(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

1．圆心的确定

因为洛伦兹力F 指向圆心，根据F⊥v ，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v 的方向再确定F 的方向，沿两个洛伦兹力F 的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1 所示。

2．半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2 倍，如图

2 所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′ =180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由

表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，

转过的圆心角越大，所用时间t 越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析

①穿过矩形磁场区：如图3 所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sin θ=L/ R 求出；（θ、L 和R 见图标）

b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y 见所图标）

c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4 所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r 和R 见图标）

b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析

1．给定有界磁场

1 ）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它

【例1】（2001 年江苏省高考试题）如图5 所示，在y<0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0 从O点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场时的位置与O点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比

q/m。

解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图6 所示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l ，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x 轴的夹角仍为θ。由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，

，（式中R为圆轨道的半径）

解得

R=m0v/qB①

圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得

l/ 2=Rsin θ②

联立①、②两式，解得

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射点和出射点，求该粒子的电量和质量之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。在处理这类问题时重点是画出轨迹图，根据几何关系确定轨迹半径。

（2）确定入射速度的方向，而大小变化，判定粒子的出射范围

【例2】如图7 所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2 。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从 d 点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，

得

由此得 R=mv/qB ，代入数值得 R=10cm 。

R 2=5L/ 4，再由 R 2=mv 2/eB ，得

电子速率 v 的取值范围为：

点评 ：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向， 由于入射速度的大小发 生改变， 从而改变了该粒子运动轨迹半径， 导致粒子的出射点位置变化。 在处理这类问题时 重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图， 再根据几何关系确定对应的轨迹半径， 最后求解临 界状态的速率。

3）确定入射速度的大小，而方向变化，判定粒子的出射范围

【例 3】（2004 年广东省高考试题）如图 8 所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂 直于纸面向里，磁感应强度的大小 B=0． 60T ，磁场内有一块平面感光板 ab ，板面与磁场方

向平行，在距 ab 的距离 l= 16cm 处，有一个点状的α放射源 S ，它向各个方向发射α粒子， α粒子的速度都是 v=3． 0× 106m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比

q/m=5． 0× 107C/kg ，现 只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求 ab 上被α粒子打中的区域的长度。

解析 ：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用

2 有 qvB=mv/R ，

当速率最大时，粒子恰好从

R 表示轨道半径，

c 点射出，由图可知其半径

可见，2R>l>R，如图9 所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，

某一圆轨迹在图中N左侧与ab 相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd 于Q点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P1。

，

再考虑N 的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R 为半径、S为

圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。

由图中几何关系得

，

所求长度为P1P2=NP1+NP2，

代入数值得P1P2=20cm。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。

2．给定动态有界磁场

（1 ）确定入射速度的大小和方向，判定粒子出射点的位置

【例4】（2006年天津市理综试题）在以坐标原点O为圆心、半径为r 的圆形区域内，

存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10 所示。一个不计重力

的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A处以速度v 沿-x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿+y 方向飞出。