人教版高中数学必修二1.3空间几何体的表面积与体积复习课教学课件 (共18张PPT)
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高二数学必修2 空间几何体的表面积和体积PPT精选文档
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形
组成． S
解：先求ABC的面积，过点作 SDB，C
交BC于点D．
A
因为BC=a，SDSBsin60 3a 2
BD
C 所以：S ABC 1 2BC SD 1 2a2 3a4 3a2
因此，四面体S-ABC 的表面积
S 4 3 a2 4 4/16/2021 9:12:19 PM 云在漫步
2、对应的面积公式
S正三棱锥＝ 侧12ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正棱台 ＝ 侧 1 2 （ c＋ c')h' S圆台侧=π（r1+r2)l
C’=C
S直棱柱 ＝ c侧h'. ch
r1=r2 S圆柱侧=28 2πrl
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台S(r2r2rlr)l
3a2.
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
.
S正棱台 ＝侧 12（ 13 cc')h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面 S 积 侧 S上 底 S下底
例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积 为 ______;
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 叫正棱台
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形
组成． S
解：先求ABC的面积，过点作 SDB，C
交BC于点D．
A
因为BC=a，SDSBsin60 3a 2
BD
C 所以：S ABC 1 2BC SD 1 2a2 3a4 3a2
因此，四面体S-ABC 的表面积
S 4 3 a2 4 4/16/2021 9:12:19 PM 云在漫步
2、对应的面积公式
S正三棱锥＝ 侧12ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正棱台 ＝ 侧 1 2 （ c＋ c')h' S圆台侧=π（r1+r2)l
C’=C
S直棱柱 ＝ c侧h'. ch
r1=r2 S圆柱侧=28 2πrl
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台S(r2r2rlr)l
3a2.
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
.
S正棱台 ＝侧 12（ 13 cc')h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面 S 积 侧 S上 底 S下底
例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积 为 ______;
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 叫正棱台
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题 的解决，并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形 底面为圆形，侧面为矩形 表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和 概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算 球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较，如相等则问题解决；如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不 可或缺的一部分。
【人教A版】高中数学必修二：1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积和体积》ppt课件.pptx
三表棱面柱积的为高为32，4 则2底 2面等1 边 4三角2 形3 的 2边4 长 8为34，所以该正三棱柱的
答案：C
2
已知棱长为,各面a 均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作，SD BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
3.一个圆台的上、下底面面积分别是1和c4m92 ， 一个cm平2 行底面的截面面积为25则这个截面cm与2
上、下底面的距离之比是
A
A.2:1B.3:1C2.:1D.:1 3
4.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且 面积为S，则圆锥的底面面积___S___.
2
作业精选巩固提高
5.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称 主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图 （或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
h
D
S C
B
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V 1 h[Sh (S S' ) 3
S'
]
1 [S
S S' 3
SS' S' ]h
典型例题
• 例3（1）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那 么圆锥被分成的三部分的体积的比是
A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27
• A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8
解：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的 面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这 样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为 1∶4，于是其体积之比为1∶4. 答案：B
人教版高中数学必修二1.3 空间几何体的表面积与体积 PPT课件
圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
S ( r r r l rl )
'2 2 '
2r `
O`
2r
O
例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 20cm, 盆底 直径为 15cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5cm, 盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是 多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 1cm) ?
1、 3
空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的 表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
32 3
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题， 利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。
例1、已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的 四 面体S ABC(如下图), 求它的表面积 .
S
A B D C
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 2 r 的底面积为 ，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 表面积为
20cm
15cm
15cm
柱体、锥体、台体的体积
人教A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件
4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3)
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个） 答：这堆螺帽大约有252个．
课堂小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 台体 锥体
S S' S' 0
柱体、锥体、台体的表面积
圆柱S 2r(r l)
圆柱、圆锥、 圆台
棱柱、棱锥、 棱台
r O
r’＝r
O’
r’＝0
上底扩大
O
上底缩小
O
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
例2：如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径
为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁15cm。为了美
化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
典型题例
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：S▲ABC 1 BC SD 1 a 3 a 3 a2
2
22 4
因此，四面体S-ABC 的表面积． S 4 3 a2 3 a2
4
.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角 形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。
人教A版高中数学必修2《 一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积(通用)》优质课课件_5
(1)证明：PC BD(2)若E为PA的中点，求三棱锥
P-BCE的体积
教学过程分析
布置作业
1.“见证高考”三道题 2.思考：把例题改为“求A1到平面AB1D的距离”
板书设计 问题一：什么样的锥体可以进行等积转化？
结论一：由三棱锥各个面都是三角形，底面与侧面可以互换的特点，
可以实现等积转化。
问题二：等积转化的目标是什么？
A
结论二：底面特殊，高易证易求
问题三：等积转化的分类与步骤
(1)证明：PC BD(2)若E为PA的中点，求三棱锥
P-BCE的体积
2 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为 正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°， AB⊥B1C。（I）求证：平面AA1B1B⊥平面 BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC— A1B1C1体积。
创设情景引入课题
(2017河北文)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB//CD，且 BAP CDP 90 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC, APD 90 ,且四
棱锥P-ABCD的体积为 8 ，求该四棱锥的
侧面积.
3
教学内容分析
体积问题是近几年高考文科数学 考查的重点热点问题之一，题型以解 答题为主。求解方法主要是直接法与 等积法。
人教A版必修 立体几何
专题课：等积法求体积
创设情景引入课题
(2012河北文) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面， ∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC⊥平面BDC1 (Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体 积的比.
创设情景引入课题
P-BCE的体积
教学过程分析
布置作业
1.“见证高考”三道题 2.思考：把例题改为“求A1到平面AB1D的距离”
板书设计 问题一：什么样的锥体可以进行等积转化？
结论一：由三棱锥各个面都是三角形，底面与侧面可以互换的特点，
可以实现等积转化。
问题二：等积转化的目标是什么？
A
结论二：底面特殊，高易证易求
问题三：等积转化的分类与步骤
(1)证明：PC BD(2)若E为PA的中点，求三棱锥
P-BCE的体积
2 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为 正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°， AB⊥B1C。（I）求证：平面AA1B1B⊥平面 BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC— A1B1C1体积。
创设情景引入课题
(2017河北文)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB//CD，且 BAP CDP 90 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC, APD 90 ,且四
棱锥P-ABCD的体积为 8 ，求该四棱锥的
侧面积.
3
教学内容分析
体积问题是近几年高考文科数学 考查的重点热点问题之一，题型以解 答题为主。求解方法主要是直接法与 等积法。
人教A版必修 立体几何
专题课：等积法求体积
创设情景引入课题
(2012河北文) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面， ∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC⊥平面BDC1 (Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体 积的比.
创设情景引入课题
新课标人教A版高中数学必修2空间几何体复习ppt课件
r1
a 2
a
2
r2 2 a
a
r3
3a 2
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
34
球与正方体的“接切”问题
1.一 个 正 方 体 的 顶 点 都 在球 面 上 ， 它 的 棱 长 是4cm， 求 这 个 球 队 体 积. 2.钢 球 直 径5cm， 把 钢 球 放 入 一 个 正 方体 的 有 盖 纸 盒 中 ， 至 少 要 用多 少 纸 ？
D1
A1
C1 B1
D1
C1
B1
D1
C1
B1
D C
D C
D
A
B
A 图1 B
A 图2 B
D1
A1
C1
D1
B1
C1 B1
正视图
侧视图
D
D
C
C
A
B A 图1 B
俯视图
27
典型例题 例:10年福建文科3 若一个底面是正三角形的三棱住的正视图如图
所示,则其侧面积等于 A. 3 B.2 C.2 3 D.6
A1
解:如图,取BB1中点为B1，DD1中点为D，
C1
则V
V ,
B1 B1 EF
DDEF
VC1 B1EDF
V C1 B1EDF
1aa a
3
2
1 a3. 6
D1 F
D C
B1
A1
B1
E B
D
A
C1
B1
D1 F
D C
D
A1 B1
E B
30
A
典型例题 割补思想
例:如图，表示以AB 4cm, BC 3cm的长方形ABCD为底面的长
人教版高一下册数学必修二课件 第一章 空间几何体的表面积与体积(共28张ppt)
4 3π ． 形)，则该几何体外接球的体积为______
解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外 接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2 3(R 为球 4 3 的半径)，∴R＝ 3，∴球的体积 V＝3πR ＝4 3π
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
x2 x2 ∴2 ＋2 ＝1， 即
x＝ 2， 则 AB＝AC＝1， ∴S 矩形ABB1 A1 ＝ 2×1
＝ 2.
答案：C
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
角度三：正方体的外接球
3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图 如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方
数学
2 3 a，
2 a2 6 2 2 2 3 a，R －r ＝|CE| ＝ 3 ，解得R＝ 4
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
(2)正方体与球：
①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长 a 为a，则|OJ|＝r＝2(r为内切球半径)．
S△BCD 解析：由题意可知点A，C到BD的距离之比为3∶2，所以 S△ABD 2 3 1 ＝ 3 ，又直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AE＝ 4 AA1，CF＝ 3 CC1， 1 S△BCD· AE 3 AE 9 VE2 9 3 BCD 所以CF＝4，于是V ＝1 ＝3×4＝2. FABD CF 3S△ABD·
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
解析：由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90° ， △ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点， 同理△ A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中心． 设正方形 BCC1B1 的边长为 x， x x Rt△OMC1 中，OM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R 为球的半径)，
解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外 接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2 3(R 为球 4 3 的半径)，∴R＝ 3，∴球的体积 V＝3πR ＝4 3π
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
x2 x2 ∴2 ＋2 ＝1， 即
x＝ 2， 则 AB＝AC＝1， ∴S 矩形ABB1 A1 ＝ 2×1
＝ 2.
答案：C
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
角度三：正方体的外接球
3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图 如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方
数学
2 3 a，
2 a2 6 2 2 2 3 a，R －r ＝|CE| ＝ 3 ，解得R＝ 4
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
(2)正方体与球：
①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长 a 为a，则|OJ|＝r＝2(r为内切球半径)．
S△BCD 解析：由题意可知点A，C到BD的距离之比为3∶2，所以 S△ABD 2 3 1 ＝ 3 ，又直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AE＝ 4 AA1，CF＝ 3 CC1， 1 S△BCD· AE 3 AE 9 VE2 9 3 BCD 所以CF＝4，于是V ＝1 ＝3×4＝2. FABD CF 3S△ABD·
第二节
空间几何体的表面积与体积
结束
解析：由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90° ， △ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点， 同理△ A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中心． 设正方形 BCC1B1 的边长为 x， x x Rt△OMC1 中，OM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R 为球的半径)，
人教A版高中数学必修2《 一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积(通用)》优质课课件_5
借助3Done研究正方体 及其相关多面体外接球的问题
• 如今什么都是3D的了，电视 是3D的，手机是3D的，游 戏机也是3D的，动画也是 3D的，各种大片的特效中也 都有3D的身影，还有3D打 印技术等。
• 虽然，我们目前的3D技术还 不算很先进，但不得不说的 是3D的制作的确是一个艰辛 的过程，那么你知道3D制作 的幕后是怎样的吗？
• 如今生活中3D已经无处不在，同样的，我们的数学也与生 活息息相关。学完本课后，希望同学能对3D中的数学有所 体会了！所以，希望同学们学好数学，并能把数学很好地 用于以后自己的生活和工作中。谢谢！
• 3Done是一款以三维建模、3D打印为核心的创客软件。我们今天就 用3Done来检验我们的几何想象和计算是否正确。
探究一：利用3DONE软件复原场景
• 场景1：以一个棱长为40的 正方体体心为球心制作一个 球，使得球与正方体的六个 面相切。并求出球的体积。
探究一：利用3DONE软件复原场景
• 场景2：以一个棱长为 40的正方体体心为球心 制作一个球，使得球与 正方体的八个顶点相接。 并求出球的体积。
时下流行的3D
时下流行的3D
• 以3D打印制作为例，3D打印的制作流程主要分为：建立模型、材 质、颜色、渲染四个步骤。其中模型的建立是非常耗时间的！各种 相连接和相嵌套的零件如果出现计算上的不准确，就会导致打印处 理的零件不贴合，浪费材料等发生。故此，在模型建立的初步我们 就要计算精确！今天，我们就以研究正方体的内切、外接球为例， 利用3Done软件尝试建立模型。
探究二：探究与正方体相关的多面体外接球
探究二：探究与体相关的多面体外接球
发现
• 以上的几道变式题，你发现了什么？
• 遇到什么情况下可以运用你的发现？
• 如今什么都是3D的了，电视 是3D的，手机是3D的，游 戏机也是3D的，动画也是 3D的，各种大片的特效中也 都有3D的身影，还有3D打 印技术等。
• 虽然，我们目前的3D技术还 不算很先进，但不得不说的 是3D的制作的确是一个艰辛 的过程，那么你知道3D制作 的幕后是怎样的吗？
• 如今生活中3D已经无处不在，同样的，我们的数学也与生 活息息相关。学完本课后，希望同学能对3D中的数学有所 体会了！所以，希望同学们学好数学，并能把数学很好地 用于以后自己的生活和工作中。谢谢！
• 3Done是一款以三维建模、3D打印为核心的创客软件。我们今天就 用3Done来检验我们的几何想象和计算是否正确。
探究一：利用3DONE软件复原场景
• 场景1：以一个棱长为40的 正方体体心为球心制作一个 球，使得球与正方体的六个 面相切。并求出球的体积。
探究一：利用3DONE软件复原场景
• 场景2：以一个棱长为 40的正方体体心为球心 制作一个球，使得球与 正方体的八个顶点相接。 并求出球的体积。
时下流行的3D
时下流行的3D
• 以3D打印制作为例，3D打印的制作流程主要分为：建立模型、材 质、颜色、渲染四个步骤。其中模型的建立是非常耗时间的！各种 相连接和相嵌套的零件如果出现计算上的不准确，就会导致打印处 理的零件不贴合，浪费材料等发生。故此，在模型建立的初步我们 就要计算精确！今天，我们就以研究正方体的内切、外接球为例， 利用3Done软件尝试建立模型。
探究二：探究与正方体相关的多面体外接球
探究二：探究与体相关的多面体外接球
发现
• 以上的几道变式题，你发现了什么？
• 遇到什么情况下可以运用你的发现？
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积课件
把球心O和每个小网格的顶点连接起来，整个 球体就被分割成n个“小锥体”.
精品PPT
球的 表面积
以第i个网格为底面的“小锥体”，其底面 为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个
小网格都非常小，就近似 于“平”的，每个“小棱 体”就近似于棱锥，它们 的高近似于球半径R.
o
o
Si
精品PPT
球的 表面积
(2)、近似求和.
正棱锥的侧面展开图
精品PPT
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
精品PPT
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
精品PPT
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
精品PPT
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
圆柱的侧面积；
（2） 球的表面积等于
圆柱全面积的2/3.
RO
证明：（1）设球的半径为
精品PPT
球的 表面积
以第i个网格为底面的“小锥体”，其底面 为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个
小网格都非常小，就近似 于“平”的，每个“小棱 体”就近似于棱锥，它们 的高近似于球半径R.
o
o
Si
精品PPT
球的 表面积
(2)、近似求和.
正棱锥的侧面展开图
精品PPT
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
精品PPT
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
精品PPT
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
精品PPT
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
圆柱的侧面积；
（2） 球的表面积等于
圆柱全面积的2/3.
RO
证明：（1）设球的半径为
高中数学新课标人教A版必修2：空间几何体的结构特征、表面积及体积 课件
用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该
棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为
．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥 的体积为 V1＝13×12×12a×12b×12c＝418abc，剩下的几何体的体 积 V2＝abc－418abc＝4478abc，所以 V1∶V2＝1∶47. 答案：1∶47
[记结论·提速度]
[记结论]
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系为
S
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R：
①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；
②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
和体积的计算公式(不要求记 的体积．
1.直观想象． 2.数学建模． 3.数学运算
忆)．
4.与球有关的
3.会用斜二侧法画出简单空间图 切、接问题
形(长方体、球、圆柱、圆锥、
棱柱等的简易组合)的直观图
目录
01 知 识 逐 点 夯 实 重点准 逐点清 结论要牢记
02 考 点 分 类 突 破 理解透 规律明 变化究其本
③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c， 外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2；
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34， 两半径之比为 1∶3.
[提速度]
1.如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝
2，则其平面图形的面积是
4．(必修 2 第 27 页练习 1 题改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，
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2
29 2
2cm3
本节小结
一要熟练应用简单几何体的表面积与体积公
式
柱
棱柱 S表 S侧 S底 V柱体 S底h
体
圆柱 S表 2rl 2r 2 V圆柱 （r 2）h
棱锥 S表 S侧 S底
V锥体
1 3 S底h
锥 体
圆锥 S表 rl r 2
V圆锥
1 r 2h
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S S S 棱台 表
侧
底
复习回顾
1 空间几何体的体积
体积 是几何体所占空间的大 小
2 空间简单几何体的体积的求法
柱体
台体
锥体
V柱体 S底h
S上
S下 V台体 13（S上
S上S下 S下）h
S上
0 V锥体
1 3 S底h
V r h 圆柱
2
r 0 r上 r下
V圆台
1 3
(r上2
r上r下
r下2）h
上
V圆锥
1 r 2h
r内切
a 2
r与侧棱切
2a 2
知识拓展
已知正四棱锥的三视图求它的表面积与体积(单位：cm )
33
33
2
2
体高?
32 2
斜高
33 2
3
正视
侧视
3
解：
正视
3
S侧
4(1 2
33 2
3)
9
3cm2
S底 3 3 9cm2
S表 S侧 S底 （9 3 9）cm2
俯视
1
1
3
V
3
S底h
(3 3) 3
V台体 13（S上 S上S下 S下）h
台
体
圆台
S表
（r上
r下)l
(r上2
r下2）
V圆台
1 3
(r上2
r上r下
r下2）h
球 S表 4r 2
V球
4 r 3
3
二，求几何体体的表面积与体积时的注意问题
1，注意看清条件求表面积还是侧面积。
2，三棱锥独有的几何特性：任何一个面都可 作为底面
3，求表面积时注意多个几何体有接触面的问 题，应做到不重复计算
S圆柱 2rl 2r 2 S圆锥 rl r 2 S圆台 （r上 r下)l (r上2 r下2）
旋 转 体
柱体
锥体
台体
S表
球
4r
2
例题分析
已知由一个正四棱锥与一个圆柱构成的空间几何体的尺寸如图 所示求其表面积？
思路：
2
S表 S锥表 S柱表 - 2S锥底
2 2
答案：2 7 6 -2
3
球体
V球
4 r 3
3
公式熟练
如图所示求四边形ABCD绕轴AD旋转一周所得几何体的体积
D
D
42
4
C
4
A A2 B
V
V圆锥
V圆台
176
3
C B
例题研究
如图所示 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1， E,F分别为 AA1，B1C 上的点则三棱锥 D1 EDF 的体积？(山东高考）
D1
自我检测
一个长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上 的三条棱的长分别为1,2,3，求球的体积？
思考一个棱长为a的正方体的外接
B
球的半径？
A
O
a=3
b=2 c=1
3 r外接球 2 a
1 r球 2
a2 b2 c2
14 2
答案：7 14
3
问题引申
设一个棱长为a的正方体思考下列问题
1，内切球的半径？ 2，与侧棱相切的球的半径？
空间几何体的表面积与体积单元复习
莱阳一中 吕立海
一 空间几何体的表面积
复习回顾
1 空间几何体的侧面积与表面积
侧面积 是几何体侧面展开图的面积，它是 相对于底面而言的
表面积 是几何体表面的面积，又称全面 积，是侧面积与底面积的和
2 空间简单几何体的表面积的求法
多 面 体
S表 S侧 S底 S表 S侧 S底 S表 S侧 S底
小结：有接触面的几何体表面积 应正确处理接触面做到不重复计 算
自我检测
如图所示求四边形ABCD绕轴AD旋转一周所得几何体的表面积 D
D
42
4
C
4 A
A2 B
S表 S锥表 S台表 - 2S接触面 16 2 12 5 4
S表 S锥侧 S台侧 S台下底 16 2 12 5 4
C B
二 空间几何体的体积
C1
分析：三棱锥 D1 EDF与三棱锥 F EDD1
表示的是一个几何体，从而以面EDD1
A1
B1
为底的三棱锥的高F 到面EDD1 的距离可
转化为 CB1 到面EDD1的距离，进而转化
F
为面BB1C1C到面 AA1D1D 的距离
E
D
C
V
1 3 S EDD1 h
1 6
A
B
小结：三棱锥区别于其他锥体的几何特性是可以把任何 一个面当做底面，使求体积问题变得简单。
必做提纲13到14页第1到8小题 选作提纲14到15页第9和第10题