小学五年级奥数举一反三第六周尾数和余数资料

练习一
1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件 的两位数有哪些？
317-2=3×3×5×7，15,21,35,45,63
2、写出除349后余4的全部两位数？
345=3×5×23，15,23,69
3、写出除1095后余3的全部三位数？
1092=2×2×3×7×13，156,182,273,364,546
五年级奥数 举一反三
第六讲 尾数和余数
知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法 中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾 数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种 规律能解决一些看起来无从下手的问题。
余数的性质
（1）被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商 商＝（被除数－余数） ÷除数
2、一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…。这一列数的规 律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第 四个数比第三 1个数多3，依次类推，这列数左起第1996个数 被5除余数是几？ 从第四项开始2,1,1,2,4，(1996-3)÷5=498……3，余数是1
3、有一串数：5，8，13，21，34，55，89…。其中，从第二 个数起， 每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个数被3除后所得的余数是多少？ 2,2,1,0,1,1,2,0，1000÷8=125，余数是0
4
42
24
24
4
0
4
练习三
1、555 ··· 55 ÷ 13，当商是整数时，余数是几？ 9
2001个5
2、下列各小题中，当商是整数时，余数各是多少？
（1）666 ··· 6 ÷ 4 2 （2）888 ··· 8 ÷ 7 4
50个6
源自文库
80个8
（3）444 ··· 4 ÷ 74 4 （4）111 ··· 1 ÷ 5 1
例题精讲2
2、0.3 × 0.3 × 0.3 × ⋯ × 0.3 × 25 × 25 × 25 × ⋯ 25积
204个0.3
1001个25
的尾数是几？
【思路导航】204个3相乘的个位数字是按“3,9,7,1” 重复出 现，那么共有204÷4=51个循环，最好一个尾数是1。1001个 25相乘，因为无论多少个5相乘，尾数都是5.所有前后两部分 相乘，尾数应是1×5=5。
0
3
3
……
从上表可以发现，它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2 ，1…，按3，0，3，3，2，1的顺序循环出现。2018÷6=336…2，所以这一列 数中第2018个数除以4余0。
练习四
1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10， 从 第三个数起.每个数恰好是前两个数的和。在这一串数中， 第1991个数被3除，所得的余数是几？0,1,1,2,0,2,2,1，1991÷8=248……7，余数是2
444 ··· 4 ÷ 6，当商是整数时，余数是几？
100个4
【思路导航】如果用除法硬除，显然太麻烦，我们可以先
用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
444÷6=74，可以看出，余数是以3为周期的周期性规律。
100÷3=33……1 所以，和1个4的情况余数相同， 即为4
74 0…
… 6 4 4 4 4
1000个4
1000个1
3、1 ÷7，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 8
例题精讲4
例4、有一列数，前两个数是3和4，从第三个数开始， 每一个数都是前两数的和。这一列数中第2018个数 除以4，余数是多少？
一列数 3
4
余数 3
0
7
11 18 29 47 76 123 199 ……
3
3
2
1
3
例1：写出除333后余3的全部两位数？
分 析 因 为 333=330 ＋ 3 ， 把 330 分 解 质 因 数 ： 330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有 2 × 5=10 ， 2 × 11=22 ， 3 × 5=15 ， 3 × 11=33 ， 5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11一 共有8个两位数。
练习二
1、61 × 61 × 61 × ⋯ × 61 积的尾数是几？ 1 51个61
2、(31 × 36) × (31 × 36) × (31 × 36) × ⋯ × (31 × 36)
积的尾数是几？ 6
50个(31×36)
3、9 × 9 × 9 × ⋯ × 9 积的个位数字是几？ 9 91个9
例题精讲3
（2）余数小于除数
同余定理（一）
如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于 余数来说是同余的，且有a与b的差能被c整 除。（a,b,c均为自然数）
同余定理（二）
a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之 和（或这个和除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23＋16）除于5 的余数等于3＋1＝4 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（23＋19）除于5 的余数等于（3＋4）除于5的余数，即2
4、2010除以一个两位数，余数是21，这个两位 数是多少？
解：2010-21=1989，1989=3×3×17×13 3×17=51，3×13=39 所以这个两位数是51或39.
例题精讲2
1、9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × ⋯ × 9 积的个位数字是几？ 51个9
【思路导航】51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数 字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个 位是9。
同余定理（三）
a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数 之积（或这个积除于c的余数） 例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23×16） 除于5的余数等于3×1＝3 例：23,19除于5的余数非别是3和4，所以（23×19） 除于5的余数等于（3×4）除于5的余数，即2
例题精讲1
例题精讲5
已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。 1、甲、乙两数的和除以9余数是几？ 2、甲、乙两数的差除以9余数是几？ 3、甲、乙两数的积除以9余数是几？
【思路导航】甲数除以9余7,乙数除以9余5, 那么甲、乙两数的的和除以9余数是3 （7+5）÷9=1……3 甲、乙两数的差除以9余数是2 （7-5）÷9=……2 甲、乙两数的积除以9,余数是7×5÷9=3……8，余数是8