弹性力学总结与复习
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学总结与复习(全).76页PPT
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
弹性力学总结与复习(全).
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学知识点总结
一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。
1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。
林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。
而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。
2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。
应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。
弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。
弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。
3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。
弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。
3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。
剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。
3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。
弹性力学课程总结
弹塑性力学课程学习总结弹塑性力学主要是对物体在发生变形时进行的弹性力学和塑性力学分析，由于塑性力学比较复杂，发展还不够完善，所以以弹性力学为主要内容。
下面是对本课程的学习总结。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究物体在外力和其它外界因素作用下产生的弹性变形和内力。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
塑性力学研究的是物体发生塑性变形时的应力和应变。
物体变形包括弹性变形与塑性变形。
在外力作用下产生形变车去外力可以恢复原状是塑性变形；当外力达到一定值后，撤去外力，不再恢复原状是塑性变形。
当外力由小到大，物体变形由弹性变为弹塑性最后变为塑性直至破坏。
弹性变形是应力与应变一一对应。
主要任务是研究物体弹塑性的本构关系和荷载作用下物体内任一点应力变形。
为了便于研究我们常需要做一些假设，弹塑性力学的假设为：1、均匀连续性假设2、材料的弹性性质对塑性变形无影响3、时间对材料性质无影响4、稳定材料，荷载缓慢增加5、小变形假设。
弹性力学在研究对象上与材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
在材料力学和结构力学中主要是采用简化的可用初等理论描述的数学模型；在弹性力学中，则将采用较准确的数学模型。
有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转，孔边应力集中，深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的理论无法求解，而在弹性力学中是可以解决的。
有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的结论，而弹性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。
弹性力学包括平面问题，空间问题，柱体扭转，能量原理，虚功原理和有限元法等。
在研究过程中，需要列出基本方程，空间问题有15个基本方程，包括平衡方程，物理方程，变形协调方程和边界条件。
弹性力学总结与复习(2014)概论
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 5个基本假设； 8个基本量：
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程（2个）：
性
控制微分方程
力
（8个）
几何方程（3个）：
学 基本方程 平
物理方程（3个）：
面
问
题
边界条件
应力边界条件（2个）：
（4个）
（2-15）
3. 常体力下求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-25）求出应力函数： (x, y)
4
4 4
x4 2 x2y2 y4 0
4 0
(2-25)
(x, y) , , （2） 然后将
代入式（2-26）求出应力分量：
x
2
y 2
fxx
y
2
x2
fyy
xy
2x
xy
单元结点位移 单元结点力
e ui vi u j v j um vm T
F e Fix Fiy Fjx Fjy Fmx Fmy T
整体结点位移 整体结点荷载
u1 v1 u2 v2 T
FL FL1x FL1y FL2x FL2 y
T
2. 基本公式
d N e
B e
S e
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
N
m
/ x
B
0
/ y
0 / y / x
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
N
m
S DB
北航弹性力学复习整理
370511班弹性力学复习整理一、基本概念弹性力学与材料力学的区别(研究对象、研究方法、应力应变定义应力符号定义等）弹性力学基本原理1、迭加原理：某物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且与加载顺序无关。
2、解的唯一性定理（基尔霍夫唯一性定理）：线性弹性问题的解是唯一的3、圣维南原理，两种表述：局部影响原理：由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。
（局部平衡力系对远离作用区域影响可忽略）静力等效原理：若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。
应力不变量与应变不变量（这部分可能不会以概念题的形式出，但个人认为比较重要，而且由于推导过程比较复杂，大家可能往往忽略。
至少说，这个结果是值得记住的）应力不变量是在推导主应力方向时得出的一组不随坐标改变而改变的有量纲量，其一般公式为：1112233ii σσσσ=++I ＝1112133212223123313233ijk i j k e σσσσσσσσσσσσ==I22233331111223233131121221)2ii jj ij ij I σσσσσσσσσσσσσσσσ-=++＝（这个表达式还是比较繁，下面给出用主应力表示的公式：321332312123211σσσσσσσσσσσσ=++=++=I I I ，321σσσ、、分别为三个主应力的大小完全类似的，可得到应变不变量公式：()11232122331312312312ii ii jj ij ij ijk i j k e θεεεεθεεεεεεεεεεθεεεεεε==++=-=++==，各符号意义与应力相似二、基本公式推导 本构关系（本构关系中有比较多的公式，再次就不一一列举了。
弹性力学重点复习题及其答案-知识归纳整理
弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相习惯。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相习惯。
4、物体受外力将来，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也算是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为延续性、彻底弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=xσMPa ，50=yσMPa ，5010=xyτ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=xσMPa ，0=yσMPa ，400-=xyτ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=xσMPa ，1000=yσMPa ，400-=xyτ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要思量静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将延续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法举行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移普通总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学期末考试复习
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。
弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。
弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。
2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。
线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。
小变形假设是指应变小到可以忽视不计。
均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。
3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。
在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。
其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。
4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。
在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。
弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。
5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。
圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。
圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。
通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。
6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。
在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。
稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。
以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。
通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。
弹性力学基本概念和考点汇总
弹性⼒学基本概念和考点汇总基本概念：（1）⾯⼒、体⼒与应⼒、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应⼒互等定理：作⽤在两个互相垂直的⾯上，并且垂直于改两⾯交线的切应⼒是互等的（⼤⼩相等，正负号也相同）。
（3）弹性⼒学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和⼩变形。
（4）平⾯应⼒与平⾯应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平⾏于板⾯并且不沿厚度变化的⾯⼒或约束。
同时，体⼒也平⾏与板⾯并且不沿厚度⽅向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应⼒互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平⾏于xy ⾯的三个平⾯应⼒分量，即,,x y xy yxσσττ=，所以这种问题称为平⾯应⼒问题。
设有很长的柱形体，它的横截⾯不沿长度变化，在柱⾯上受有平⾏于横截⾯且不沿长度变化的⾯⼒或约束，同时，体⼒也平⾏于横截⾯且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应⼒互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，⼜由于z ⽅向的位移w 处处为零，即0z ε=。
因此，只剩下平⾏于xy ⾯的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平⾯应变问题。
（5）⼀点的应⼒状态；过⼀个点所有平⾯上应⼒情况的集合，称为⼀点的应⼒状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的⼀⼩部分边界上的⾯⼒，变换为分布不同但静⼒等效的⾯⼒（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应⼒分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的⼏何形状、约束情况，以及所受的外⼒作⽤，都是对称于某⼀轴（通过该轴的任⼀平⾯都是对称⾯），则所有的应⼒、变形和位移也就对称于这⼀轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
⼀、平衡微分⽅程：(1) 平⾯问题的平衡微分⽅程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ??++=++=??（记）(2) 平⾯问题的平衡微分⽅程（极坐标）；10210f f ρρ?ρ?ρ?ρ?ρ?σ?τσσ?ρρ??ρσ?ττρρρ-+++=+++=1、平衡⽅程仅反映物体部的平衡，当应⼒分量满⾜平衡⽅程，则物体部是平衡的。
弹性力学总复习
（1） 已知一点的应变 x , y , xy ，可计算任意方向的
应变 N 。 N 的最大值、最小值。主应变、主应
变方向等。
（2）已知一点任意三方向的应变 N1, N 2 , N3，可求得
该点的应变分量 x , y , xy 。
NN21
（2）若： qb 0(而qa 0)
r
b2
r2 b2
a2
1 qa (
1
0)
（压应力）
b2
r2 b2
a2
1
qa ( 0)
1
（拉应力）
r
（3）若： qa 0, (qb 0)
r
1 1
a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）
1 1
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
弹性力学总结
通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件
转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得 到解答。
应用的注意事项：
1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 2、应用时不能讨论局部应力场。
弹性力学问题的提出
极坐标中的基本方程和边界条件
（1）平衡微分方程
1 f 0 2 1 f 0
（2）几何方程
（4-9）
u
u 1 u u u 1 u
（4-13）
弹性力学问题的提出
（3）物理方程（平面应力问题）
1 ( ) E 1 ( ) E 2(1 ) E
xБайду номын сангаас
0, 0,
o
a ( )
a
r
rd cos ( ) r rd sin 0 rd sin ( ) r rd cos 0
y
a ( )
a
r
M
0, ( ) r rd r M 0
习题课
A cos 2 B sin 2 C D
（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-15），得 应力分量为：
1 1 2 1 2 2 4 A cos 2 4 B sin 2 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 A sin 2 2 B cos 2 C
2 2
0
2
（4-14）
弹性力学 复习资料(全) 同济大学
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
弹性力学复习第一～四章总结
最大最小切应力在与主应力成450的斜面上。
§2-3
平衡微分方程
平面问题的基本方程
x yx fx 0 x y
y y xy x
一、平面应力问题的基本方程
fy 0
运用基本假定: 几何方程
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
正负号。
§2-7
圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面 力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应力 条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy
§2-2
平面问题中一点的应力状态
一 、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0， 该面为应力主 面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向 即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力 之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
第1章
关键概念
绪 论
正面，负面，面力，体力，应力、应变、弹性、弹性体、均 匀性假设、连续性假设、各向同性假设、线弹性假设，小变 形条件
本章重点
1、弹性力学研究的内容 2、弹性力学的基本量 3、弹性力学的基本假设 4、各个基本假定在建立弹性力学基本方程时的用途
弹性力学总复习
x
2c
y
3、三次式应力函数 面梁纯弯曲。
Φ=ay
3
，求解矩形截
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
4、轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性
σρ =
1）轴对称应力 轴对称应力 轴对称
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C ;
2
σϕ = −
A
τ ρϕ = 0
2力相应
应力函数Φ解法 五、常体力时引入Airy应力函数 解法 体力时引入 应力函数
∂4 ∂4 ∂4 1、 4 + 2 2 2 + 4 Φ = 0 、 ∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂ 1 ∂2 2 ∂2 ( 2+ ) Φ = 0; + ∂ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2
∂2 ∂2 2 + 2 σx +σ y = 0 ∂x ∂y
(σ ρ ) s = f ρ ( s ) (τ ρϕ ) s = f ϕ ( s ) (σ ϕ ) s = f ϕ ( s )
3) 近似边界条件（圣维南原理）： (τ ) = f ( s ) 近似边界条件（圣维南原理）： 边界条件 ϕρ s ρ
∫−h / 2 −h / 2 h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1⋅ y = ±∫−h / 2 f x ( y) d y ⋅1⋅ y(= M ), h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1 = ±∫−h / 2 f y ( y) d y ⋅1(= FS ).
材料力学期末复习总结
材料力学期末复习总结材料力学是研究材料在外力作用下的变形与破坏行为的学科。
它是工程力学的一个重要分支，是工程技术领域中不可或缺的一门专业课程。
期末考试作为对学生掌握教材知识的一次综合性评估，理解材料力学的基本原理和方法是非常重要的。
以下是材料力学期末复习的总结，希望对大家复习备考有所帮助。
第一部分：弹性力学1.弹性力学基本概念弹性力学是研究物体在外力作用下发生弹性变形的学问。
弹性变形是指物体在受力作用下会发生形变，但在去除外力后又能恢复到原来的形状和大小。
（比如弹簧的拉伸和恢复、弹性材料的压缩和回弹等）2.基本假设弹性力学的基本假设有两个：胡克定律和平面应力假设。
胡克定律：弹性变形与应力成正比，即应力应变具有直线关系。
胡克定律可以用Hooke's Law表示：σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
平面应力假设：在材料中，只发生一个平面上的应力。
3.弹性常数弹性常数是用来描述材料对外力作用下的响应情况的参数。
弹性常数有三个：弹性模量（Young's modulus），剪切模量（Shear modulus）和泊松比（Poisson's ratio）。
弹性模量描述材料受拉伸或压缩力作用下的应力应变关系，即E=σ/ε。
剪切模量描述材料受剪切力作用下的应力应变关系，即G=τ/γ。
泊松比描述材料在拉伸或压缩时沿垂直方向的应变与沿拉伸或压缩方向的应变之比，即ν=-ε_z/ε_x。
4.弹性体力学方程弹性体力学方程包括平衡方程、应力-应变关系和互斥条件。
平衡方程：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0，ΣMx=0，ΣMy=0，ΣMz=0。
应力-应变关系：σ_xx=E(ε_xx - νε_yy - νε_zz)，σ_yy=E(ε_yy - νε_xx - νε_zz)，σ_zz=E(ε_zz - νε_xx -νε_yy)。
互斥条件：γ_xy=Gγ_xy，γ_yx=Gγ_yx，γ_xz=Gγ_xz，γ_zx=Gγ_zx，γ_yz=Gγ_yz，γ_zy=Gγ_zy。
弹性力学总结与复习全文
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章 平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想； （2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）
弹性力学复习总结
简支梁受均布载荷：
半逆解法---分析应力与载荷的关系，假定应力分量； 应用对称性条件简化求解过程；
楔形体受重力和液体压力：
半逆解法---量纲分析法，假定应力分量；
平面问题的极坐标解答
直角坐标与极坐标的异同比较； 平衡方程的建立：
取微分体进行平衡分析； 与直角坐标平衡方程相比，特有的项及其产生原因；
弹力的基本概念与基本假定
弹性力学的研究内容与研究方法：与材力比较；
为什么要学习弹性力学：
其它固体力学分支学科的基础； 大型工程结构分析的有效手段； 在前沿科技领域中的应用；
课程学习目标：
掌握弹性力学的基本概念和基本理论； 阅读弹力文献并加以应用； 学习后续学科的理论基础； 在前沿交叉学科中发挥作用；
几何方程：
径向、环向位移分开分析，叠加原理； 与直角坐标几何方程相比，特有的项及其产生原因；
物理方程：
与直角坐标下方程相似，泊松效应、叠加原理；
边界条件：
极坐标下边界条件的表示---注意正负号规定； 位移单值条件与有限值条件；
平面问题的极坐标解答
应力函数与相容方程：
包含常数项、完备的一次项；（必要） 保证位移的连续性---单元内、单元交界处；（充分） 单元剖分的注意事项； 位移及应力的误差量级分析；
单元应变列阵与应力列阵：
应变矩阵与应力转换矩阵；
有限单元法解平面问题
单元劲度矩阵与结点载荷列阵：
虚功原理的应用； 单元劲度矩阵的性质---对称、奇异、主元恒正； 单元劲度矩阵元素的物理意义---结点平衡；
圣维南原理：
定义、适用范围； 静力等效； 小边界上等效积分形式的边界条件；
弹性力学总复习汇总
1111 22 2 2 33 3 3 2121 2 223 2 3 231 31
两正交线元之间的直角减小量为工程剪应变 t
t 2t 2 t 2ijit j 若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j) 其余的
方向余弦均为零，则由上式得 ij 2ij (i j)
3 12 2 3 0
1 ii 1 2 3
2
1 2
ii jj ijij
12 23 31
3 eijk1i2 j3k 123
分别称为第一，第二和第三应变不变量。
第三章 应变理论
dV ' dV
dV
由于
1 1 dx1 1 2 dx2 1 3 dx3 dx1dx2dx3
弹性力学与材料力学的区别
第二章 应力理论
1 应力和内力的概念 ，应力张量 2 斜面应力公式（柯西公式）：实质是四面体微元的平衡条件。
或 v v v j viij
即：
v1 v1 11v2 21v3 31
v2 v1 12 v2 22 v3 32
v3 v1 13 v2 23 v3 33
ij
2Gij
kkij
ij
1
E
ij
E
kk ij
x
1 E
[ x
y z
1
ExE源自x 2G x ;y
1 E
[ y
z
x
1 E
y
E
即
z
1 E
[ z
x y
1
E
z
E
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
y 2G y ;
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（1）假设满足应力边界条件的应力函数 ；
（2）计算系统的形变余能U *； （3）代入应力变分法方程确定待定系数；
U 0 在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程： Am
（4）回代求出应力分量。
五、其它问题
（1）一点应力状态分析； （2）一点应变状态分析； （3）应力边界条件的列写； （圣维南原理的应用） （4）张量的基本知识； （弹性力学基本方程的张量表示）
位移边界条件： 为边界上已知的面力分量。
r , , r
满足问题的边界条件：
ur , u 为边界上已知位移， k r , k
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O x
b
x
g
y f ( y )
O
gy
x
y xf ( y )
( x, y)
第二章 平面问题的基本理论
（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。 （2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪 些近似简化处理？其作用是什么？
（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？
（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确 定？需要什么条件？
导数：
x y ,
在边界上值的物理意义是什么？
第三章 平面问题的直角坐标解答
（1）直角坐标解答适用于什么情况？
（2）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？
（3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？ （4）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？ （5）如何利用材料力学的结果推出应力函数 的形式？ （6）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数 的幂次数？
x
q
x
( )
O
q ( x)
r
y
r
x
r 2 f ( )
q
a a
O y
y
r 3 f ( )
x
利用叠加法求解
r
练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时， 在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 x , y 与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
y
M O
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
2
O
2
( )
2
rf ( )
（3） 楔形体一侧受分布力
x
x
r f ( )
2
r 3 f ( )
（4） 曲梁问题
M ( ) f1 (r ) q( ) f 2 (r ) r Q( ) f 3 (r )
（2） z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界 受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的 基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位 移分量。
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两 端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发 现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的 最大应力如何？最大应力发生在何处？
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
g
l
y
y 0
y
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
极坐标下 （1） 轴对称问题 应力函数
A ln r Br ln r Cr D
2 2
（4－11）
应力分量
r r 0
位移分量
r A B(3 2 ln r ) 2C 2 r
q
q
q
q
45°
q q
q
q
（4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。
(r , ) A
四、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1； （2）形变余能U *、比余能U *1； （3）总势能； （4）总余能 *； 各量的计算。 2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法； （1）应力变分法；
（2）最小余能原理；
如何设定位移函数？ 如何设定应力函数 ？ 4. 弹性力学两个基本定理 （1）解的唯一性定理；
（ 1）
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
（ 2）
应力变分方程； 最小余能原理；
（2）功的互等定理；
5. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 6. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 7. 应力变分法解题步骤：
（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 15个基本量： ui , ij, ij
平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体） 控制微分方程 （15个） 平衡微分方程（3个）： 几何方程（6个）： 物理方程（6个）：
弹 性 力 学 问 题
ij, j X i 0
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（4-13）
（2） 圆孔的孔边应力集中问题
原问题的转换：
轴对称问题
问题1
非轴对称问题
问题2 a
a
b
q r 2
b
q r sin 2 2 q r cos 2 2
f (r ) cos 2
1 4 2 Ar Br C D 2 cos 2 r
r A B(1 2 ln r ) 2C 2
（4－12）
ur 1 (1 ) A 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr I cos K sin u 4 Br Hr I sin K cos E
2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy xy y x
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 2 r
f (r )
f (r ) sin
f (r ) cos
（5） 半平面问题
P
O
y
M y
O
r
rf ( )
O
x
r
第一章 绪 论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论） （2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹 性力学基本方程时的作用是什么？举例说明哪如何规定的？与材料力学中有何 不同？
r , , r
1 （4－5） r r
1 1 2 r 2 r r r 2
（3） 将上述应力分量
2 2 r
r
ur s ur , u s u l r s m r s kr 应力边界条件： （位移单值条件） l r s m s k
y 0
O
x y
b
l
x
y f ( y )
O
g
gy
y xf ( y )
x
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
( x, y)
y
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ （平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ （用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） （4）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？ （5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？ （6）极坐标下轴对称问题应力函数 、应力分量、位移分量的特点？
2
ij 1 (ui , j u j ,i )
基本方程
1 ij (1 ) ij kk ij E
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j 位移边界条件（3个） ：
Xi
ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题