圆的分类讨论
与圆有关的分类讨论思想例谈
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与圆有关的分类讨论思想例谈
作者：王鹏程
来源：《语数外学习·中旬》2013年第01期
分类讨论，就是当对问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类对象分别进行研究得出每一类的结论，最后综合结果得到整个问题的解答。
在中考中，有关圆的涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类题不仅考查了学生的数学基本知识与基本方法，而且考查了学生思维的深刻性。
本文结合近年来中考中出现的一些试题谈一谈分类讨论思想在有关圆的问题中的应用。
一、根据点的位置分类讨论
例1 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是（）.
A.当a＜5时，点B在⊙A内
B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外
D.当a＞5时，点B在⊙A外
解析：弦AB所对的圆周角的顶点可以在AB所对的优弧上，也可以在AB所对的劣弧上，故本题应分优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角两种情况进行讨论。
“圆”中渗透的数学思想
“圆”中渗透的数学思想作者：赵传东来源：《初中生世界·九年级》2017年第05期数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.一、圆中的分类思想由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.1.点和圆位置关系中的分类讨论.例1 如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）.A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.∴∠BDC的度数为25°或155°.【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.2.直线和圆位置关系中的分类讨论.例2 如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）.A.1B.1或5C.3D.5【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y 轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.3.圆与圆位置关系中的分类讨论.例3 以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为 .【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=[12]（3-1）=1（cm）；②若圆P与小圆内切，如图3（2），此时圆P的半径=[12]（3+1）=2（cm）.【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.二、圆锥中的转化思想例4 如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 .【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的最短路线的长实际上是扇形中弦AB的长度.[AB]的长度就是圆锥的底面周长.解：圆锥侧面展开图扇形的圆心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根据勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距离为[82].【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.例5 如图5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）.A.4πB.[42π]C.8πD.[82π]【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周所形成的几何体是由有公共底面的两个相同圆锥构成，其底面半径为2，母线长为[22]，圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，即为2×π×2=4π，半径是圆锥的母线长[22]，根据扇形的面积公式可求得这个圆锥的侧面积为[12]×4π×[22]=[42]π，所以几何体的表面积为[42]π×2=[82]π.故选D.【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。
圆的分类讨论例题及习题
圆的分类讨论例题及习题圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。
解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。
PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :H .所以，圆0的直径为2或6。
练习1:若。
0所在平面内一点P 到。
0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（）2: P 在。
0内，距圆心0的距离为4,。
0半径长为5,经过P 点， 有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。
3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。
（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ）k _________ 止 ______________ ________ LAP . 定点 交于。
圆中的分类讨论.doc
分类讨论大聚焦之圆中的分类讨论板块一：圆周角】点在优弧上、点在劣弧上【板块二：相切】相切分为内切、外切圆沿直线运动分为两类两圆四种相切方式：左边外切，左边内切，右边内切，右边外切；圆与定直线两种相切方式：左边相切、右边相切，或者上边相切、下边相切 两圆相内切，小圆大圆不确定，需要分类讨论.【板块三：弦】两弦可能在圆心同侧、异侧两圆心在公共弦同侧、异侧二、专项训练【板块一：圆周角】1. 已知，AB 是圆O 的弦，AC 是圆O 的切线，∠BAC=60°，则弦AB 所对的圆周角等于__________．2. （2010荆门）在⊙O 中，直径为4，弦AB =C 是圆上不同于A 、B 的点，那么∠ACB 度数为 ．【板块二：相切】3. 已知圆O1的半径为7，圆O 2的半径为9，两圆相切，求O 1 O 2．4. （2011广东）如图，⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙O 2沿直线O 1O 2平移至两圆相外切时，则点O 2移动的长度是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．8 或165. (2011浙江) 如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上，它们分别以2cm/s和1cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点 A 、B 分别平移到点A 1、B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1与半径为BB 1的⊙B 相切，则点A 平移到点A 1的所用时间为 s.6. （2011江苏）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象是直线l 1，l 1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．直线l 2过点C (a ，0)且与l 1垂直，其中a >0，点P 、Q 同时从A 点出发，其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位；点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位.（1）写出A 点的坐标和AB 的长；（2）当点P 、Q 运动了t 秒时，以点Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线l 2 、y 轴都相切，求此时a 的值．7. 已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径．8. （2011江苏）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8 cm ，P为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2 cm /s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．（1）当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； B A334y x =+（2）已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．【板块三：弦】9. 圆O 的半径为5cm ，弦AB //CD ，AB =6cm ，CD =8cm ，求AB 和CD 间的距离．10. 已知圆O 的半径为1，弦AB，ACBAC ．11. 已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 ．12.相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_______．。
442 圆相切问题的分类讨论(学生版)
1
圆相切问题的分类讨论 知识定位
知识梳理
知识梳理1：直线和圆相切
直线与圆相切问题的求解方法和策略：
①利用题目中的条件找到圆心到直线的距离d ；
②用含x 的代数式表示圆的半径r 和圆心到直线的距离d ；
③根据圆与直线位置关系列方程求解：当直线与圆相切时d r =； ④解方程并根据题目中的条件取舍答案。
知识梳理2：圆和圆相切
圆与圆相切问题的求解方法和策略：
（1）先用x 的代数式表示两圆的半径和圆心距，再分内切和外切讨论： ①当两圆外切时：12d
r r =+；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径） ②当两圆内切时：12d r r =-；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径）
（2）根据题目条件，求解时注意取舍解的情况。
例题精讲
【题目】如图，∠ABC=90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心， 1OB 2长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针旋转 °（0° ＜
＜180°）时与⊙O 相切。
C O。
中考复习之分类讨论思想-圆
A O P
B
A O
B P
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA+PB = a+b 半径为
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA-PB = a-b 半径为
综合（1）（2）可知，此圆的半径为 a b
圆都相切的圆有
与两圆均内切.
5
个.
与两圆均 外切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与两圆均 外切.
分类讨论思想在圆中应用的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
F
B
OE=3cm
OF=4cm
OE=3cm
OF=4cm
∴ EF=OF-OE=1cm
∴ EF=OF+OE=1cm
分类思想 圆中的应用
三、圆的大小或位置不唯一
例3、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若 以点Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点， 则R的值为多少？ B B
D C A C A
分类讨论：（1）当圆的半径R<3时
12 R= 5
（3）当圆的半径R>3时 从圆由小变大的过程中，可知R
3＜ R
4
4
（2）当圆的半径R=3时 圆与斜边有2个交点，不合题意。
∴综上可知，当 R= 5
12
或 3＜ R
4 时，
圆与斜边只有一个公共点.
圆中的分类讨论问题(无答案)
圆中的 分类讨论 问题一.试题链接2008上海市中考18题： 在⊿ABC 中，AB=AC=5,cosB= ，如果圆O 的半径为 ,且经过点B 、C,那么线段AO 的长等于_______。
二.分组练习,引出课题例1：已知☉O 的半径为10cm,该圆的弦AB ∥CD,且 AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD 之间的距离为_______。
例2:已知点P 到☉O 的最小距离为3cm,最大距离为9cm, 则☉O 的半径是_______。
例3：直线L 到某圆（半径为5 cm ）的圆心的距离为5cm ，则直线L 和该圆的位置关系是_______。
例4：已知☉O1与☉O2相切,如果两圆的圆心距为12,☉O1的半径为5,那么☉O2的半径是_______。
三.分类讨论垂径定理例5： 在直径为20的圆中，有一弦长为16， 则它对的弓形的高是_____。
例6：在半径为1的☉O 中，弦AB,AC 的长分别是 和 则∠BAC=__________ 度。
点和圆的位置关系例7: 已知点P 到☉O 的最小距离为acm,最大距离为bcm, 则☉O 的半径是_______。
直线和圆的位置关系例8：直线和圆有公共点，则直线和圆的位置关系是_______。
例9：直角⊿ABC 中，∠C=90º,AC=3,AB=5,以C 为圆心的☉C 与边AB 没有交点 ，半径r 的取值范围是__________。
有一个交点时 r 的取值范围是_______。
圆和圆的位置关系例10：圆O 1与圆O 2内切，如果两圆的圆心为12，圆O 1的半径为13那么圆O 2的半径是_________。
例11：半径为3和8的两圆无公共点,则圆心距d 的取值范围是___________。
例12：相交两圆的公共弦AB 长为24，两圆O 1O 2的半径分别为15和13，则两圆的圆心距等于 _________。
相交两圆的公共弦AB 长为24，O 1O 2=4,圆1的半径为13，則圆O 2的半径为____________。
2025年河北省中考数学提分专项训练++专项+分类讨论思想在圆中的课件
类型5 动态问题引发的分类讨论
6.[2024石家庄校级月考] 如图，已知直线l的 表达式是y = 4 x − 8，并且与x轴、y轴分别交
3
于A，B两点.一个半径为3的⊙ C，圆心C从点
(0,3)开始以每秒2个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当
⊙ C与直线l相切时，⊙ C运动的时间为( A )
A.3 s或8 s
∴ 四边形QHCD是矩形.∴ HQ = CD = 12，
HQ//CD.
又∵
点O′是EF′的中点，∴
O′Q=Βιβλιοθήκη 1 2DE.∵ DE = DC − CE = 12 − 2 = 10，∴ O′Q = 5.
易知半圆O′的半径为6，
∴ MH = HQ − QO′ − O′M = 12 − 5 − 6 = 1，
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4.已知⊙ O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距 离为3 cm，求直线l与⊙ O的位置关系. 【解】∵⊙ O的半径= 6 = 3(cm)，且直线l上存在一点到圆心
2
O的距离为3 cm， ∴ 直线l与⊙ O至少有一个交点. 当⊙ O与直线l有且只有一个交点时，直线l与⊙ O相切； 当直线l与⊙ O有两个交点时，直线l与⊙ O相交. ∴ 直线l与⊙ O的位置关系是相切或相交.
∵ ∠AOP = 45∘ ,∴ 点P的横、纵坐 标相等.可设P(a, a). ∵ ∠AOB = 90∘ ,∴ AB是直径. ∴ Rt △ AOB外接圆的圆心为AB的中 点. 设AB的中点为C，则C( 3, 1).
过点P作PE ⊥ OA于点E，过点C作 CF//OA，交PE于点F，连接PC. 易得∠CFP = 90∘ ,PF = a − 1， CF = a − 3，PC = 2. ∴ 在Rt △ PCF中， (a − 3)2 + (a − 1)2 = 22，解得 a1 = 3 + 1，a2 = 0（舍去）.
专题14 圆中的两解及多解问题分类讨论思想)归类集训-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练
专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）类型一讨论弦上某点或端点的位置1．在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为 ．思路引领：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．解：作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB＝8，由勾股定理得，OC=OA2―AC2=6，∴PC=OP2―OC2=27，当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣27，当点P在线段BC上时，AP＝8+27，故答案为：8﹣27或8+27．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm思路引领：分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2―AM2=52―42=3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM2=42+82=45（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25（cm）；综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C．总结提升：本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．（2020•黑龙江）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP ＝ ．思路引领：如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，则AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB=5，BE＝2，∴OE=OB2―BE2=1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴PA＝PC＝1，∴S△APC=12×1×1=12；如图2，同理：S△APC=12×3×3=92；如图3，同理：S△APC=12×1×3=32；故答案为：12或32或92．总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．类型二圆心在两弦之间或者两弦之外4．（2021•商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题．解：作半径OD⊥AB交AB于C，连接OB，如图所示，由垂径定理得：BC=12AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC=502―302=40cm，当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，则OC′=502―402=30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ；（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是 ；（3）已知圆内接△ABC中．AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．思路引领：（1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数；（2）连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可；（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm．解：（1）如图1，过O作OD⊥AB，则AD=12AB=12×3=32．∵OA＝1，∴sin∠AOD=ADOA=32，∠AOD＝60°．∵∠AOD=12∠AOB＝60°，∠ACB=12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOD＝60°．又∵四边形AEBC是圆内接四边形，∴∠AEB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°．故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．故答案为：60°或120度．（2）解：有两种情况：①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=32，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图3所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=22，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°；（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，∵AB＝AC，∴AD是BC的中垂线，∴OD也是BC的中垂线，∴A、O、D三点共线，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD=OB2―OD2=210cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB=AD2+BD2=235cm；如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm，∴AB=AD2+BD2=214cm，综上可得腰长AB＝235cm或214cm．总结提升：本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．类型三讨论点在优弧上或劣弧上6．（2022秋•双城区期末）已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为 ．思路引领：由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD和CE的长．解：如图，∵C是弦AB的中点，AB＝23，∴OC⊥AB，AC=12AB=3，∴AD=BD，AE=BE，在Rt△AOC中，OC=22―(3)2=1，∴CD＝2﹣1＝1cm，CE＝2+1＝3．故答案为：1或3．总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 ．思路引领：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点．（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数；（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A＝50°，∴在△ABC中，∠COB＝130°，∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，∴∠BP1C＝65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，∵∠BP1C＝65°，∴∠BP2C＝115°故答案为：65°或115°．总结提升：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用．类型四弦所对的圆周角7．（2018秋•泗阳县期中）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于 ．思路引领：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB＝90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=12∠AOB＝45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB＝180°﹣∠ADB＝135°．故答案为：45°，135°．总结提升：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．9．（2020秋•溧阳市期末）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝23，则∠A的度数为（ ）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°思路引领：首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC＝23，∴BD＝4，∴CD=BD2―BC2=2，∴CD=12 BD，∴∠CBD＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，∴∠A′＝180°﹣∠A＝120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．总结提升：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．类型五讨论圆内接三角形的形状10．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB 于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 ．思路引领：如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝53，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=2OB＝52．解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD =32OB =532，∴BC ＝AB ＝53，如图2，当∠DOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴BC =2OB ＝52，综上所述：若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或52，故答案为：53或52．点睛：本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．101．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，求BC 边上的高．思路引领：从圆心向BC 引垂线，交点为D ，则根据垂径定理和勾股定理可求出，OD 的长，再根据圆心在三角形内部和外部两种情况讨论．解：连接AO 并延长交BC 于D 点，∵AB ＝AC ，∴AB =AC ，根据垂径定理得AD ⊥BC ，则BD ＝4，根据勾股定理得OD ＝3①圆心在三角形内部时，三角形底边BC 上的高＝5+3＝8；②圆心在三角形外部时，三角形底边BC 上的高＝5﹣3＝2．所以BC 边上的高是8或2．总结提升：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．类型六讨论点与圆的位置关系12．（2020•南通模拟）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 ．思路引领：点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为a+b 2；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是a―b 2；故答案为：a+b2或a―b2．总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．13．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．思路引领：分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可解：①当P在⊙O外时，如图，∵P当⊙O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，∴PB＝6cm，PA＝2cm，∴AB＝4cm，∴⊙O的半径为2cm'；当P在⊙O内时，，此时AB＝8cm，⊙O的半径为4cm．即⊙O的半径长为2cm或4cm．解题秘籍：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．类型七讨论直线与圆的位置关系14．（2021•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切思路引领：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．15．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．思路引领：如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，∴CH=24 5，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，∴r的取值范围为r＜24 5，∵⊙C与AB边只有一个公共点，∴r的取值范围为6＜r≤8或r=24 5，故答案为：r＜245，6＜r≤8或r=245．总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（衢州中考）如图，已知直线l的解析式是y=43x﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l 相切时，则该圆运动的时间为（ ）A．3秒或6秒B．6秒C．3秒D．6秒或16秒思路引领：由y=43x﹣4可以求出与x轴、y轴的交点A（3，0）、B（0，﹣4）坐标，再根据勾股定理可得AB＝5，当C在B上方，根据直线与圆相切时知道C到AB的距离等于1.5，然后利用三角函数可得到CB，最后即可得到C运动的距离和运动的时间；同理当C在B下方，利用题意的方法也可以求出C 运动的距离和运动的时间．解：如图，∵x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝3，∴A（3，0）、B（0，﹣4），∴AB＝5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于1.5，∴CB＝1.5÷sin∠ABC＝1.5×53=2.5；∴C运动的距离为：1.5+（4﹣2.5）＝3，运动的时间为：3÷0.5＝6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）＝8，运动的时间为：8÷0.5＝16．故选：D．总结提升：此题首先注意分类讨论，利用了切线的性质和三角函数等知识解决问题．17．（2018•浦东新区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O 与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．思路引领：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r﹣1＝3，得r＝4，如图二所示，r+1＝3，得r＝2，故答案为：2或4．总结提升：本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．18．（2021秋•新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O 点放置在AC 的中点上，DE 与直角边AC 重合，如图1所示，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，OD ＝3，量角器交AB 于点G ，F ，现将量角器DE 绕点C 旋转，如图2所示．（1）点C 到边AB 的距离为 245 ．（2）在旋转过程中，求点O 到AB 距离的最小值．（3）若半圆O 与Rt △ABC 的直角边相切，设切点为K ，求BK 的长．思路引领：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理求得AB ，再利用AB •CH ＝AC •BC ，即可求得答案．（2）当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，再由OH ＝CH ﹣OC ，即可求得答案．（3）分两种情况：①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理即可求得答案；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理求得CK ，再利用勾股定理即可求得BK ．解：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10，∵CH ⊥AB ，∴AB •CH ＝AC •BC ，∴CH =AC ⋅BC AB=6×810=245，即点C 到边AB 的距离为245，故答案为：245.（2）∵O 为AC 的中点，∴OC =12AC =12×8＝4，当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，∴OH ＝CH ﹣OC =245―4=45，∴点O 到AB 距离的最小值为45．（3）①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，∴BK ＝BC ﹣CK ＝6―7；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，在Rt △BCK 中，BK =BC 2+CK 2=62+(7)2=43；综上所述，BK 的长为7或43．解题秘籍：本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题．。
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
圆中的分类讨论
圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。
如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。
因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。
一、点与圆的位置关系不唯一性例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）。
（A）（B）（C）或（D）a+b或a－b分析：P可能在圆内，也可能在圆外。
图1—1 图1—2⑴P在圆内时。
如图1—1。
连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。
则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）⑵P在圆外时。
如图1—2。
此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）由⑴⑵可知，应选（C）。
二、弦与弦的位置关系不唯一性例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。
（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
图2—1 图2—2⑴弦AB与CD在圆心的同侧。
如图2—1。
过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。
连接OB，OD。
∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm∴MN= OM－ON=4－3=1 cm⑵弦AB与CD在圆心的异侧。
如图2—2。
此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。
例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。
分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。
⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。
例析与圆有关的分类讨论
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例析与圆有关的分类讨论
作者：曹经富
来源：《数理化学习·初中版》2013年第09期
在近几年的各类考试中，分类讨论思想方法深受命题者的青睐与关注.分类讨论是根据数
学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它能训练人的思
维条理性和严密性.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，而圆作为初中阶段最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识、能力和思想的载体.为此，让我
们结合有关试题，一同的感受圆中的分类讨论思想，体验它的魅力.
一、与圆有关的点
点评：解决动态问题的关键是动中化静，整体地把握两圆之间的位置与相关数量之间关系相互转化，寻找出变量关系式，抓住运动变化过程中暂时静止的某一瞬间，运用数学分类讨论思想进行操作与分析，便会发现解题的思路、方法.
[江西省安福县城关中学（343200）]。
与圆的位置关系有关的分类讨论
因 ，ｃ坐为ｌ， 此 的标 （ 点 ｔ ＋
点 为 Ｃ， 时 Ｐ 上 Ｄ 所 以 ， 此 ｃ Ｃ，
ＯＣ ＝ ＯＰＣ Ｓ３ ￣ Ｏ ０ ，
） ．
（） 当 ｏ Ｐ 与 Ｄ ２① Ｃ相 切 时 （ 图 ２ ， 如 ）切
即
１ ：３ ． ＋ｔ ×
解得 ｔ ：
一１ ．
， ，
一
解得 ｔ √ ：９ ３±６ － ． ｄ ６—１ 因为 ｔ √ ：９ ３—６ － ｄ ６—１ ０ 所 以 ， ＜ ，
ｔ ＋６ － ：９ ｄ ６—１ ．
５ 所 以 ，０ ： 一５ 解得 ＝７ ５ ． １一 ． ．． 所 以ｏ Ｏ 的半 径是 ２ ５ｃ ． ｍ或 ７ ５ｃ ． ｍ．
２０ 年第 ７期 ０８
即（ ） （ ＋ （＋
：
一 ３ ）
解 ： ｏ Ｏ 的半 径为 ． 设
如图 ５ ｏ 大 圆 内切 ， 小 圆外 切 ， ， Ｏ与 与
则 有 ５ ｘ：１ ， ＋２ ０ 解得 ：２ ５ ．．
如 图 ６ ｏ Ｏ 与 两个 圆都 内切 ， ， 与大 圆 内 切 ， Ｏ ：１ ， 小 圆 内 切 ， Ｏ 有 Ｏ ０一 与 有 Ｏ ：
（ ５ Ａ）
）ｍ． ｃ
（ ）３ Ｂ １
图 ７
（） Ｃ ９或 １ ３
（ ） 或 １ Ｄ５ ３
（） 写 出点 Ａ、 之 间 的距 离 ｄ ｃ 与 １试 （ｍ） 时 间 ｔｓ之 间 的 函数表 达 式 ； （） （） ２ 问点 Ａ 出发 后 多少 秒两 圆相切 ？
（０ ８ 山东 省威 海 市 中考题 ） ２０ ，
ｔ ｓ之 间 的关 系 式 为 ｒ ＋ｔ ｔ ） （） ：１ （ ≥０ ．
ｔ 的值 是 ３ ３ ４
圆的分类讨论问题
圆的分类讨论问题陈开金分类讨论是指在解题过程中，根据某一数学对象的数学属性，按照一定的标准分成若干类型逐一解决的思维方法。
它有助于我们条理清晰地全面解决问题。
在圆的有关问题中，需要分情况讨论的问题林林总总，以往有不少人对此进行收集整理，但都不够详尽。
一. 根据点和圆的位置分类例1. 已知点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆O 上各点的最短距离为2，最长距离为4，则圆O 的直径为_________。
解析：根据点P 和圆的位置关系，可分点在圆内和点在圆外两种情况。
过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆外时，如图1所示，直径2PB PA AB =-=； （2）当点P 在圆内时，如图2所示，直径6PB PA AB =+=。
所以，圆O 的直径为2或6。
二. 根据圆心和弦的位置分类例2. 圆O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，弦AB 长8cm ，另一条弦CD 长6cm ，则这两条弦之间的距离为_______。
解析：两条平行弦AB 与CD 可能在圆心O 的同侧，也可能在圆心的异侧。
应用垂径定理，不难计算圆心O 到弦AB 的距离3OF =cm ，圆心O 到弦CD 的距离cm 4OE =。
（1）当AB 与CD 在圆心O 的异侧时，如图3所示，AB 与CD 间的距离为7OF OE EF =+=；（2）当AB 与CD 在圆心O 的同侧时，如图4所示，AB 与CD 间的距离为1OF OE EF =-=。
可见，这两条弦之间的距离为7cm 或1cm 。
例3. 已知，圆O 的半径为1，弦2AB =，3AC =，则∠BAC=_________。
解析：也分两弦AB 与AC 分别在圆心O 的异侧和同侧两种情况。
分别过点O 作AC OE ,AB OD ⊥⊥，由垂径定理，23AE ,22AD ==。
由勾股定理知，21CE ,22OD ==，所以∠OAD=45°，∠OAE=30°。
分类讨论题(含标准答案)
分类讨论题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
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1.点P到⊙O上一点的最长距离为10，最短距离 为6，求⊙O的直径。 16或4
当点P为圆O内一点，过点P作圆O直径，分别交圆O于A，B，由题 意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10， 所以圆O的半径为（10+6）/2=8 ；
当点P在圆外时，作直线OP，分别交圆O于A，B，由题可得P到 圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O 的半径（10-6）/2=2 。
解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交 CD于F，则EF⊥CD． ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE= 1/2AB=3，CF= 1/2CD=4． 根据勾股定理，得 OF=
AO - AE 4 ，OE=
2
2
CO - CF 3
2
2
．
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1； ②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF=7． 则AB与CD间的距离为1或7． 故答案为1或7．
两圆相切分为内切和外切两种情况： 内切d=R-r=5-3=2 外切d=R+r=5+3=8
②若两圆相内切，一圆的半径为8，圆心距d=3， 求另一圆的半径R。
3=8-R 3=R-8
R=5 R=11
③ 已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm， ⊙O1的半径为4cm，求⊙O2的半径。
内切时：9=4+R R=5 外切时：9=R-4 R=13
③在⊙O中，直径AB=2，弦AC= 2 ，弦 AD= 3 ，求∠CAD的度数。
当AC、AD在AB的同侧时 ∠CAD=45 ° -30 ° =15° 当AC 、AD在AB的异侧时 ∠CAD=45 ° +30 ° =75°
四、两圆的位置关系不确定时的分类
①已知相切两圆的半径分别为3和5，求圆心距d 的值。
ห้องสมุดไป่ตู้ 三、点在圆周上位置不明确的分类
①已知△ABC内接于圆O，∠OBC=35°，则 55°或125° 。 ∠A的度数为________
②在⊙O中，直径为12，弦AB=6 3 ，点C是圆上 不同于A、B的点，求∠ACB的度数。 根据C在优弧AB和劣弧AB上两种情况分类求解．
解：如图：过O作OD⊥AB于D，连接OA、OB． Rt△OAD中，OA=6，AD=3， ∴∠AOD=60°，∠AOB=120°， ∴∠AEB=1/2∠AOB=60°． ∵四边形AEBF内接于⊙O， ∴∠AFB=180°-∠AEB=120°． ①当点C在优弧AB上时，∠ACB=∠AEB=60°； ②当点C在劣弧AB上时，∠ACB=∠AFB=120°； 故∠ACB的度数为60°或120°．
2.点P到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1， 求该圆的半径。
4或5
二、圆心与弦的位置不确定时的分类
已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8， 求AB与CD间的距离。
此题分为两种情况：两条平行弦在圆心的同侧或两条平行弦在圆心的两 侧．根据垂径定理分别求得两条弦的弦心距，进一步求得两条平行弦间的 距离．
五、直线与圆的位置关系
①.⊙O的半径R=5，直线l上有一点P，且OP=5， 试判断直线l和⊙O的位置关系。
相切或相交
②.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=5， BC=12，若以C为圆心，R为半径作的圆与斜边 AB只有一个公共点，求R的取值范围。
相切时只有一个公共点，此时R=60/13
不相切时，5＜R≤12