吉林省长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学(理)试题1
2014吉林省长春市高三四模数学理试题及答案
数学试题(理科)答案1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()I ðU B A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ． 2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ． 4．【答案】B 【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图， 设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ， 当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ． 5．【答案】D 【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 6．【答案】D【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ．8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ， 又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=ac，故选A ． 10．【答案】C【解析】由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24， 易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 11．【答案】D【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．12．【答案】C 【解析】|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++ΛΛ)212121(21212121221n m n m n n -+++++=+++<ΛΛ n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．13．【答案】0.0228【解析】设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N :，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg 8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 14．【答案】)3,1(【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ① 又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15.【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n 【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n ．16．【答案】[]4,18【解析】设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18．17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g 由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=………5分 即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． ………6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A ………8分 由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435．…12分 18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b………3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． ………6分 （2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．………12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1I∴⊥BC 平面11D DCC ………3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1，则平面11ADD A I 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC =I ∴ED 1⊥底面ABCD，∴1D E AE⊥∴⊥AE 平面1BED ………9分过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan=⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EGED FG EG 1=，求得11D E =．………12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC =I ∴ED 1⊥底面ABCD ………7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图．………8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x n = ∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED n EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x令1=x ，得)0,1,1(-=n………9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =u r ，因为 (1,0,0)CB =u u u r，1(1,1,)CB a =u u u r ，由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a =-u r． ………10分 由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 2||cos ,cos 321m n m n m n a π⋅<>===⋅+u r ru r r u r r ，解得1a =． 即线段1D E 的长度为1．……12分20．【解析】（1）由题意，3e =，即23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a ………2分 又222c b a =-得： 1,2==b a ∴椭圆C的标准方程：2214x y +=． ………5分 (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ， 不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ． 而021≠=⋅OQ OP所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． ………7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P 由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ………9分 若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x y x ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． ………12分 21．【解析】(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--， 令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 ………3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0x x f x g x e =≥，得证． ………6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，xx x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………9分∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，x ex x 2)(-='ϕ，∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． ………12分22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， ………1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ， ………4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分 （2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = ………6分又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分 所以222312==EC ，故=AC ………10分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知， 则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． ………5分（2）由（1）得 =2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． ………10分24．【解析】（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． ………5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x ⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。
长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷理科WORD
2014年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II 卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹淸楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1-i 的虚部是( )(A).1 (B) -1 (C) i (D)-i2.已知集合M={x|},集合N={ x|lg(3-x)>0},则M N=( )x 2‒4x +3<0∩(A). { x|1<X<3} (B). { x|1<X<2} (C) . (D) ∅{ x|2<X <3}3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )(A). (B)(C) x=(D) x = π4x =π3π2x =π4.抛物线=y 的焦点到准线的距离是( )x 212(A). (B). 1(C)(D)2 12145.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为卷问题，而且可保障各类管敷设过程中，要加强看护与带负荷下高中资料试卷调控试验其在正常工况下与过度工作下都中资料试卷总体配置时，需要在组高中资料试卷安全，并且尽可能(A).92+14 (B). 82+14 ππ(C). 92+24π (D). 82+24π6.等比数列{}中,=9,前三项和为 ,则公比q a n a 3S 3=27的值是( ) (A). 1 (B)‒12(C) 1或(D) - 1或‒12‒127.定义某种运算S=a b,运算原理如图所示,则式子⊗的值为[2tan 5π4⊗lne ]‒[lg100⊗(13)‒1]( A). -3 (B). -4 (C).-8(D). 08.实数x,y 满足若函数z=x+y 的最{x ≥1x ≤a(a >1)x ‒y ≤0 ,大值为4,则实数a 的值为(A). 2(B). 3(C). 4(D). 329.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面 ,下列命题正确的是:( )α,β(A). 若m//n,n ，则m//⊂αα(B). 若⊥β,β=m, n ⊥m ，则n ⊥.α α∩α(C) .若 l ⊥n ，m ⊥n, 则l//m (D). 若l ⊥，m ⊥, 且l ⊥m ，则αβα⊥β10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，-b ），若|x 2a 2y 2b 2，则双曲线的离心率值为（ ）BA ＋BF ｜＝｜BA ‒BF ｜(A).(B).(C).(D). 3+125+125‒12211.若函数y=f(x)图象上的任意一点p 的坐标(x,y)满足条件|x|,则称函数具有性质S,≥|y|那么下列函数中具有性质S 的是( )(A).(B). f(x)= lnx f(x)=e x‒1(C). f(x)=sinx(D). f(x)= tanx12.已知.f(x)=1+x-++…+ ，设函数F(x)= f(x+4) ,且F(x)的零点均在区间[a,b]x 22 x 33‒x 44x 20132013(a<b,a,b) 内,则b-a 的面积的最小值是( )∈Z x 2+y 2=(A) (B). 2 (C). 3(D). 4ππππ侧5侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧4第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知正三角形ABC 中,D 是BC 的中点,AB=3,BD=1,则AB ∙AD14.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面,且该三棱6柱的外接球表面积为12 ,则该三棱柱的体积为 .π14.若圆C ：=0 ，关于直线2ax+by+6=0对称 ，则由点（a ，b ）向x 2+y 2+2x ‒4y +3圆所作的切线长的最小值为 .15.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①. f(x)是奇是函数 ②. f(x)是周期函数 ③. f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. f(x)无最小值,最大值为1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.(本小题满分12分）设等差{}是等差数列, 且, ，，成等比数列。
2014年长春地区高三三模(理)Microsoft Word 文档
长春三模理科数学参考答案及评分参考1．【答案】A【解析】由(1i)2i z +=得，2i 2i(1i)2i+21i 1i (1i)(1i)2z -====+++-，则复数z 在复平 面内对应的点为(1,1)Z ，该点在第一象限，故选A ．2．【答案】C【解析】∵,,a A b B x a b ∈∈=+，所以2,3,4,5,6,8x =，∴B 中有6个元素，故选C ．3．【答案】C【解析】四个函数中，是偶函数的有A C ，，又2y x =在(0,)+∞内单调递增，故选C ． 4．【答案】D【解析】在频率等高条形图中，a a b +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量 有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类 变量,x y 关系越强，故选D ．5．【答案】C【解析】初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，…，给定正整数n ，当k n =时， 最后一次进入循环体，则有：011222S =++++…12n n -++，1k n =+， 退出循环体，输出S =(123+++…)n +012(222++++…12)n -+，故选C ． 6．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为2c ，即2c b =，又222b c a =-，代入得2243a c =，解得243e =，即3e =，故选D ． 7．【答案】A【解析】由1b c a c a b +≥++得：()()()()b a b c a c a c a b +++≥++，化简得： 222b c a bc +-≥，同除以2bc 得，222122b c a bc +-≥，即 1cos 2A ≥(0)A π<<，所以03A π<≤，故选A ．8．【答案】A【解析】函数()sin(2)f x x ϕ=+向左平移6π个单位得 sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，又其为奇函数，故则3k πϕπ+=， Z k ∈，解得=3k πϕπ-，又||2πϕ<，令0k =，得3πϕ=-，∴()sin(2)3f x x π=-，又∵[0,]2x π∈，∴ sin(2)[3x π-∈，即当0x =时，min ()f x =，故选A ． 9．【答案】C【解析】画出,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令221u x y =--，则12u y x +=-， 先画出直线y x =，再平移直线y x =，当经过点(2,1)A -，12(,)33B 时，代入u ，可知 553u -≤<，∴||[0,5)z u =∈，故选C ． 10．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r h h rπ=，则2h =S 侧=2r h π⋅4r π=S 全242r r ππ=，故圆柱的侧面积与=，故选B ． 11．【答案】D【解析】由题，221122(,),(,)A x x B x x ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即1214x x =-.两 条切线方程分别为22111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=-，联立得 1212()[2()]0x x x x x --+=，∵12x x ≠，∴122x x x +=，代入1l ，解得 1214y x x ==-，故选D ． 12．【答案】B 【解析1】设00(,)Q x y ，中点(,)M x y ，则00(2,2)P x x y y --代入229x y +=，得20(2)x x -+20(2)9y y -=，化简得：22009()()224x y x y -+-=，又220025x y += 表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以0022x y （,）为圆心以32为半径的圆 绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=≤≤，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为163255πππ-=，故选B ． 【解析2】设(3cos ,3sin )P θθ，(5cos ,5sin )Q ϕϕ，(,)M x y ，则23cos 5cos x θϕ=+，①23sin 5sin y θϕ=+，②，①2+②2得：221715cos()22x y θϕ+=+-2r =，所以M 的轨迹是以原点为圆心， 以(14)r r ≤≤为半径的圆环，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为163255πππ-=，故选B ． 13．【答案】34- 【解析】31sin()sin()sin cos 22x x x x ππ+++=--=,∴1sin cos 2x x +=-，平方 得：11sin 24x +=，∴3sin 24x =-． 14．【答案】5 【解析】∵()()f x f x +-=12222sin sin 221212112x x x x x x x +-++-=+=++++，且 (0)1f =，∴(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f -+-+++=．15．【答案】3π【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆1O 和外切圆2O ，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意1O 的半径为1r =，∴△ABC 的边长为高为3，∴13333V ππ=⨯⨯⨯=． 16．【答案】15【解析】(1)AP OP OA OA λ=-=-，即OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，72OA OP ⋅=，所以OA 与OP 同向，∴||||72OA OP =，设OP 与x 轴夹 角为θ，设A 点坐标为(,)x y ，B 为点A 在x 轴的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为||cos OP θ⋅=2||72||||||||OB OB OP OA OA ⋅= 222||||1727272161699||2525||x x x y x x x =⋅=⋅=⋅+++ 7215≤=.当且仅当15||4x =时等号成立． 则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15．17．【解析】（1）当1n =时，114a S == ………………………2分由12n n S +=，得12n n S -=(2)n ³，∴11222n n n n n n a S S +-=-=-=(2)n ³∴4,12,2n n n a n ì=ïï=íï³ïî………………………6分 （2）当1n =时，121512log 44b =+=，∴154T = …………………7分 当2n ³时， 21111(1)log 2(1)1n n b n n n n n n n n =+=+=-++++ ……9分 5111111(4233445n T =+-+-+-+…+11)(2341n n -+++++…)n + 1111111(4233445=+-+-+-+…+11)(12341n n -++++++…)n + 31(1)412n n n +=-++ ………11分上式对于1n =也成立，所以31(1)412n n n T n +=-++． ………12分 18．【解析】（1）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是…低碳家庭‟”为A ， ………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区． ∴100335454212151542121451512121)(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=A P ．…6分 （2）因为东城小区每周有20%的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两 类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：………8分由题意，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布， 即17(5,)25B ξ ………10分 ∴17175255E ξ=⨯= ， ………11分 17813652525125D ξ=⨯⨯=． ………12分 19．【解析】『法一』(1)取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分∵,M N 分别为,AB CB 中点∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =又DE Ì平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC∴DE ∥1C N∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ………5分∴13CE EB =． ………6分 （2）连结1B M ， ………7分因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ∴1AA AB ^，即四边形11ABB A 为矩形，且12AB AA = ∵M 是AB 的中点，∴11B M A M ^， 又11AC ^平面11ABB A ，∴111AC B M ^，从而1B M ^平面11AMC ………9分 ∴1MC 是11B C 在平面11A MC 内的射影∴11B C 与平面11A MC 所成的角为∠11B C M 又11B C ∥BC ，∴直线BC 和平面11A MC 所成的角即11B C 与平面11A MC 所成的角…10分 设122AB AA ==，且三角形11A MC 是等腰三角形∴111AM AC ==，则12MC =，11B C =∴11111cos 3MC B C M B C ?= ∴直线BC 和平面11A MC所成的角的余弦值为3 ………12分 『法二』（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ，又AC AB ⊥∴以A 为坐标原点，分别以1,,AB AA AC 所在直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系. ………1分 设122AB AA ==，又三角形11A MC 是等腰三角形，所以111AM AC ==易得1(0,1,0)A ，(1,0,0)M，1(0,1C ， 所以有1(1,1,0)A M =-uuuu r，11AC =uuu u r设平面11A MC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则有11100n A M n AC ìï?ïíï?ïïîr uuuu r r uuu u r ，即00x y ì-=ïïíï=ïî，令1x =，有(1,1,0)n =r ………4分 （也可直接证明1B M 为平面11A MC 法向量） 设CE EB λ=，2(,0,)11E λλλ++，又1(0,2D ，∴21(,,121DE λλλ=-++ 若DE ∥平面11A MC ，则n r ^DE uuu r ，所以有21012λλ-=+， 解得13λ=，∴13CE EB = ………6分 （2）由（1）可知平面11A MC 的一个法向量是(1,1,0)n =r ， (2,0,0)B，C，求得(BC =-设直线BC 和平面11A MC 所成的角为θ，[0,]2πθ∈，则||sin ||||2n BC n BC θ⋅===⋅，………11分所以cos q = ∴直线BC 和平面11A MC 所成的角的余弦值为3 ………12分 20．【解析】（1）由已知得：1(1,0)F ，2(0,)2p F ，∴12(1,)2p F F =- ………1分 联立2242y x x py ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0,0)O，A ， ∴3(16OA = ………3分∵12F F OA ⊥，∴12F F 0OA ⋅= ，即=，解得2p =，∴2C 的方程为24x y =． ………5分『法二』设111(,)(0)A x y x >，有21121142y x x py ⎧=⎨=⎩①，由题意知，1(1,0)F ，2(0,)2p F ，∴12(1,)2p F F =- ………1分 ∵12F F OA ⊥，∴12F F 0OA ⋅= ，有1102p x y -+=， 解得112py x =， ………3分 将其代入①式解得114,4x y ==，从而求得2p =，所以2C 的方程为24x y =． ………5分（2）设过O 的直线方程为y kx =(0)k <联立24y kx y x =⎧⎨=⎩得244(,)M k k ，联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得2(4,4)N k k ………7分 (1,1)P --在直线y x =上，设点M 到直线y x =的距离为1d ，点N 到直线y x =的距离为2d 则121()2PMN S OP d d =⋅⋅+ ………8分2244||12-= 22112(||||)k k k k=-+- 22112()k k k k =--++………10分8≥= 当且仅当1k =-时，“=”成立，即当过原点直线为y x =-时，…11分△PMN 面积取得最小值8． ………12分『法二』联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得244(,)M k k ， 联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得2(4,4)(0)N k k k <， ………7分从而2244||4|(4)MN k k k k=-=-，点(1,1)P --到直线MN 的距离d =，进而214(4)2PMN S k k∆=- ………9分 32222(1)(1)2(1)(1)1122(2)(1)k k k k k k k k k k k---++===+-++令1(2)t k t k=+≤-，有2(2)(1)PMN S t t ∆=-+， ………11分 当2t =-，即1k =-时，即当过原点直线为y x =-时，△PMN 面积取得最小值8． ………12分21．【解析】（1）()2()x f x e x a '=-+ ………2分因为()y f x =在0x =处切线与x 轴平行，即在0x =切线斜率为0即(0)2(1)0f a '=+=，∴1a =-． ………5分（2）()2()x f x e x a '=-+， 令()2()x g x e x a =-+，则()2(1)0xg x e '=-≥， 所以()2()x g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增，(0)2(1)g a =+（i ）当2(1)0a +≥即1a ≥-时，()2()(0)0x f x e x a f ''=-+≥≥，()f x 在 [)0,+∞内单调递增，要想()0f x ≥只需要2(0)50f a =-≥，解得a ≤1a -≤≤ ………8分 （ii ）当2(1)0a +<即1a <-时，由()2()x g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增知，存在唯一0x 使得000()2()0x g x e x a =-+=，有00x e x a =-，令()0f x '>解 得0x x >，令()0f x '<解得00x x ≤<，从而对于()f x 在0x x =处取最小值， 0200()2()3x f x e x a =--+，又00x x e a =+0()f x 000022()3(1)(3)x x x x e e e e =-+=-+-，从而应有0()0f x ≥，即030x e -≤，解得00ln3x <≤，由00x e x a =-可得00x a x e =-，有ln 331a -≤<-，综上所述，ln33a -≤≤ ………12分22．【解析】（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则AB BC DB BA=，故250,AB BC BD AB =⋅==…5分 （2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅， 2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF DA DB DE=⋅（*）. 由△ABC ∽△DBA ，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*） 得1CF DE=． ………10分 23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴曲线C '的普通方程为221x y +=． ………5分（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P所以有：00232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得22(23)(2)1x y -+= ∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=． ………10分 24.【解析】（1）()f x =|3||4|x x ==-++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥． ………5分（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。
2014年吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题(含答案)(高清扫描版)
在 中， ，
∴ ．
故在线段 上存在一点 ，使得二面角 为 ，且 .………………………………………12分
【解法二】依题意，以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，因为 ，则 ， ， ， ，所以 ， .
易知 为平面 的法向量，设 ，所以 ,
最大值，代入 ，即 ，所以
，故选 .
8.【试题答案】
【试题解析】A选项，直线 可能在平面 内；B选项，如果直线 不在平面 内，不能得到 ；C选项，直线 与 可能平行，可能异面，还可能相交；故选 .
9.【试题答案】
【试题解析】由 得 ，又 ， ，
则 ， ，所以有 ，即 ，从而
解得 ，又 ，所以 ，故选 .
个单位， 即将 向右平移 个单位，∴ ， ，
又函数 的零点均在区间 内，且 ，故当 ，
时，即 的最小值为 ，故选
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13.【试题答案】
【试题解析】 .
14.【试题答案】
【试题解析】设球半径 ，上下底面中心设为 ， ，由题意，外接球心为 的中点，设为 ，则 ，由 ，得 ，又易得 ，由勾股定理可知， ，所以 ，即棱柱的高 ，所以该三棱柱的体积为 .
（2）由（1）知 ，当 时， .
由正弦函数图象可知，当 时， 取得最大值 ，又 为锐角
所以 .……………………8分
由余弦定理 得 ，所以 或
经检验均符合题意.……………………10分
从而当 时，△ 的面积 ；……………11分
.……………………12分
19.【试题解析】
吉林省长春市2014届高三第一次调研试题(理科数学)(解析版)
吉林省长春市2014届高三第一次调研试题（理科数学）（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合2{|430}M x x x =-+<,集合N={ x|lg(3-x)>0},则MN = ( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2的一条对称轴的方程是( )4.抛物线212x y =的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12 (D). 145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q 的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12 (D)－ 1或－126.定义某种运算S a b =⊗,运算原理如图所示，则式子151[(2tan )ln ][lg100()]43e π-⊗-⊗的值为( )( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 0 【答案】D7.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为( )(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )(A). 若m//n，n α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A（B（C（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）【答案】D11.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S 的是( ) (A). f(x)=tanx (B).()x f x e =－1 (C). f(x)=sinx (D). f(x)= ln(x+1)12.已知设函数F(x)= f(x+3) g(x －4),且F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b Z ∈) 内,则b －a 的最小值为( )(A) 8 (B). 9 (C). 10 (D). 11 【答案】C 【解析】试题分析：验证01)0(>=f ，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A1B1C1 的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12 ,则该三棱柱的体积为 .3【答案】3【解析】15.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇是函数②.y＝f(x)是周期函数 ,周期为2 ③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值④. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .考点：新定义、函数的性质和图像.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1523,27a S S =-=, (1).求数列{}n a 的通项公式；(2).若121),n n n S a S +++成等比数列,求正整数n 的值 .18.(本小题满分12分）已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+∙.(1).求函数f(x )的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1, c =，且()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.……………………10分 从而当1=b 时，△ABC 的面积436sin 1321=⨯⨯⨯=πS ； ……………………11分 当2=b 时，236sin 2321=⨯⨯⨯=πS . ……………………12分 考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积.19.(本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由（2）存在满足条件的332-=AM .【解法一】假设存在满足条件的点M ，过点D 作DN CM ⊥于点N ，连结1D N ，则1D N CM ⊥，所以1D ND ∠为二面角1D CM D --的平面角，……………………9分所以16D ND π∠=，在1Rt D ND ∆中，11D D =所以DN = 又在Rt DNC ∆中，2CD AB ==，所以6NDC π∠=，∴6π=∠MCB ，在Rt MCB ∆中，336tan =⋅=πBC BM ，∴2AM =-．故在线段AB 上存在一点M ，使得二面角1D CM D --为6π，且23AM =-. ………………………………………12分【解法二】依题意，以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，故在线段AB 上是存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6π，且332-=AM .……………………………………………12分考点：线面的位置关系、二面角.20.(本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A 三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, ()MF OD MO +∙的最小值为72,求椭圆的方程. 试题解析：（1）设半焦距为c .由题意,A F A B的中垂线方程分别为)2(2,2a x b a b y c a x -=--=，于是圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--b ac b c a 2,22.所以222≤-+-=+bacb c a q p ， 整理得02≤-+-ac b bc ab ， ……………………………………………4分 即0))((≤-+c b b a ，所以c b ≤，于是22c b ≤，即22222c c b a ≤+=. 所以21222≥=a c e ，即122<≤e . ……………………………………………6分21.(本小题满分12分）已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈. (1)a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2)设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln 23-. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能能力以及分类讨论思想和等价转化思想的应用．第一问，先确定()F x 的解析式，求出函数()F x 的定义域，对()F x 求导，此题需讨论210x ax -+=的判别式，来决定'()0F x =是否有根，利用'()0F x >求函数的增区间，'()0F x <求函数的减区间；第二问，先确定()h x 解析式，确定函数的定义域，先对函数()h x 求导，求出'()0h x =的两根，即12,x x ，而利用韦达定理，得到12x x +，12x x ，即得到211x x =，111a x x =--代入到()h x 中，要求112111()()()()()H x h x h x h x h x =-=-，则构造函数()H x ，求出()H x 的最小值即可，对()H x 求导，判断函数()H x 的单调性，求出函数()H x 的最小值即为所求.（2）对xa xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(x ax x x a x x h ++=++='，由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， ………8分 ∴121x x =，从而有111x x a --=1111111()ln ln 2ln H x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----+--=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，……10分()()22ln 112ln 112)(x x x x x x x H +-=⎪⎭⎫⎝⎛-='. 当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 时，0)(<'x H ，∴)(x H 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单调递减，又)()()1()()(21111x h x h x h x h x H -=-=，∴[]32ln 5)21()()(min21-==-H x h x h . ………………12分 考点：函数的单调性、函数的最值、导数的性质.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明学科网选讲.如图,四边形为边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于F,连接CF 并延长交AB 于点 E. (1).求证:E 为AB 的中点; (2).求线段FB 的长.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）a BF 55=. 【解析】试题分析：本题主要考查切割线定理、圆的几何性质等基础知识，意在考查考生的推理论证能力、数形结合能力．第一问，利用圆D 、圆O 的切线EA 、EB ，利用切割线定理，得到EA 和EB 的关系，解出EA=EB ，所以E 为AB 的中点；第二问，由于BC 为圆O 的直径，得BF CE ⊥，用不同的方法求三角形BEC 的面积，列成等式，得出BF 的长.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O ，x 轴正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,-5),点C 的极坐标为(4,)2π,若直线l 经过点P,且倾斜角为3π，圆C 的半径为4. (1).求直线l 的参数方程及圆C 的极坐标方程; (2).试判断直线l 与圆C 有位置关系.试题解析：（1）直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin53cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211（t 为参数） 由题知C 点的直角坐标为()4,0，圆C 半径为4，∴圆C 方程为16)4(22=-+y x 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得圆C 极坐标方程8sin ρθ= ………5分24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M. (1)求M;(2)当a,b ∈M 时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.（2）当M b a ∈,时， 则22<<-a ，22<<-b .即：42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b。
2014年长春市高中毕业班第三次调研试题数学试题卷(理科)
。 。
14.已知函数 f(x)=2X +1 + sinx, 则 f −2 + f −1 + f 0 + f 1 + f 2 =
2/5
15. 若 圆 锥 的 内 切 球 与 外 接 球 的 球 心 重 合 ， 且 内 切 球 的 半 径 为 1 ， 则 圆 锥 的 体 积 为 。 16.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A 在椭圆x + y =1 上，点 P 满足AP = ( λ − 1)OA, 25 9 (λ ∈ R),且| OP|∙|OA|= 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为
(D).
3 5π
第二卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第 22 题-24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横 线上). 13.若 sin(π+x)+sin( 2 + x)= 2 ,则 sin2x=
(D). (1,− 4)
1
12. P 为圆 C1:x 2 + y 2 =9 上任意一点， Q 为圆 C2: x 2 + y 2 =25 上任意一点， PQ 的中点组成 区域为 M，在圆 C2 内部任取一点，则该点落在区域 M 上的概率为( ) (A).
13 25
( B).
3 5
(C).
13 25 π
2014 年长春市高中毕业班第三次调研试题 数学试题卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分 钟，其中第 II 卷 22 题一 24 题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答 题卡 一并交回. 第 I 卷 (选择题 60 分) 一、 选择题 （本大题包括 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分， 每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设 i 是虚数单位，复数 z 满足(1+i)z=2i,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) (A). 第一象限 (B). 第二象限 (C) 第三象限 (D) . 第四象限 2.设集合 A= {1,2,4 }, 集合 B = { x|x = a + b, a ∈ A, b ∈ A},则集合 B 中有( )个元素. (A).4 (B) .5 (C)6 (D). 7 3.下列函数中，在(0,+∞) 上单调递减，并且是偶函数的是（ ） (A). y=x 2 (B). y=−x 3 (C) . y = −lg|x| (D). y = 2x 4.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 x,y 之间的关系最强的是 ( )
吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷(带解析)
吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷（带解析）1．设全集=U R ，={x|<0}2xA x -，B={x|2<2}x ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðUB A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ．考点：集合的运算.2．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（ ）A ．2B ．3C ．．【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 考点：复数的运算.3．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】试题分析：A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ．考点：线面关系.4．设变量,x y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ） A ．1，-1 B ．2，-2 C ．1，-2 D ．2，-1 【答案】B 【解析】试题分析：由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ．考点：线性规划.5．按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（ ）A ．6B ．21C ．5050D ．231 【答案】D 【解析】 试题分析：由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 考点：程序框图. 6．已知3tan 24α=，(0,)4πα∈，则sin cos sin cos αααα+=-（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】D 【解析】试题分析：432tan =α，即43t a n 1t a n 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ． 考点：倍角公式、齐次式.7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．13 【答案】D 【解析】试题分析：观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ． 考点：茎叶图、中位数.8．曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A ．15- B ．15- C 1 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ， 又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 考点：抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系.9．双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A 【答案】A【解析】试题分析：在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c2332=，化简得3=a c ，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其几何性质.10．将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置. 若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）A 3B 3C 3D 3 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24， 易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 考点：四棱锥的体积.11．已知函数()1f x x =，g()2x x x =+，()ln h x x x =+的零点分别为123,,x x x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．312x x x <<D ．231x x x << 【答案】D 【解析】试题分析：令0)(=x f ，0)(=x g ， 0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．考点：函数图象、零点的概念.12．设数列2sin1sin 2sin 222n n na =+++，则对任意正整数,(m n)m n >都成立的是（ ） A ．||2n m mn a a -> B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->【答案】C【解析】 试题分析：|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++)212121(21212121221nm n m n n -+++++=+++<n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．考点：绝对值的基本性质、放缩放.13．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ，任取一袋大米，质量不足9.8kg 的概率为 .（精确到0.0001） 【答案】0.0228 【解析】试题分析：设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N ，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg 8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 考点：正态分布.14．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且()()0c a c b --=，则向量c 的坐标为 .【答案】)3,1( 【解析】试题分析：设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得： 0322=-+-y y x x ①又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=． 考点：向量的运算.15．已知*111()1(,4)23f n n N n n =++++∈≥，经计算得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 . 【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n【解析】试题分析：24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n 考点：归纳推理.16．设a ，b 为实数，关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的4个实数根构成以q 为公比的等比数列，若[2q ∈，则ab 的取值范围是 . 【答案】[]4,18 【解析】试题分析：设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18．考点：等比数列的性质、函数值域.17．将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图形向右平移4π个单位后得到()g x 的图像，已知()g x 的部分图像如图所示，该图像与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点P 、Q ，点M 为最高点，且MPQ ∆的面积为2π.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =，且a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）()2sin(2)6g x x π=+；（2）435. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的解析式，由解析式得最大值M=2，利用三角形面积公式可得到||PQ ，而周期2||T PQ =，利用周期的计算公式得到2ω=，又因为()g x 过(0,1)F ，代入解析式得到ϕ的值，从而得到()g x 的解析式；第二问，先利用()1g A =，利用特殊角的三角函数值得到角A 的大小，再利用余弦定理得到b 和c 的一个关系式，利用基本不等式得到5bc ≤，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值. （1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω 2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=5分 即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ．6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=22510分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． 12分 考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式. 18．由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元）的数据资料算得如下结果，52190ii x==∑，51112i i i x y ==∑，5120i i x ==∑，5125i i y ==∑.（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程^^^y b x a =+； （2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.（附：在线性回归方程^^^y b x a =+中，）^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，^^a yb x =-，其中x ，y 为样本平均值.)【答案】（1）2.02.1ˆ+=x y ；（2）变量x 与y 之间是正相关，8.9万元.【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用已知的数值及公式先计算^b ，再利用^^a y b x =-计算^a ，从而得到线性回归方程；第二问，①在^^^y b x a =+中，当^0b >时，变量x 与y 之间是正相关，当^0b <时，变量x 与y 之间是负相关，本题是正相关；②使用年限即x 的值，而维修费用是y 的值，代入回归方程中求函数值y 即可.（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a5分 ∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． 6分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． 9分 ②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．12分考点：线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断.19．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（1）求证：1BC D E ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）11D E =.【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得CD BC ⊥，1CC BC ⊥，所以利用线面平行的判定得⊥BC 平面11D DCC ，再利用线面垂直的性质，得1⊥BC D E ；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面11BCC B 和平面1BED 的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段1D E 的长度..（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC 3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． 6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1， 则平面11ADD A 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC =∴E D 1⊥底面ABCD ，∴1D E AE ⊥∴⊥AE 平面1BED 9过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan =⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EGED FG EG 1=，求得11D E =．12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC = ∴ED 1⊥底面A B C7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图． 8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x = ∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED = 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x 令1=x ，得)0,1,1(-=n 9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为 (1,0,0)CB =，1(1,1,)CB a =， 由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a =-． 10分 由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 ||cos ,cos 32m n m n m n π⋅<>===，解得1a =． 即线段1D E 的长度为1． 12分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.20．如图12,F F 为椭圆C：22221x y a b+=(0)ab >>的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =，2DEF ∆的面积为1.若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭圆”，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭圆”分别为P ，Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线方程为2622+=x y 或2622--=x y . 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l 过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ 为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明OQ OP ⊥，解出k 的值.（1）由题意，e =23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a 2分 又222c b a =-得： 1,2==b a∴椭圆C 的标准方程：2214x y +=． 5分 (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ， 不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ． 而021≠=⋅ 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P 由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x 9分 若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x OQ y x OP ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． 12分 考点：椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.21．已知函数2()()x x ax f x x a R e+=-∈. （1）当1a =时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥；（2）当1a =-时，证明：2ln 1(1)()1x f x x e->-. 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当0x ≥时，()0f x ≥转化为()0g x ≥，对函数()g x 求导，利用'()0()g x g x >⇒单调递增，'()0()g x g x <⇒单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将2ln 1(1)()1x f x x e ->-转化为ln 1x x -≥且21111x x e e--≥-，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--， 令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0xx f x g x e =≥，得证． 6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，x x x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 9分∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，xe x x 2)(-='ϕ， ∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． 12分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.22．如图，ABC ∆是的内接三角形，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交圆O于点D ，PA=PE ，045ABC ∠=，PD=1，DB=8.（1）求ABP ∆的面积；（2）求弦AC 的长.【答案】（1）272；（2） 【解析】试题分析：本题主要考查圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，先利用切线的性质得到PAE ∠=45ABC ∠=︒，所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以利用三角形面积求△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272；第二问，在Rt △APE 中，利用勾股定理得AE =，2,6ED EB ==，再由相交弦定理得出=AC（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， 1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒2分 因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ，4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． 5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = 6分又2=-=PD EP ED ， 6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC 9分所以222312==EC ，故=AC 10分考点：圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理.23．长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BA PA =，点P 的轨迹为曲线C.（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点D (0,2)-距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）；（2）||PD 取得最大值3212. 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P 点的横纵坐标，写出曲线C 的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到2||PD ，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设),(y x P ，由题设可知， 则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． 5分（2）由（1）得 =2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα． 当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． 10分考点：参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.24．已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）3；（2）31-≤x 或35≥x . 【解析】试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用基本不等式先求函数a b +的最大值，再利用恒成立问题得到m 的最小值为3；第二问，由3≤+b a ，先将“2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立”转化为“2|1|||3x x -+≥”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到x 的取值范围.（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． 5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． 10分 考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法.。
数学理卷·2014届吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试(2013.12)word版
2014年长春市高中毕业班第一次调研试题 数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II 卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.第I 卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)1 2.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅ 3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线212x y =的焦点到准线的距离是( ) (A) 2 (B)1 (C).12 (D). 145.等比数列中,前三项和为,则公比q 的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12 (D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y 满足，若函数z=x+y 的最大值为4,则实数a 的值为(A). 2 (B). 3 (C).32(D).4 8.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( ) (A). 若m//n ，n ⊂α，则m// α (B). 若α⊥β, α β=m, n ⊥m ，则n ⊥α. (C) .若 l ⊥n ，m ⊥n, 则l//m (D). 若l ⊥α，m ⊥β, 且l ⊥m ，则α⊥β 9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A（B（C（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）11.若函数y=f(x)图象上的任意一点p 的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y ｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S 的是( ) (A). f(x)=tanx (B).()x f x e =－1 (C). f(x)=sinx (D). f(x)= ln(x+1) 12.已知设函数F(x)= f(x+3) g(x －4),且F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b Z ∈) 内,则b －a 的最小值为( )(A) 8 (B). 9 (C). 10 (D). .11第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，第10题图俯视图侧视图正视图圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇是函数②.y＝f(x)是周期函数,周期为2 ③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值④. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.(本小题满分12分）设等差数列的前n项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式(2).若成等比数列,求正整数n的值 .18. (本小题满分12分）已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.19.(本小题满分12分）如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E ⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A 三点的圆的圆心为(p,q). (1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.E D 1A 1D CBA第19题图21. (本小题满分12分）已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明学科网选讲.如图,四边形为边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于F,连接CF 并延长交AB 于点 E. (1).求证:E 为AB 的中点;(2).求线段FB 的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O ，x 轴正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,-5),点C 的极坐标为,若直线l 经过点P,且倾斜角为，圆C 的半径为4.(1).求直线l 的参数方程及圆C 的极坐标方程; (2).试判断直线l 与圆C 有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M. (1).求M;(2).当a,b M 时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.O FEDCBA2014年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B .2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B .3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D . 5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C . 6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1， 所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-，1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。
吉林省长春市2014届高三第三次调研测试数学理Word版含答案
数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}421{，，＝A ,集合},,|{A b A a b a x x B ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4B ．5C ．6D ． 73．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是 A ．2y x =B ．3y x =-C ．lg ||y x =-D ．2x y =4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ． 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)nn +++的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)nn ++的值 C ．计算(123+++…)n +012(222++++ (1)2)n -+的值D ．计算[123+++…(1)]n +-012(222++++…2)n+的值第5题图6．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2c，则双曲线C 的离心率为 A ．2BCD7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足 b c a c a b +++1，则角A 的范围是 A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ8．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．B ．12-C ．12D9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)310．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 ABCD11．已知函数2()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是A ．3(,3)2-B ． (0,4)-C ．(2,3)D ．1(1,)4- 12．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．1325B ．35C ．1325πD ．35π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
数学_2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷(一)(理科)(含答案)
2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷（一）（理科）一.选择题：1. 同时满足①M ⊆{1, 2, 3, 4, 5}； ②若a ∈M ，则(6−a)∈M ，的非空集合M 有（ ） A 16个 B 15个 C 7个 D 8个2. 已知随机变量ξ∼N(3, 22)，若ξ=2η+3，则Dη=( ) A 0 B 1 C 2 D 43. 设a =1sin10∘−√3cos10∘，则(1+i1−i )4a 的值是（ ）A −iB iC −2iD 2i4. 设实数集R 上定义的函数y =f(x)，对任意的x ∈R 都有f(x)+f(−x)=1，则这个函数的图象关于（ ）A 原点对称B y 轴对称C 点(0, 12)对称 D 点(0, 1)对称5. 定义：称np1+p2+⋯+pn 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n−1，则数列{a n }的通项公式为（ ） A 2n −1 B 4n −3 C 4n −1 D 4n −5 6. 若ω>0，且函数f(x)=4sinωx 2cos ωx 2在[−π4, π3]上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A (0, 32] B (0, 32) C (0, 2] D [2, +∞)7. 设a n (n =2, 3, 4,…)是(3−√x)n 的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2+33a 3+⋯+318a 18的值是（ ）A 16B 17C 18D 198. 如图，点P 为△ABC 的外心，且|AC →|=4，|AB →|=2，则AP →⋅(AC →−AB →)等于（ ）A 2B 4C 6D 89. 设曲线y =x 2+1在其任一点(x, y)处切线斜率为g(x)，则函数y =g(x)cosx 的部分图象可以为（ ）A BC D10. 设M 是△ABC 内一点，且AB →⋅AC →=2√3，∠BAC =30∘，定义f(M)=(m, n, p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f(P)=(12, x, y)则1x +4y 的最小值（ ）A 8B 9C 16D 1811. 已知直平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，∠BAD =60∘,长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为( )A 29π B 49π C 23π D 43π12. 双曲线x 24−y 25=1的左顶点为A ，右焦点为F 2，过F 2作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为B ，直线AB 与双曲线的右准线交于点T ，若AT →=λTB →，则λ等于（ ） A 12 B 2 C 13 D 3二.填空题（4×4/=16/）13. 设P(x 0, y 0)是函数y =tanx 与y =−x 图象的交点，则(1+x 02)(1+cos2x 0)=________．14. 如图是各棱长均相等的正四棱锥表面展开图，T 为QS 的中点，则在四棱锥中PQ 与RT 所成角的余弦值为________． 15. 已知函数f(x)=1lg(5x +45x+m)的定义域是R ，则实数m 的取值范围是________．16. 从编号为1，2，3，4，5的五个球中任取4个，放在标号为A 、B 、C 、D 的四个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B 盒中，则不同的放法种数为________（用数字作答）．三.解答题（12/+12/+12/+12/+12/+14/=74/）17. 已知函数f(x)=4sin 2(π4+x)−2√3cos2x −1，且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，（1）求f(x)的最大值及最小值（2）若又给条件q ：“|f(x)−m|<2“且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A =a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数字中，a 1=1，a k (k =2, 3, 4, 5)出现0的概率为13，出现1的概率为23．例如：A =10001，其中a 1=a 5=1，a 2=a 3=a 4=0．记ξ=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5，当启动仪器一次时（1）求ξ=3的概率； （2）求ξ的概率分布列及Eξ19.如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为√22a ，点D在棱A 1C 1上．（1）若A 1D =DC 1，求证：直线BC 1 // 平面AB 1D ；（2）是否存点D ，使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1，若存在，请确定点D 的位置，若不存在，请说明理由；（3）请指出点D 的位置，使二面角A 1−AB 1−D 平面角的大小为arctan2．20. 已知正项数列{a n }满足：a 1=3，(2n −1)a n +2=(2n +1)a n−1+8n 2(n >1, n ∈N ∗)． （1）求证：数列{a n 2n+1}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项a n ；（3）求lim n →∞(1a 1+1a 2+⋯+1a n)的值．21. 设f(x)=(x 2+ax +a)e −x ，试确定实数a 的值，使f(x)的极小值为0．22. 已知A ，B ，C 是椭圆m:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(2√3, 0)，BC 过椭圆m 的中心，且AC →⋅BC →=0，且|BC →|=2|AC →|．（1）求椭圆m 的方程；（2）过点M(0, t)的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且|DP →|=|DQ →|．求实数t 的取值范围．2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷（一）（理科）答案1. C2. B3. B4. C5. B6. A7. B8. C9. A 10. D11. A 12. B 13. 2 14. √3315. m >−3 16. 9617. 解：（1）∵ f(x)=2[1−cos(π2+2x)]−2√3cos2x −1=2sin2x −2√3cos2x +1 =4sin(2x −π3)+1． 又∵ π4≤x ≤π2，∴ π6≤2x −x 3≤2π3，即3≤4sin(2x −π3)+1≤5 ∴ f(x)max =5，f(x)min =3 （2）∵ |f(x)−m|<2， ∴ m −2<f(x)<m +2 又p 是q 的充分条件 ∵ {m −2<3m +2>5，∴ 3<m <5．18. 解：（1）由题意得：P(ξ=3)=C 42⋅(13)2⋅(23)2=827．（2）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，且P(ξ=1)=C 40(13)4=181， P(ξ=2)=C 41(13)3(23)=881， P(ξ=3)=C 42(13)2(23)2=2481，P(ξ=4)=C 43(13)(23)3=3281，P(ξ=5)=C 44(23)4=1681，故ξ的概率分布列为：∴ Eξ=1×181+2×881+3×2481+4×3281+5×1681=113．19. （1）证明：（1）连结A1B交AB1于E点，由A1D=DC1，结合三角形中位线定理可得DE // BC1，DE⊂面AB1D根据线面平行的判定定理可得直线BC1 // 平面AB1D．（2）假设存在D点，使平面AB1D⊥平面ABB1A1，过D作DN⊥AB1于N，则DN⊥面ABB1A1，过D作DM⊥面ABB1A1，E而过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故M、N应重合于B1点，则DB1⊥A1B1，故∠A1B1D=90∘≤∠A1B1C1=60∘，显然矛盾，不存在这样的点．（3）连结MN，过A1点作A1F⊥AB1于F，由（2）得∠MND为二面角A1−AB1−D的平面角，故设A1DA1C1=λ，则A1MA1B1=λ2，可得：DM=√3aλ2，A1F=√3a3，MNA1F=1−λ2，则MN=√3 3a(1−λ2)所以tanθ=DMMN=−3+62−λ由于2=−3+62−λ解得：λ=45，即点D在A1C1上且A1DA1C1=45时二面角A1−AB1−D平面角的大小为arctan2．20. 解：（1）∵ (2n−1)a n+2=(2n+1)a n−1+8n2∴ (2n−1)a n−(2n+1)a n−1=8n2−2即a n2n+1−a n−12n−1=2(n>1)…∵ a12+1=1，∴ {a n2n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列…（2）∵ a n2n+1=1+(n−1)×2=2n−1，∴ a n=4n2−1…（3）∵ 1a n =14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)…∴ 1a1+1a2+⋯+1a n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)…∴ limn→∞(1a1+1a2+⋯+1a n)=limn→∞12(1−12n+1)=12…21. 解：由于f(x)=(x2+ax+a)e−x，所以f′(x)=(2x+a)e−x−(x2+ax+a)e−x=−e−x[x2+(a−2)x]．令f′(x)=0解得x=0或x=2−a，当a=2时，f′(x)≤0恒成立，此时f(x)无极值．所以2−a≠0．①当2−a>0，即a<2时，f′(x)和f(x)2的变化情况如下表1：此时应有f(0)=0，所以a =0<2；②当2−a <0，即a >2时，f ′(x)和f(x)的变化情况如下表2：而e a−2≠0，所以应有(2−a)2+a(2−a)+a =0⇒a =4>2． 综上可知，当a =0或4时，f(x)的极小值为0．22. 解（1）如图所示，∵ |BC →|=2|AC →|，且BC 过点O(0, 0)，则|OC →|=|AC →|；又 AC →⋅BC →=0，∴ ∠OCA =90∘，且A(2√3, 0)，则点C(√3，√3)， 由a =2√3，可设椭圆的方程m:x 212+y 212−c 2=1；将C 点坐标代入方程m ，得312+312−c 2=1，解得c 2=8，b 2=4； ∴ 椭圆m 的方程为：x 212+y 24=1；（2）如图所示， 由题意，知D(0, −2)，∵ M(0, t)， ∴ 1∘当k =0时，显然−2<t <2， 2∘当k ≠0时，设l:y =kx +t ，则{x 212+y 24=1y =kx +t，消去y ，得(1+3k 2)x 2+6ktx +3t 2−12=0；由△>0，可得t 2<4+12k 2①设点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且PQ 的中点为H(x 0, y 0)； 则x 0=x 1+x 22=−3kt 1+3k 2，y 0=kx 0+t =t 1+3k 2，∴ H(−3kt 1+3k 2，t1+3k 2)；由|DP →|=|DQ →|，∴ DH ⊥PQ ，则k DH =−1k ，∴ t1+3k 2+2−3kt 1+3k 2−0=−1k ；∴ t=1+3k2②∴ t>1，将①代入②，得1<t<4，∴ t的范围是(1, 4)；综上，得t∈(−2, 4)．。
吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试数学(理)试题(纯Word版,含答案)
2014年长春市高中毕业班第二次调研测试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）. 1．设集合{}2|<=x x M ，集合{}10|<<=x x N ，则下列关系中正确的是A ．M N =RB ．()M N =R R ðC ．()N M =R R ðD ．M N M =2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0B ．4C ．2D ．23．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b+a c ，则λ的值为A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．已知命题p ：函数12+-=x a y 的图象恒过定点)2,1(；命题q ：若函数y =)1(-x f 为偶函数，则函数y =)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ． p q ⌝∧ D. p q ∨⌝5. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为 A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③第5题图7．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A．5B ．2C ．115D ．38．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种 9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2+2 B．2+2C．(2+π D．2+210．已知函数2()212xf x x x =++-，则()y f x =的图象大致为11.已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上),21,F F 为双曲线的两个焦点,则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上 B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x x f x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)
2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，总分值150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分)一、选择题〔本大题包括12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上〕.1. 设集合M= {x|x<2 },集合N={ x|0<x<1},则以下关系中正确的选项是( )(A).M∪N=R(B) .M∪C R N=R(C).N∪C R M=R (D). M∩N=M2设i是虚数单位，则|1-i-2I| =( )(A). 0 (B). 4 (C) . 2(D) . √23.已知向量a=(1,2), b=(1,0),c=(3,4),假设λ为实数，(b+λa)⊥c,则λ的值为( )A). − 311(B)− 113(C)12(D) 354.已知命题P：函数y=2−a x+1的图象恒过定点(1，2),命题q：假设函数y=f(x-1)为偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 则以下命题为真命题的是( )(A). p⋁q (B). p⋀q(C) .┐p⋀q(D).p⋁┐q5.运行如下图的程序框图，假设输出S为254，则图中的①应为( )(A).n≤5？(B). n≤6？(C). .n≤7？(D). n≤8？6.以下四个命题：①.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②．假设两个变量的线性相关越强，则它们的相关系数的绝对值越接近1;③．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)( σ>0),假设ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8;④．对分类变量X,Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大. 其中真命题的序号为( )( A). ①④ (B). ②④ (C). ①③ (D). ②③7.已知直线l 1:4x −3y +6=0和直线l 2:x =−1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为( ) ( A).3√55( B). 2 (C).115(D).38.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目比赛安排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的方案共有 ( A). 60种 ( B). 42种 (C).36种 (D).24种9.某几何体的三视图如下图，则它的外表积为( ) ( A).2+1+√52π(B ).2+1+2√52π (C).2+(1+√5) π(D).2+2+√52π 10.已知函数f(x)=x 2+2X +1−2X ,则函数y=f(x)的图象大致为( )11.已知直线l 与双曲线C 交于A,B 两点(A,B 在同支上)F 1,F 2是双曲线的两个焦点，则F 1,F 2(A)第9题图俯视图左视图正视图在(A). 以A,B为焦点的椭圆上或线段AB的垂直平分线上.(B). 以A,B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上.(C). 以A,B为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上.(D).以上说法均不正确.12.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x),且有2f(x)+x f′(x)>x2,则不等式(x+2014)2 f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为(A). (−∞,−2012)(B). (−2012,0)(C). (−∞,−2016)(D). (−2016,0)第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.∆ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,假设sin2A+sin2C-sin2B=√14.设(1X+x2)3的展开式常数项a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为。
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长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x =A. 0B. 4-C. 0或4-D. 0或4±2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C.D. 123. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x =B. ln()y x =-C. xy xe -= D.2y x x=+4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.5. 已知x 、y 取值如下表：m 的值（精确到0.1）为A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.86. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =正视图侧视图俯视图A. 2-B. 2C. 4-D. 48. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是Ox O yx O yx.Ox .CD9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 1710. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0fx f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.14. 在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项的系数是____________.15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积S =，4=+c a ，求b 的值. 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-.(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.(1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ； (2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.MAC 1DBCD 1A1长春市2014—2015学年新高三起点调研考试 数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合出现重复元素，因此0x =或4-. 故选C.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i =-故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B 由||-m n 且2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将 3.2x =代入回归方程为ˆ1y x =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D.7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题. 【试题解析】B 根据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，根据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212e +14. 12-15. 1[,25]216. 3R简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.【试题解析】计算可得221111()(ln )22ee x e x dx x x ++=+=⎰.14. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-. 15. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.【试题解析】设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)V R t t =-，求导可得当t R =时，V 取得最大值为3R . 三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分）(2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a = 当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =. （6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=. （4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅=339(600)8864P X ==⋅=12118(700)8264P X C ==⋅⋅=121324(800)2864P X C ==⋅⋅=1116(1000)2264P X ==⋅= （8分）综上可得X（10分）X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B AC =-=- 设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =， 设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos ||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =， 因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得1x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞； （9分）(3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，极小值2()f x ，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1xe f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =一定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）。