圆中的分类讨论习题

细说圆中得分类讨论题------之两解情况

钱漪 由于圆既就是轴对称图形,又就是中心对称图形,还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论就是一种同学们应该掌握并且相当重要得数学思想,对于锻炼同学

们得缜密思维与分析问题能力异常得重要,但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意,明白题干得要求,二要有顺序步骤得做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆得位置分类

例１、点P 就是圆O 所在平面上一定点,点P 到圆上得最大距离与最短距离分别为８与２,则该圆得半径为 。

分析:根据点与圆得位置关系,这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内与点在圆外两种情况。

解:过点P 与圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 得最长距离与最短距离。

(1)当点P 在圆内时; (2)当点P 在圆外时;

所以,圆O 得直径为2或6。 二、三角形与圆心得位置关系

例２:已知内接于圆O,

,则

得度数为________。

分析:因点A 得位置不确定。所以点A 与圆心O 可能在BC 得同侧,也可能在BC 得异侧。也可分析为圆心在得内部与外部两种情况。

解:(1)当点A 与圆心O 在BC 得同侧时,如图3,

B P

A

(2)当点A 与圆心O 在BC 得异侧时,如图4,

所以

得度数就是

或

。

练习:已知圆内接中,AB=AC,圆心O 到BC 得距离为3cm,圆得半径为6cm,求腰长AB 。(两种情况如图5、图6)

A

C

图5 图6

三、角与圆心得位置关系

例3:在半径为1得⊙O 中,弦AB 、AC 得长分别为

与

,则∠BAC 得度数就是____。

分析:角与圆心得位置关系为圆心在角内部与外部两种情况。 解:如图7,当圆心在∠BAC 内部时,连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中,由勾股定理得:,所以

∠BAE ＝30°

同理,在Rt △CAE 中,EC ＝AC, 所以∠EAC ＝45°,

当圆心O 在∠BAC 得外部时(∠BAC'),由轴对称性可知:

所以∠BAC 为

75°或15°

四、圆中两平行弦与圆心得位置关系

例4、 圆O 得直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,,求AB 与CD 得距离。

分析:题中得弦AB 、CD 都比圆O 中得直径小,所以AB 与CD 可能在圆心得同侧,也可能在圆心得异侧。

C'

E

C

A

解:(1)当AB、CD在圆心得同侧时,如图8,过点O作交AB于点M,交CD于N,连结OB、OD,得,,然后由勾股定理求得:,故AB与CD得距离为1cm。

(2)当在圆心得异侧时,如图9,仍可求得。故AB与CD得距离为7cm。

所以AB与CD得距离为1cm与7cm。

五、圆与圆得位置关系

例5、已知圆与圆相内切,圆心距为,圆

半径为,求圆得半径。

分析:根据两圆相内切得特点:圆心距等于大圆半径

减去小圆半径。但该题得条件中没有给定谁就是大圆,

谁就是小圆。这时可把圆瞧成大圆,也可把圆瞧成小圆。

解:(1)当圆就是大圆时,则圆得半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm,求得圆得半径为3cm。

(2)当圆就是小圆时,则圆得半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆

得半径为5cm。

所以圆得半径就是3cm或5cm。

例6、两圆相切,半径分别为4cm与6cm,求两圆得圆心距。

分析:此题中得两圆相切没有说明就是内切还就是外切,所以应该分两种情况考虑。

解:(1)当两圆内切时,两圆心得距离等于大圆半径减去小圆半径,即。

(2)当两圆外切时,两圆心得距离等于大圆半径加上小圆半径,即。

所以两圆得圆心距就是2cm或10cm。

例7、相交两圆半径分别为5 cm 与4cm ,公共弦长6cm,则两圆得圆心距等于_______

分析:注意两圆心在公共弦长两侧与同侧两种情况

补充:

1、弦所对弧得优劣情况不确定

已知横截面直径为100cm得圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水得最大深

度。

20cm或80cm

2、已知圆与圆相内切,

分析:根据两圆相内切得特点:圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题得条件中没有给定谁就是大圆,谁就是小圆。这时可把圆瞧成大圆,也可把圆瞧成小圆。

解:(1)当圆

就是大圆时,则圆

得半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm,求得圆

得半径为3cm 。

(2)当圆就是小圆时,则圆得半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm,求得圆

得半径为5cm 。

所以圆

得半径就是3cm 或5cm 。

3、相交两圆得半径分别为8与5,公共弦为8,这两个圆得圆心距等于_________。 分析:因两圆得半径都大于公共弦长得一半,所以两圆得圆心可能在公共弦得同侧,也可能在公共弦得异侧。

解:(1)当两圆得圆心在公共弦得同侧时,如图6,设AB 就是公共弦,交AB 于点C,则

,由勾股定理解得

,故

。

A

B

C

O 1O 2

图6

(2)当两圆得圆心在公共弦得异侧时,如图7,可求得

。故

。

A O 1

C

O 2

B

所以这两圆得圆心距为

或

。

4、如图8,在平面直角坐标系中,P 就是经过O(0,0),A(0,2),B(2,0)得圆上得一个动点(P 与O 、B 不重合),则∠OAB ＝_________度,∠OPB ＝_________度。