人教版九年级数学上册 二次函数单元培优测试卷

人教版九年级数学上册二次函数单元培优测试卷

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x2x3

=-++；3

y x

=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．

【详解】

解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得

930

10

b c

b c

-++=

⎧

⎨

--+=

⎩

，

∴

2

3

b

c

=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标是（0，3），

把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1

1

30

3

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴

1

1

3

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图，连接BC，

∵点D是抛物线与x轴的交点，

∴AD＝BD，

∴S△ABC＝2S△ACD，

∵S△ACP＝2S△ACD，

∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，

即：P（﹣1，0），

过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，

联立①②解得，

1

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

或

4

5

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴P（4，﹣5），

∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）如图，

①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴Q'坐标为（1，2），

∵Q'D＝AD＝BD＝2，

∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，

∴∠AQ'B＝90°，

∴点Q'为所求，

②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），

过点A1'作A1'E⊥DQ于E，

∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，

∴∠DAQ+∠AQD＝90°，

由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，

∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，

∴∠DAQ＝∠A1'QE，

∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），

∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ，

∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2），

代入y ＝﹣x 2+2x +3中，

解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍），

∴Q 的坐标为（1，﹣3），

∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．

2．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的

面积是AMC 面积的14

时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529

-）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．

【详解】

解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；

（2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，

在22y x x =-++中，

令y=0，解得：x=2或-1，

∴点B 坐标为（-1，0），

∴点E 坐标为（1，0），

可知：点B 和点E 关于y 轴对称，

∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，

∵D （0，2），

∴=，

在△BDE 中，有12×BE ×OD=12

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=

5，

∴5

，