ∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ， ∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ，∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ，∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ，∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图① 将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ，∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. 10.解：（1）∵点A （1，0），B （4，0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0，3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43， ∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)， 即y =43x 2-415x+3. 11. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ，解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- ， 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. 12.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. 13.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.14.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m1 (2+2)(2-m )， ∴m =4.(2)①y =0，- m 1 (x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2，x 2=m ，∵m ＞0，∴A (-2，0)、B (m ，0)，又∵m =4，∴AB =6.令x =0，得y =2，∴C (0，2)，∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝6.第1题解图① ②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知， 此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ，∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23，∴H (1， 23).。
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)ok
求二次函数解析式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 2 …y …﹣1 1 11 …6．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B （2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l 的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得12．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为 y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，22根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），47．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（ l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC•x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC•OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC=AB•h=×3×2=3。
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二次函数解析式专题训练
一、填空
（1）一般式：_______________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
（3）交点式：_______________ (a≠0)
（4）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式
y＝_______________ (a≠0)形式。
（5）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 y＝_______________ (a≠0)形式。
（6）当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 y＝a_______________ (a≠0)。
二、解答
根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点 A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
（2）已知抛物线顶点 P(－1，－8)，且过点 A(0，－6)；
（3）二次函数图象经过点 A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当 x=3 时有最大值 4；
（5）已知二次函数的图象经过一次函数 y＝—x+3 的图象与 x 轴、轴的交点， y 且过(1， 2)
（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与 x 轴的两交点间的距离为 8；
（7）如图所示，、已知抛物线的对称轴是直线 x=3，它与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A、C
的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。
三、拓展升华
1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是 _______________。
2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。
3、已知二次函数 y＝x2＋px＋q 的图象的顶点是
(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________。
4、已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线 x ＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。
5、已知二次函数图象与 x 轴交点（2,0）(-1,0)与 y 轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。
6、已知抛物线 y= ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，它们的横坐标为-1 和 3，与 y 轴的交点 C 的纵坐标为 3，那么这个二次函数的解析式是_______________。
7、已知直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，二次函数的图象经过 A、B 两点，且对称轴方程为 x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。
8、已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。
9、在平面直角坐标系中， AOB 的位置如图所示，已知
∠AOB＝90°，AO＝BO，点 A 的坐标为（－3,1）。
（1）求点 B 的坐标。
（2）求过 A，O，B 三点的抛物线的解析式；
（3）设点 B 关于抛物线的对称轴的对称点为 B1，求Δ AB1B 的面积。