弹性力学总结与复习

（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 2 r
f (r )
f (r ) sin
f (r ) cos
（5） 半平面问题
P
O
y
M y
O
r
rf ( )
O

x
r

位移边界条件： 为边界上已知的面力分量。
r , , r
满足问题的边界条件：
ur , u 为边界上已知位移， k r , k
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O x
b

x
g
y f ( y )
O
gy
x
y xf ( y )

( x, y)
2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy xy y x
(2-26)


（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（4-13）
（2） 圆孔的孔边应力集中问题
原问题的转换：
轴对称问题
问题1
非轴对称问题
问题2 a
a

b

q r 2
b
q r sin 2 2 q r cos 2 2
f (r ) cos 2
1 4 2 Ar Br C D 2 cos 2 r
2. 平面问题求解的基本方程 （1）平衡方程
说明： （1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
r A B(1 2 ln r ) 2C 2
（4－12）
ur 1 (1 ) A 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr I cos K sin u 4 Br Hr I sin K cos E
导数：
x y ,
在边界上值的物理意义是什么？
第三章 平面问题的直角坐标解答
（1）直角坐标解答适用于什么情况？
（2）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？
（3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？ （4）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？ （5）如何利用材料力学的结果推出应力函数 的形式？ （6）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数 的幂次数？

（2） z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界 受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的 基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位 移分量。
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两 端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发 现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的 最大应力如何？最大应力发生在何处？
q
q
q
q
45°
q q
q
q
（4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。
(r , ) A
四、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1； （2）形变余能U *、比余能U *1； （3）总势能； （4）总余能 *； 各量的计算。 2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法； （1）应力变分法；
x
q
x
( )
O
q ( x)
r
y

r

x
r 2 f ( )
q
a a
O y
y
r 3 f ( )
x
利用叠加法求解
r

练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时， 在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 x , y 与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。
r , , r
1 （4－5） r r
1 1 2 r 2 r r r 2
（3） 将上述应力分量
2 2 r
r
ur s ur , u s u l r s m r s kr 应力边界条件： （位移单值条件） l r s m s k
（2-18）
us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（ 4 －6 ）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主 方向？ （7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何 由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？ （8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？
（9）边界条件有哪两类？如何列写？
（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？ 如何利用圣维南原理列写边界条件？ （11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。 （12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？ （13）弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条 件是什么？ （14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条 件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解 为什么不需要满足变形协调方程？ （15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题 的正确解？为什么？ （16）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？ （17）何为逆解法？何为半逆解法？ （18）Airy应力函数 在边界上值的物理意义是什么？应力函数 的
第一章 绪 论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论） （2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹 性力学基本方程时的作用是什么？举例说明哪些使用这些假定？
（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何 不同？
精确解；
近似解； （如：基于能量原理的解） 数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解；
按应力求解；
（2）按采用的坐标系分：
直角坐标解答； 极坐标解答； 初等函数解；
逆解法； 半逆解法；
（3）按采用的函数类型分： 级数解； 复变函数解；
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下 （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x, y )
（ 2）
4 4 4 4 2 0 (2-27) 0 4 2 2 4 x x y y 然后将 ( x, y ) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
（1）假设满足应力边界条件的应力函数 ；
（2）计算系统的形变余能U *； （3）代入应力变分法方程确定待定系数；
U 0 在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程： Am
（4）回代求出应力分量。
五、其它问题
（1）一点应力状态分析； （2）一点应变状态分析； （3）应力边界条件的列写； （圣维南原理的应用） （4）张量的基本知识； （弹性力学基本方程的张量表示）
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
y
M O

2
（2） 楔顶受集中力
y
P


2
O

2
( )

2
rf ( )
（3） 楔形体一侧受分布力
x
x
r f ( )
2
r 3 f ( )
（4） 曲梁问题
M ( ) f1 (r ) q( ) f 2 (r ) r Q( ) f 3 (r )
2
ij 1 (ui , j u j ,i )
基本方程
1 ij (1 ) ij kk ij E


边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j 位移边界条件（3个） ：
Xi
ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
函数解 求解方法 实验方法
第二章 平面问题的基本理论
（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。 （2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪 些近似简化处理？其作用是什么？
（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？
（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确 定？需要什么条件？
y 0
O
x y
b
l

x
y f ( y )
O
g
gy
y xf ( y )
x

y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
( x, y)
y
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （2Leabharlann Baidu极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ （平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ （用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） （4）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？ （5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？ （6）极坐标下轴对称问题应力函数 、应力分量、位移分量的特点？
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 15个基本量： ui , ij, ij
平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体） 控制微分方程 （15个） 平衡微分方程（3个）： 几何方程（6个）： 物理方程（6个）：
弹 性 力 学 问 题
ij, j X i 0
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
g
l
y
y 0
y
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
极坐标下 （1） 轴对称问题 应力函数
A ln r Br ln r Cr D
2 2
（4－11）
应力分量
r r 0
位移分量
r A B(3 2 ln r ) 2C 2 r
（2）最小余能原理；
如何设定位移函数？ 如何设定应力函数 ？ 4. 弹性力学两个基本定理 （1）解的唯一性定理；
（ 1）
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
（ 2）
应力变分方程； 最小余能原理；
（2）功的互等定理；
5. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 6. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 7. 应力变分法解题步骤：