高中物理竞赛-热学部分
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V1 膨胀到 V2 时，求气体所作的功及气体温度的变化
T1 T2 各为多少？ 解：在这过程中，气体作功
A V2 pdV v1
由理想气A 体VV1状2 Va22态dV方 (程Va：21 )PVV12 V =a2(V1R1 T ，V12 )可知
a2
PV
V V2
a2
R
T T VT
T a2
RV
时的密度为 ，此时它的分子方均根速率 v2 __________ 。
v 2 3kT v 8kT
m
m
vp
2kT m
2kT1 3kT2
m
m
T1 / T2 3 / 2
v 2 3kT 3nkT 3 p
m
nm
= (i/2)R(T２－T１) A=ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290）=623 J 吸热 Q=0
例题
在一个大气压下，180克水在沸点汽化为100 0C的水蒸汽。问它的内能改变了多少？（水 的沸点汽化热为2.25x106焦耳/千克）
解：汽化吸热为 Q 0.18 2.25 10 6 4.05 10 5 (J )
不可能把热量从低温物体传到高温 物体而不产生其他影响。
2、熵
（1）卡诺定理
工作于两个一定温度热源之间的所有的热机， 以可逆机的效率最高.
1 Q2 1 T2
Q1
T1
特别注意：
克劳修斯熵公式
dS dQ T
（可逆过程）
S2 S1
2 dQ 1T
（可逆过程）
例题
将质量相同、温度分别为T1、T2的两杯 水在等压下绝热的混合，试问： （1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵 变。 （2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？ 要有推算过程并对结论说明理由。（设水的 等压摩尔热容量为cpm，每杯水摩尔质量n）
例题
月球上白天最高温度116oC，夜间的最低温度-151oC。 人们要在月球上居住，若起居室温度保持21oC，起居室 墙 壁 透 热 的 功 率 为 每 度 温 差 0.2 千 瓦 （ 随 墙 壁 材 料 而 变）。试求昼间与夜间在温度最大和最小值情况下，卡 诺热机的功率各为多少？
解：温度：昼间为389K，夜间122K，居室294K。 1.昼间室内外温差95K，
T2
T1
a
2
（
1
R V1
1 V2
）
例题
0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由17 oC 升为27 oC，若在升温过程中：
（1）体积保持不变； （2）压强保持不变； （3）不与外界交换能量。 分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体 做功。
解：(1)等体过程 由热力学第一定律得Q=ΔE 吸热 Ｑ=ΔE=CV(T２-T１)=(i/2)R(T２-Ｔ１) Ｑ=ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290)=623 J 对外作功 A=0
p0
S
l2
l1
Q
解：可分析出起初气缸中的气体的压强由于小于P2 （P2=外界压强+活塞重力产生的压强），所以体积不 会变，是一个等容升温的过程，当压强达到P时，它 将继续做一个等压膨胀的过程，则气缸中的气体的过 程为：等容升温+等压膨胀。
p1
RT V
1
8.31 273 0.021
1.13105
p2
p0
mg s
1.01105
10210 0.02
1.52 105
等容升温：
QV
i 2
R(T2
T1)
i pV 2
3 2
(
p2
p1)V
等压膨胀：
Qp
5 2
R(T2
T1)
5 2
R( p2V2
p1V1 )
Q QV Qp 4.9103 J
例题
摩尔的某种理想气体，状态按 V a / p
a 的规律变化(式中 为正常量)，当气体体积从
每个分子的平均动能 i kT
2
系统共有N个分子 E N N i kT
2 系统摩尔数为m/M E m i RT
M2 系统压强p体积V E i pV
2
三. 热力学第一定律及其应用
Q E W dE dQ pdV
（1）等容过程
mi
m
QV
E
M
RT 2
M
CVmT
W 0
（2）等压过程
E
m M
例题
通常说混合气体中各组分的体积百分
比，是指每种组分单独处在和混合气体相 同的压强及温度的状态下其体积占混合气 体体积V的百分比。已知空气中的几种主 要氧准组（状O分态2的（）1体2a1t积m﹪百，、分0氩℃比（）是A下：r）空氮1气（﹪中N，各2）求组7在8分﹪标的、 分压强和密度以及空气的密度。已知氮的 相对分子量是28.0，氧的是32.0，氩的是 40.0，平均为29.0。
一. 理想气体的状态方程
pV RT m RT
M
p nkT k为玻尔兹曼常量
k R 1.381023 J K NA
混合理想气体的物态方程：
pV RT
其中混合气体的压强
p p1 p2 ... pn 混合气体的物质的量
m1 m2 ... mn
M1 M2
Mn
二. 理想气体的内能
由热力学第一定律，内能改变为 ΔE Q A 3.74 105 J
四. 循环、卡诺循环
1)特点： E 0
2)效率： W Q1 Q2
Q1
Q1
3)制冷系数：e Q2 Q2 W Q1 Q2
4)卡诺循环：
热机效率： W 1 T2
Q1
T1
制冷系数：e Q2 T2 W T1 T2
卡诺机的制冷系数：
( Q2
t ) P2
T2
W t P T1 T2
求得卡诺机的工作功率：
P
T1 T2 T2
P2
172 34.4 48.2千瓦 122
五.热力学第二定律、熵
1、热力学第二定律的两种表述
1)开尔文表述： 不可能从单一热源吸收热量，使之
完全变成有用功，而不产生其他影响。 2)克劳休斯表述：
六.麦克斯韦速率分布率
f (v) dN 4 (
m
) e v 3 2
mv2 2 kT
2
Ndv
2 kT
物理意义：速率在v附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比。
气体分子的三个统计速率 平均速率：
v vf (v)dv
8kT
8RT
0
m0 M
方均根速率：
v2
v2 f (v)dv
例题
温度为0oC的1kg的水与温度为100oC的恒 温热源接触后，水的温度达到100oC，试分别 计算水和热源及整个系统的熵的改变.（设水 的比热容为cp=4.18J/gK）
例题
将质量相同、温度分别为T1、T2 的两杯水在等压下绝热地 混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵 变。（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算 过程并对结论说明理由。（设水的摩尔等压热容量为Cp， 每杯水的量为ν摩尔）
i RT 2
m M
CVmT
W
p(V2
V1)
m M
RT
Qp
m M
CpmT
W
E
（3）等温过程
E
m M
i RT 2
m M
CVmT
0
W Q m RT ln V2 m RT ln p1
M
V1 M
p2
（4）绝热过程
Q 0 m
W E M CVmT
pV C
TV 1 C'
T p 1 C ''
热学
内容提要
1 平衡态、状态参量、热力学第零定律 2 理想气体状态方程 3 准静态过程、热量和内能 4 热力学第一定律、典型的热力学过程 5 循环过程、卡诺循环、热机效率、致冷系数 6 热力学第二定律、熵和熵增加原理、玻耳兹曼熵关系式 7 统计规律、理想气体的压强和温度 8 理想气体的内能、能量按自由度均分定理 9 麦克斯韦速率分布律、三种统计速率 10 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
水的体积为
V水
0.18 103
0.18103 (m3 )
将水蒸气视作理想气体，由 pV νRT
1.013105V气 108.31373.15 V气 0.306m3
水变为水蒸气，对外作功为
A
Βιβλιοθήκη Baidu
V气 pdV
V水
p(V气 V水 ) 1.013 10 5 （0.306 - 0.18 10 3） 0.31 10 5 (J )
例题
一充满氢气的气球，球囊的质量是氢气质量的5.0倍， 球内外的温度相同，而球内的压力为球外的1.8倍，在忽 略球囊本身体积、空气阻力情况下，静止释放此气球，求 开始上升时的加速度是多少？
例题
一侧面绝热的气缸内盛有1 mol的单原子 分子理想气体．气体的温度T1=273K，活塞外 气压p0=1.01×105Pa，活塞面积S=0.02m2,活塞 质量m =102kg．活塞起初停在距气缸底部为 l1=1m处．今从底部极缓慢地加热气缸中的气 体，使活塞上升了l2 = 0.5 m的一段距离如图所 示．试过计算：气缸中的气体在整个过程中吸 了多少热量？
(2)等压过程 Ｑ=Cp（T２-T１）=[(i+2)/2]R(T２－T１) 吸热 Ｑ=5×(5/2)×8.31×(300-290)=1038.5 J ΔE= CV(T２－T１) 内能增加 ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290)=623 J 对外作功 A=Q-ΔE=1038.5-623=415.5 J (3)绝热过程 由热力学第一定律得A=ΔE 做功与内能的变化均为 A=ΔE= CV(T２－T１)
室外向居室透热功率：P2 0.2 95 19.0千瓦 卡诺机的制冷系数： (Q2 t ) P2 T2
W t P T1 T2
求得卡诺机的工作功率：
P
T1 T2 T2
P2
95 19.0 6.1千瓦 294
2 夜间室内外温差172K，居室T1 294 K,室外T2 122 K
居室流出热功率：P1 172 0.2 34.4千瓦
v
z
1
2d
2n
1
2d 2N
/V
V
2d 2N
N不变
2. 在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞 频率增大?
(a)增大压强，提高温度 (c)降低压强，提高温度 (b)增大压强，降低温度 (d)降低压强，保持温度不变
z 2d 2nv 2d 2 p 8kT p kT M T
3.某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子 方均根速率相等，则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为p
3kT
3RT
0
m0
M
最概然速率：
vp
2kT m0
2RT M
七.平均碰撞频率和平均自由程 （1）平均碰撞频率
Z 2 d 2 vn
（2）平均自由程
v 1 Z 2 d 2n
1.一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均 自由程仅决定于
(A)压强p
(B)体积V
(C)温度T
(D)分子的平均碰撞频率
T1 T2 各为多少？ 解：在这过程中，气体作功
A V2 pdV v1
由理想气A 体VV1状2 Va22态dV方 (程Va：21 )PVV12 V =a2(V1R1 T ，V12 )可知
a2
PV
V V2
a2
R
T T VT
T a2
RV
时的密度为 ，此时它的分子方均根速率 v2 __________ 。
v 2 3kT v 8kT
m
m
vp
2kT m
2kT1 3kT2
m
m
T1 / T2 3 / 2
v 2 3kT 3nkT 3 p
m
nm
= (i/2)R(T２－T１) A=ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290）=623 J 吸热 Q=0
例题
在一个大气压下，180克水在沸点汽化为100 0C的水蒸汽。问它的内能改变了多少？（水 的沸点汽化热为2.25x106焦耳/千克）
解：汽化吸热为 Q 0.18 2.25 10 6 4.05 10 5 (J )
不可能把热量从低温物体传到高温 物体而不产生其他影响。
2、熵
（1）卡诺定理
工作于两个一定温度热源之间的所有的热机， 以可逆机的效率最高.
1 Q2 1 T2
Q1
T1
特别注意：
克劳修斯熵公式
dS dQ T
（可逆过程）
S2 S1
2 dQ 1T
（可逆过程）
例题
将质量相同、温度分别为T1、T2的两杯 水在等压下绝热的混合，试问： （1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵 变。 （2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？ 要有推算过程并对结论说明理由。（设水的 等压摩尔热容量为cpm，每杯水摩尔质量n）
例题
月球上白天最高温度116oC，夜间的最低温度-151oC。 人们要在月球上居住，若起居室温度保持21oC，起居室 墙 壁 透 热 的 功 率 为 每 度 温 差 0.2 千 瓦 （ 随 墙 壁 材 料 而 变）。试求昼间与夜间在温度最大和最小值情况下，卡 诺热机的功率各为多少？
解：温度：昼间为389K，夜间122K，居室294K。 1.昼间室内外温差95K，
T2
T1
a
2
（
1
R V1
1 V2
）
例题
0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由17 oC 升为27 oC，若在升温过程中：
（1）体积保持不变； （2）压强保持不变； （3）不与外界交换能量。 分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体 做功。
解：(1)等体过程 由热力学第一定律得Q=ΔE 吸热 Ｑ=ΔE=CV(T２-T１)=(i/2)R(T２-Ｔ１) Ｑ=ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290)=623 J 对外作功 A=0
p0
S
l2
l1
Q
解：可分析出起初气缸中的气体的压强由于小于P2 （P2=外界压强+活塞重力产生的压强），所以体积不 会变，是一个等容升温的过程，当压强达到P时，它 将继续做一个等压膨胀的过程，则气缸中的气体的过 程为：等容升温+等压膨胀。
p1
RT V
1
8.31 273 0.021
1.13105
p2
p0
mg s
1.01105
10210 0.02
1.52 105
等容升温：
QV
i 2
R(T2
T1)
i pV 2
3 2
(
p2
p1)V
等压膨胀：
Qp
5 2
R(T2
T1)
5 2
R( p2V2
p1V1 )
Q QV Qp 4.9103 J
例题
摩尔的某种理想气体，状态按 V a / p
a 的规律变化(式中 为正常量)，当气体体积从
每个分子的平均动能 i kT
2
系统共有N个分子 E N N i kT
2 系统摩尔数为m/M E m i RT
M2 系统压强p体积V E i pV
2
三. 热力学第一定律及其应用
Q E W dE dQ pdV
（1）等容过程
mi
m
QV
E
M
RT 2
M
CVmT
W 0
（2）等压过程
E
m M
例题
通常说混合气体中各组分的体积百分
比，是指每种组分单独处在和混合气体相 同的压强及温度的状态下其体积占混合气 体体积V的百分比。已知空气中的几种主 要氧准组（状O分态2的（）1体2a1t积m﹪百，、分0氩℃比（）是A下：r）空氮1气（﹪中N，各2）求组7在8分﹪标的、 分压强和密度以及空气的密度。已知氮的 相对分子量是28.0，氧的是32.0，氩的是 40.0，平均为29.0。
一. 理想气体的状态方程
pV RT m RT
M
p nkT k为玻尔兹曼常量
k R 1.381023 J K NA
混合理想气体的物态方程：
pV RT
其中混合气体的压强
p p1 p2 ... pn 混合气体的物质的量
m1 m2 ... mn
M1 M2
Mn
二. 理想气体的内能
由热力学第一定律，内能改变为 ΔE Q A 3.74 105 J
四. 循环、卡诺循环
1)特点： E 0
2)效率： W Q1 Q2
Q1
Q1
3)制冷系数：e Q2 Q2 W Q1 Q2
4)卡诺循环：
热机效率： W 1 T2
Q1
T1
制冷系数：e Q2 T2 W T1 T2
卡诺机的制冷系数：
( Q2
t ) P2
T2
W t P T1 T2
求得卡诺机的工作功率：
P
T1 T2 T2
P2
172 34.4 48.2千瓦 122
五.热力学第二定律、熵
1、热力学第二定律的两种表述
1)开尔文表述： 不可能从单一热源吸收热量，使之
完全变成有用功，而不产生其他影响。 2)克劳休斯表述：
六.麦克斯韦速率分布率
f (v) dN 4 (
m
) e v 3 2
mv2 2 kT
2
Ndv
2 kT
物理意义：速率在v附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比。
气体分子的三个统计速率 平均速率：
v vf (v)dv
8kT
8RT
0
m0 M
方均根速率：
v2
v2 f (v)dv
例题
温度为0oC的1kg的水与温度为100oC的恒 温热源接触后，水的温度达到100oC，试分别 计算水和热源及整个系统的熵的改变.（设水 的比热容为cp=4.18J/gK）
例题
将质量相同、温度分别为T1、T2 的两杯水在等压下绝热地 混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵 变。（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算 过程并对结论说明理由。（设水的摩尔等压热容量为Cp， 每杯水的量为ν摩尔）
i RT 2
m M
CVmT
W
p(V2
V1)
m M
RT
Qp
m M
CpmT
W
E
（3）等温过程
E
m M
i RT 2
m M
CVmT
0
W Q m RT ln V2 m RT ln p1
M
V1 M
p2
（4）绝热过程
Q 0 m
W E M CVmT
pV C
TV 1 C'
T p 1 C ''
热学
内容提要
1 平衡态、状态参量、热力学第零定律 2 理想气体状态方程 3 准静态过程、热量和内能 4 热力学第一定律、典型的热力学过程 5 循环过程、卡诺循环、热机效率、致冷系数 6 热力学第二定律、熵和熵增加原理、玻耳兹曼熵关系式 7 统计规律、理想气体的压强和温度 8 理想气体的内能、能量按自由度均分定理 9 麦克斯韦速率分布律、三种统计速率 10 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
水的体积为
V水
0.18 103
0.18103 (m3 )
将水蒸气视作理想气体，由 pV νRT
1.013105V气 108.31373.15 V气 0.306m3
水变为水蒸气，对外作功为
A
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V气 pdV
V水
p(V气 V水 ) 1.013 10 5 （0.306 - 0.18 10 3） 0.31 10 5 (J )
例题
一充满氢气的气球，球囊的质量是氢气质量的5.0倍， 球内外的温度相同，而球内的压力为球外的1.8倍，在忽 略球囊本身体积、空气阻力情况下，静止释放此气球，求 开始上升时的加速度是多少？
例题
一侧面绝热的气缸内盛有1 mol的单原子 分子理想气体．气体的温度T1=273K，活塞外 气压p0=1.01×105Pa，活塞面积S=0.02m2,活塞 质量m =102kg．活塞起初停在距气缸底部为 l1=1m处．今从底部极缓慢地加热气缸中的气 体，使活塞上升了l2 = 0.5 m的一段距离如图所 示．试过计算：气缸中的气体在整个过程中吸 了多少热量？
(2)等压过程 Ｑ=Cp（T２-T１）=[(i+2)/2]R(T２－T１) 吸热 Ｑ=5×(5/2)×8.31×(300-290)=1038.5 J ΔE= CV(T２－T１) 内能增加 ΔE=5×(3/2)×8.31×(300-290)=623 J 对外作功 A=Q-ΔE=1038.5-623=415.5 J (3)绝热过程 由热力学第一定律得A=ΔE 做功与内能的变化均为 A=ΔE= CV(T２－T１)
室外向居室透热功率：P2 0.2 95 19.0千瓦 卡诺机的制冷系数： (Q2 t ) P2 T2
W t P T1 T2
求得卡诺机的工作功率：
P
T1 T2 T2
P2
95 19.0 6.1千瓦 294
2 夜间室内外温差172K，居室T1 294 K,室外T2 122 K
居室流出热功率：P1 172 0.2 34.4千瓦
v
z
1
2d
2n
1
2d 2N
/V
V
2d 2N
N不变
2. 在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞 频率增大?
(a)增大压强，提高温度 (c)降低压强，提高温度 (b)增大压强，降低温度 (d)降低压强，保持温度不变
z 2d 2nv 2d 2 p 8kT p kT M T
3.某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子 方均根速率相等，则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为p
3kT
3RT
0
m0
M
最概然速率：
vp
2kT m0
2RT M
七.平均碰撞频率和平均自由程 （1）平均碰撞频率
Z 2 d 2 vn
（2）平均自由程
v 1 Z 2 d 2n
1.一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均 自由程仅决定于
(A)压强p
(B)体积V
(C)温度T
(D)分子的平均碰撞频率