概率统计与数学期望

概率统计与数学期望

作者：汪元忠

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第36期

【摘要】随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化的日益进程，数学在生活中的应用越来越广，生活中的数学无处不在.而数学中的一个非常重要的分支——概率统计，在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。

【关键词】概率统计数学期望

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）36-0117-01

数学期望在解数学题和实际生活中的一些应用，通过围绕数学期望在证明一些数学不等式、分析彩票中奖概率、医学普查及投资等实际问题中的应用，进一步揭示概率统计中数学期望与数学本身及实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题，数学模型的建立，学科知识的迁移奠定一定的理论基础。概率统计的分支学科—数学期望的应用尤为广泛，随着科学技术的发展与计算机的普及，它已广泛地应用于各行各业，成为研究自然科学，社会现象，处理工程和公共事业的有力工具，下面浅谈数学期望在实际生活中的一些应用：

数学期望在商品出售获利方面的应用：按节气出售的某种节令商品，每售出1斤可获利a 元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1斤净亏损b元。设商店在季度内这种商品的销量是一随机变量，在区间内服从均匀分布。为使商店所获利润的数学期望最大，问该商店应进多少货？

分析如下：设t表示进货数，进货t所获利润记为Y，则Y是随机变量，

令=0，得驻点t=由此可知，该店应进公斤商品，才能使利润的数学期望最大。

数学期望在医学普查中的应用：某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右，假若要对该地区5000人经行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐个检查减少了次数？

分析如下：设将这5000人分成5000/K组，每组k人，每人所需检验的次数为随机变量，则的概率分布为：

每人平均所需检验次数的期望为：

当K=2，3，4……时，EX，即每人平均所需次数小于1。这比逐次检查的次数要少。并且由数学分析中的知识可知当K取16时，最小。即将5000人大致分为每组16人检验时，检验所需次数最少。

数学期望在商家举行的免费抽奖中的应用：袋中有大小相同的球20个、10个10分、10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球分数之和即为中奖分数，获奖如下；

一等奖 100分，家电一件，价值2500元；二等奖 50分，家电一件，价值1000元；

三等奖 95分，洗发精8瓶，价值176元；四等奖 55分，洗发精4瓶，价值88元；

五等奖 60分，洗发精2瓶，价值44元；六等奖 65分，牙膏一盒，价值8元；

七等奖 70分，洗衣粉一袋，价值5元；八等奖 85分，香皂一块，价值3元；

九等奖 90分，毛巾一条，价值2元；十等奖 75分与85分为优惠奖，仅收成本22元，将得到洗发精一瓶。

分析如下：表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到九等奖是白得的，只有十等奖收费，也仅收成本费。事实上，用概率知识分析一下：摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件P（X=2500）=，X取值2500，1000，176，88，44，8，5，3，2，-22，概率可依次得出，其概率分布为：

E（X）==-10.098，表明商家在平均每一次抽奖中获得10.098元钱，而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费抽奖，却没机会获得大奖。

数学期望在彩票双色球中的应用：“双色球”是一种联合发行销售的“乐透型”福利彩票。它采用计算机网络发行销售，定期电视开奖。“双色球”由中国福利彩票发行管理中心统一组织发行，在全国销售。这种彩票摇奖球分为红色、蓝色两种，故命名为“双色球”。

一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限）；

二等奖：6个红色球号码相符；三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

四等奖：5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

五等奖：4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）。

下面是各等奖的中奖概率的计算，双色球中头奖的概率：×16=（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）×16=17721088双色球中头奖的概率为p（1）=1/17721088

双色球二等奖的概率为：p（2）=1/=1/（（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）

=1/1107568

双色球三等奖的概率为：p（3）=1/ （×16）=1/（（33×32×31×30×29）×16/

（5×4×3×2×1））=1/3797376 ......

总之，知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中，其价值也就在于此。上面知识例举了概率在实际问题中应用的几个小片段，然而，作为一门独立的学科，数学期望的足迹可以说已经深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见。只要我们善于把握，善于挖掘，善于用数学期望知识来解决问题，就能使它在实际生活中发挥更多作用。本文通过探讨数学期望这一随机变量的一些重要数学特征在数学问题及实际问题中的一些应用来使大家对数学期望有更深的了解。