2020-2021学年广西南宁市第三中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年广西南宁市第三中学高二12月月考数学（理）

试题

一、单选题

1．已知集合()22,194x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，(){},B x y y x ==，则A B 中有几个元素

（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【分析】判断出椭圆22

194

x y +=与直线y x =的交点个数，即可选出答案.

【详解】由题，联立22

194

x y y x ⎧+

=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得213360x -=，则413360∆=⨯⨯>， 即椭圆22

194

x y +=与直线y x =有两个交点，所以A B 中有2个元素，

故选：B

2．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）

A ．22

110091

x y +=

B ．2100y 2

191x +=

C ．22

12516

y x +=

D ．22

12516

x y +

= 【答案】C

【分析】根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程.

【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，

又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为22

12516

y x += ，故选C

【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 3．“2

π

ϕ=

”是“cos 0ϕ=”的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当cos 0ϕ=时，,2

k k Z π

ϕπ=+∈，

故“2

ϕπ

=

”是“cos 0ϕ=”的充分不必要条件． 故选：A.

4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球 【答案】C

【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：

3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；

选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.

5．若曲线22

x y 12k 2k

+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )

A ．k 2>

B ．k 2<-

C ．2k 2-<<

D ．2k 0-<<或0k 2<<

【答案】D

【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得k 的取值范围．

【详解】由题设可得202022k k k k ->⎧⎪

+>⎨⎪-≠+⎩

，解得22,0k k -<<≠，故选D ．

【点睛】对于曲线22

1x y m n

+=，

（1）如果该曲线为椭圆，则0,0,m n m n >>≠，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的椭圆，则有0m n >>；如果表示焦点在y 的椭圆，则0n m >>；

（2）如果该曲线为双曲线，则0mn <，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的双曲线，则有0,0m n ><；如果表示焦点在y 的双曲线，则0,0n m ><．

6．若点P 在椭圆2

212

x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且1290F PF ∠=︒，则

12F PF ∆的面积是（ ）

A ．

12

B C ．1 D ．2

【答案】C

【分析】由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定12F PF ∆的面积即可. 【详解】设12,PF m PF n ==，利用椭圆的定义和勾股定理有：

222

244

m n a m n c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，则：()()

2

2224=+-+=mn m n m n ， 12F PF ∆的面积1

12

S mn =

=. 本题选择C 选项.

【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系． 7．某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ） A ．

25

B ．

35

C ．

815

D ．

115

【答案】B

【分析】本题首先可以根据题意写出任取2听的所有可能事件，然后写出有不合格饮料的所以可能事件，最后两者相除，即可得出结果.

【详解】设6听饮料中的2听不合格饮料为a 、b ，其余4听合格饮料为A 、B 、C 、

D ，

从中任取2听的所有可能事件为：AB 、AC 、AD 、Aa 、Ab 、BC 、BD 、Ba 、

Bb 、CD 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共15种，

其中有不合格饮料的所以可能事件为：Aa 、Ab 、Ba 、Bb 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、

ab 共9种，

则检测到不合格的概率93155

P ==， 故选：B.

【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否找出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.