渗流数学模型

第三节 状态方程
一、液体的状态方程


液体具有压缩性，随着压力降低，体 C 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述： L 根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时 液体质量M不变,即
1 dVL VL dP
(1)
M VL
(2)

微分上式得：
dVL
M

2
d
(3) (4)

将VL、dVL代入(1)式得：
( vz ) dz z 2
第四节 质量守恒方程
1.流入流出质量差
dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：
dt时间经a"b"面流出的质量流量为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求


解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。 自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹 性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第四节 质量守恒方程
二、两相渗流的连续性方程
1．油水两相渗流的连续性方程



假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发 生化学作用， 取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒 的连续性方程。 对油相来说，在dt时间内单元六面体流出流入的质量差为
( o vox ) ( o voy ) ( o voz ) dxdydzdt y z x
第二章 油气渗流的数学模型

建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则


建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个 侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化 学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。
t

dt时间流体质量总的变化为： ( ) dxdydzdt
t
第四节 质量守恒方程

显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间 内流入与流出的质量差，即：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
第四节 质量守恒方程

如果是不可压缩流体(即ρ =常数)在刚性孔隙介质中流动 (φ =常数)，则
( ) 0 t

连续性方程为： ( ) div ( v ) 0 t
div( v ) 0


物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的 质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。 这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关， 所以又称稳定渗流的连续性方程。
3.确定未知数和其它物理量之间的关系

dP vi f A, B, dx 状态方程：物理参数和压力的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系 Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与 坐标和时间的关系：
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体) S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况


过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝 析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流 规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
(6)


CL值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变;在地下渗 流中，油气层温度大致不变，可把CL值看成常数，数量级 在10-4(1/MPa)左右。 渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流 力学过程的数学模型。
第三节 状态方程
二、气体状态方程

理想气体(分子无体积、分子间无 作用力)状态方程为


单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
第四节 质量守恒方程
一、单相渗流的连续性方程

微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元， 其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。
vx
vy
( vx ) dx x 2 ( vy ) dy
y 2
vz
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: 其微分形式为：
K P v L
K
将上式从均质地层的稳定渗流
K dP v dL
推广到非均质地层的不稳定渗流 或写成：
K P v x x K P v y y K P v z z
PV nRT
P—气体压力来自百度文库V—压力P时的气体总体积 T—绝对温度 R—气体常数 n—气体摩尔数

真实气体的状态方程
PV Z nRT
z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占 有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。
第三节 状态方程
三、岩石的状态方程


岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小 发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于 孔隙大小变化引起渗透率的变化。 V f 1 d 岩石的压缩性用压缩系数描述： C f
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
第四节 质量守恒方程
2.单元体内质量变化



经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在 六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部 分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的 弹性表现为液体密度的变化) 六面体内的孔隙体积： dxdydz 流体质量： dxdydz ( ) dxdydz 单位时间内流体质量变化率：
△φ —当压力变化ΔP时的孔隙度的改变量
Vf
P
P
dP

分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ = φ 0积分
0 C f ( P P0 )

不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第四节 质量守恒方程

根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两 相渗流时，油相的连续性方程：
div ( ogs gs )vo t ( ogs gs ) So 0

对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt时间 内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为： 自由气： div( g vg )dxdydzdt 溶解气：
可以写为

S w 对水相来讲，同样可以得出： div(vw ) 0 t
So div(vo ) 0 t
第四节 质量守恒方程
2．油、气两相渗流的连续性方程 在压力P下溶有气体

地下单位体积原油 的地下原油密度 在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由 中溶解气质量
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) y z t 散度，M点单位体积单 x 位时间向包围曲面外流 出的流体体积 上式可写成： ( ) div ( v )0
或
t
上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒 方程（连续性方程）
1 d CL dP
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)

P0下流体 的密度

分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式： CL ( P P 0) (5) 0 将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精 确性：
e
0[1 CL ( P P0 )]


确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系 （如能量转换方程、扩散方程等等）
第一节 建立数学模型的原则
4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)

用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中， 最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程
组。
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件

div( gs vo )dxdydzdt
第四节 质量守恒方程

[( gs So g S g )] dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t t

气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的 气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的 质量变化为：
六面体在dt时间x方向流入流出的流量差为：
( vx ) dxdydzdt x
第四节 质量守恒方程

同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的流量差分别为：


( v y ) y
dxdydzdt
( v z ) dxdydzdt z
dt时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：
(1)
第四节 质量守恒方程

油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内 油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱 和度为So，t+dt时刻油的饱和度为 S So dt
o

dt时间内饱和度变化为 S o dt t 饱和度变化引起的油相质量变化为
t

So o dxdydzdt t
(2)
第四节 质量守恒方程

根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等
( ovox ) ( ovoy ) ( ovoz ) dxdydzdt y z x
So o dxdydzdt t

vox voy voz So y z t x
于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在dt 时间内流入流出的质量差为：
div[( ogs gs )vo ]dxdydzdt

由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油 相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间 变化为：
( ogs gs ) So dxdydzdt t
v

gradP
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。

液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。 即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇 存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等 于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量 守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单 元体内质量应为常数。