绝对值的零点分段法
绝对值方程
绝对值方程NO1.【一元一次绝对值方程】背景介绍只有一个未知数，未知数次数为一，且绝对值中含有未知数的方程叫做一元一次绝对值方程。
绝对值方程的主要解法为零点分段法和绝对值的几何意义法NO2.【解一元一次绝对值方程】原理一元一次绝对值方程可以大体分为三类： 第一类：-(0)x a m m =≥第二类：()x a k x b a b −=−≤第三类：()x a x b n n a b −+−=≥−A ． 零点分段法：第一类方程可化为：;x a m x a m −=−=−，分别解这两个一元一次方程即可求得绝对值方程的根对于第二类方程：当x a ≤时，原方程可化为：()a x kb x −=−当a x b ≤≤，原方程可化为：()x a k b x −=−当x b ≥ ，原方程可化为：()x a k x b −=−分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解） 对于第三类方程：当x a ≤时，原方程可化为：a x b x n −+−=当a x b ≤≤，原方程可化为：x a b x n −+−=当x b ≥ ，原方程可化为：x a x b n −+−=分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）B ． 几何意义法对于第一类方程可以理解为在数轴上到点a 的距离等于m 的点，观察发现这样的点有两个，分别为m a m a +−和对于第二类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之比等于k 的点，当k=1时，该点是点a 和点b 的中点，当k ＞1时，在ab 之间靠近点a 处有一个点，它把数轴在ab 之间的线段，分成两部分，比为1：k ，那么这个点时（k+1）分点，近点a 处；在ab 两点之外则该点在点b 右侧，与b 的距离等1()1b a k −−。
对于第三类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之和等于n 的点，发现在ab 之间的点，距离之和为定值，等于b a −，若n=b a −，则在ab 之间的点的任意一点都符合题意，如果n>b a −,则需要在ab 两侧，与点a 和点b 距离分别为2n b a −+的点上，经过计算分别为2n b a ++和2n b a −++；若n<b a −,则不存在这样的点，相应的这个方程无解。
绝对值大全(零点分段法-化简-最值)
.. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x xx x ，有|x |<c (0)(0)cx c c c ；|x |>c (0)0(0)(0)xc x c c x cxR c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤｜x |≤b a ≤x ≤b或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全零点分段法化简最值
绝对值大全零点分段法、化简、最值一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号;使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式;而后;其解法与一般不等式的解法相同..因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键.. 1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义;即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩;有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c c >0来解;如|ax b +|>c c >0可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ;再由此求出原不等式的解集..对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解;也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解;这是种典型的转化与化归的数学思想方法..3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式;利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解;这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷;解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围;如果没有明确不等式两边均为非负数;需要进行分类讨论;只有不等式两边均为非负数式时;才可以直接用两边平方去掉绝对值;尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.. 4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法;是指：若数1x ;2x ;……;n x 分别使含有|x －1x |;|x －2x |;……;|x －n x |的代数式中相应绝对值为零;称1x ;2x ;……;n x 为相应绝对值的零点;零点1x ;2x ;……;n x 将数轴分为m +1段;利用绝对值的意义化去绝对值符号;得到代数式在各段上的简化式;从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解;即令每项等于零;得到的值作为讨论的分区点;然后再分区间讨论绝对值不等式;最后应求出解集的并集..零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法;这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法;它可以把求解条理化、思路直观化.. 5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合;利用绝对值的几何意义画出数轴;将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解..数形结合法较为形象、直观;可以使复杂问题简单化;此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<m 为正常数类型不等式..对||||ax b cx d m +++>或<m ;当|a |≠|c |时一般不用.. 二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容;在中考和各类竞赛中经常出现;含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一;解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义;将绝对值符号化去;将问题转化为不含绝对值符号的问题;确定绝对值符号内部分的正负;借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型..一、根据题设条件例1：设化简的结果是 ..A B C D思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号;第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选B．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零;就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号;这是解答这类问题的常规思路．二、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则代数式的值等于．A B C D思路分析由数轴上容易看出;这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选C．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上;借助数轴提供的信息让人去观察;一定弄清：1．零点的左边都是负数;右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大;牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．三、采用零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制;又没有数轴信息;要对各种情况分类讨论;可采用零点分段讨论法;本例的难点在于的正负不能确定;由于x是不断变化的;所以它们为正、为负、为零都有可能;应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：;把数轴上的数分为三个部分如图①当时;∴原式②当时;;∴原式③当时;;∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定;但在某个具体的区段内都是确定的;这正是零点分段讨论法的优点;采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零;求出零点不一定是两个．2．分段：根据第一步求出的零点;将数轴上的点划分为若干个区段;使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来;得到问题的答案．误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件;以免得出错误的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中;如何去掉绝对值符号因为这一问题看似简单;所以往往容易被人们忽视..其实它既是初中数学教学的一个重点;也是初中数学教学的一个难点;还是学生容易搞错的问题..那么;如何去掉绝对值符号呢我认为应从以下几个方面着手：一、要理解数a的绝对值的定义..在中学数学教科书中;数a的绝对值是这样定义的;“在数轴上;表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值..”学习这个定义应让学生理解;数a的绝对值所表示的是一段距离;那么;不论数a本身是正数还是负数;它的绝对值都应该是一个非负数..二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值..从数a的绝对值的定义可知;一个正数的绝对值肯定是它的本身;一个负数的绝对值必定是它的相反数;零的绝对值就是零..在这里要让学生重点理解的是;当a是一个负数时;怎样去表示a的相反数可表示为“-a”;以及绝对值符号的双重作用一是非负的作用;二是括号的作用..三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型..1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质;判断出a的3种情况;便能快速去掉绝对值符号..当a>0时; ︱a︱= a性质1：正数的绝对值是它本身；当a=0 时; ︱a︱= 0性质 2：0的绝对值是0；当 a<0 时；︱a︱= –a 性质3：负数的绝对值是它的相反数..2、对于形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体;再判断a+b的3种情况;根据绝对值的3个性质;便能快速去掉绝对值符号进行化简..当a+b>0时;︱a+b︱= a+b =a +b性质1：正数的绝对值是它本身；当a+b=0 时;︱a+b︱= a+b =0性质 2：0的绝对值是0；当 a+b<0 时;︱a+b︱= –a+b=–a-b 性质3：负数的绝对值是它的相反数..3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样;仍然要把a-b看作一个整体;判断出a-b 的3种情况;根据绝对值的3个性质;去掉绝对值符号进行化简..但在去括号时最容易出现错误..如何快速去掉绝对值符号;条件非常简单;只要你能判断出a与b的大小即可不论正负..因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小;所以当a>b时; ︱a-b︱=a-b= a-b;︱b-a ︱=a-b= a-b ..口诀：无论是大减小;还是小减大;去掉绝对值;都是大减小..4、对于数轴型的一类问题;根据3的口诀来化简;更快捷有效..如︱a-b︱的一类问题;只要判断出a在b的右边不论正负;便可得到︱a-b︱=a-b=a-b;︱b-a︱=a-b=a-b ..5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单;去掉绝对值符号的同时;不要忘记打括号..前面是正号的无所谓;如果是负号;忘记打括号就惨了;差之毫厘失之千里也6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗;还是把绝对值号里的式子看成一个整体;把它与0比较;大于0直接去绝对值号;小于0的整体前面加负号..四、去绝对值化简专题练习1 设化简的结果是 B ..A B C D2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则代数式的值等于 C ..A B C D3 已知;化简的结果是 x-8 ..4 已知;化简的结果是 -x+8 ..5 已知;化简的结果是 -3x ..6 已知a、b、c、d满足且 ;那么a+b+c+d= 0 提示：可借助数轴完成7 若 ;则有A ..A B C D8 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则式子化简结果为C ．A B C D9 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示;那么下列四个式子;中负数的个数是B ．A0 B1 C2 D310 化简 =1-3x x<-4 2-x+8-4≤x≤2 33xx>211 设x是实数;下列四个结论中正确的是D ..A y没有最小值B有有限多个x使y取到最小值C只有一个x使y取得最小值D 有无穷多个x 使y 取得最小值 五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念;是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念;在解代数式化简求值、解方程组、解不等组、函数中距离等问题有着广泛的应用;全面理解、掌握绝对值这一概念;应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看;a 表示数a 的点到原点的距离长度;非负 ；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基本性质①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解一、绝对值的非负性问题例1若3150x y z +++++=;则x y z --= .. 总结：若干非负数之和为0; .. 二、绝对值中的整体思想例2已知4,5==b a ;且a b b a -=-;那么b a += ．变式1. 若|m －1|=m －1;则m_______1; 若|m －1|>m －1;则m_______1; 三、绝对值相关化简问题零点分段法 例3阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x xx ;现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式;如化简代数式21-++x x 时;可令01=+x 和02=-x ;分别求得2,1=-=x x 称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值..在有理数范围内;零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：1当1-<x 时;原式=()()1221+-=--+-x x x ; 2当21<≤-x 时;原式=()321=--+x x ； 3当2≥x 时;原式=1221-=-++x x x ..综上讨论;原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读;请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；2化简代数式42-++x x 变式1.化简 112-x ； 231-+-x x ；变式2.已知23++-x x 的最小值是a ;23+--x x 的最大值为b ;求b a +的值.. 四、b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．例4距离问题观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-;3与5;2-与6-;4-与3. 并回答下列各题：1你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗 答：___ . 2若数轴上的点A 表示的数为x ;点B 表示的数为―1;则A 与B 两点间的距离可以表示为 ______________.3结合数轴求得23x x -++的最小值为 ;取得最小值时x 的取值范围为 ___. 4 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . （5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数;试求x 的取值范围．五、绝对值的最值问题例51当x 取何值时;3-x 有最小值 这个最小值是多少 2当x 取何值时;25+-x 有最大值 这个最大值是多少 3求54-+-x x 的最小值..4求987-+-+-x x x 的最小值.. 例6．已知1,1≤≤y x ;设421--++++=x y y y x M ;求M 的最大值与最小值． 课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数;求321a b +-的值..2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数;则a 与b 的大小关系是 ．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥ 3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ;1;一l;那么1+a 表示 ．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和4.利用数轴分析23x x -++;可以看出;这个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和;它表示两条线段相加：⑴当x > 时;发现;这两条线段的和随x 的增大而越来越大；⑵当x < 时;发现;这两条线段的和随x 的减小而越来越大；⑶当 x ≤≤ 时;发现;无论x 在这个范围取何值;这两条线段的和是一个定值 ;且比⑴、⑵情况下的值都小..因此;总结;23x x -++有最小值 ;即等于 到 的距离 5. 利用数轴分析71x x +--;这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时;发现;无论x 取何值;这个差值是一个定值 ；⑵当x ≥ 时;发现;无论x 取何值;这个差值是一个定值 ；⑶当 x << 时;随着x 增大;这个差值渐渐由负变正;在中点处是零.. 因此;总结;式子71x x +--当x 时;有最大值 ；当x 时;有最小值 ；9．设0=++c b a ;0>abc ;则cba b a c a c b +++++的值是 ．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或1 10．若2-<x ;则=+-x 11 ；若aa -=;则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字;并且c b a ≤≤;则ac c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．4、当b 为______时;5-12-b 有最大值;最大值是_______当a 为_____时;1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时;3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时;1- | 2＋b|有最大值是_______. 2、已知b 为正整数;且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1;求a 、b 的值.. 7.化简：⑴13x x -++； ⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数;求x 的取值范围.. 7、若|5||2|7x x ++-=;求x 的取值范围..。
有理数之 绝对值和 零点分段法
学生姓名 龚家兴 年级 八年级 授课时间 2014年7月31日 教师姓名 韦富星 课时 2 课题 绝对值与相反数教学目标1.绝对值的性质 2绝对值与“距离”的联系3零点分段法重 点去绝对值和零点分段法 难 点 零点分段法二、讲授新课-----绝对值考点分析：绝对值是七年级所学知识的一个基本概念，它常常与其他知识点结合在一起来考，如：求代数式的值、代简代数式等经常遇到含绝对值符号的问题，因此要学会用绝对值来解决这些问题。
（一）知识点讲解（1）绝对值的性质：例题：如果b a ,为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ ①b a b a +=+ ②b a ab ⋅= ③a b b a -=-④若b a =，则b a = ⑤若b a <，则b a < ⑥若b a >，则b a >总结：绝对值的基本性质：1.0≥a 2.b a ab ⋅= 3.ba b a = 4.a a -= 5.222a a a == 6.b a b a b a +≤±≤-（2）绝对值与“距离”的联系： ①a 表示a 点到原点的距离。
即：a a =-0②a x -表示数点x 到数点a 的距离，即：数a 与数x 两点间的距离。
例题1：数轴上表示2和5两点之间的距离是_______, 数轴上示2-和5-的两点之间的距离是________, 数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______.变式题: 数轴上表示x 与1-的两点A 和B 之间的距离是___________; 如果2=AB ,那么x 为__________.（3）去绝对值符号常用的方法 a （0>a ） a x - （a x >）方法一: a 0 （0=a ） a x - 0 （a x =）a - （0<a ） x a - （a x <）注：解决绝对值的关键是：去掉绝对值及注意绝对值里面数符号的变化。
例题1：计算：1212131......200512006120061200712007120081-+-++-+-+-例题2：已知c b a ,,是非零有理数，试求：abcabc ac ac bc bc ab ab c c b b a a ++++++的值。
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招”（初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2，c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而c – a ＞0 ，c - b＜0，a + b = 0故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5b = 2 或a = - 5b = 2故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
初一数学绝对值化简与零点分段法(含详细解答)
初一数学绝对值与零点分段【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．【例4】化简：3x-【例5】化简：3121x x ++-．【例6】求21++-x x 的最小值。
【例7】求代数式111213x x x ++-++的最小值．【例8】如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．【例9】若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．【例10】将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．课后练习：【练习1】⑴已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--⑵如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值与c 无关.【练习2】化简：⑴1x -；⑵5x +；⑶523x x ++-【练习3】若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．【练习4】利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x =．利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值．52x x ++-的最小值为．214x x x ++-+-的最小值．7326x x x x ++++-+-的最小值．归纳：若1221n a a a +<<< ，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++- 取得最小值．若122n a a a <<< ，当x 满足时，122n x a x a x a -+-++- 取得最小值．初一绝对值与零点分段（详细解答）【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a++-+--()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =．所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．解：原式=)1996()2()()1997()3()1x x x x x x --⋅⋅⋅------+⋅⋅⋅+-+-（)1996()2(199731-+⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x 999)19961997()45()231=-⋅⋅⋅+-+-+=（【例4】化简：3x-解；原式=⎩⎨⎧≥-<-)3(,33,3x x x x ）（【例5】化简：3121x x ++-．解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=．即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤当≥时评注解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．【例6】求21++-x x 的最小值。
初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数
初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数摘要：1.绝对值与零点分段法的概念2.零点分段法在化简绝对值中的应用3.例题1：化简代数式x2x44.例题2：化简代数式x-1x2x-45.例题3：化简代数式2-3x6.例题4：化简代数式2x-1-x-27.例题5：求yx-1-x5 的最大和最小值8.绝对值的非负性在求解中的应用9.零点分段法的优点与局限性10.结论正文：一、绝对值与零点分段法的概念绝对值是一个数与0 之间的距离，因此它总是非负的。
在数学中，绝对值常用于表示一个数的大小，而不考虑它的正负。
零点分段法是一种求解绝对值方程的方法，它通过寻找代数式中各因式的零点，将绝对值符号去掉，从而简化方程。
二、零点分段法在化简绝对值中的应用在化简绝对值时，我们需要找到代数式中各因式的零点。
零点就是使代数式等于0 的x 值。
通过将代数式分解为因式的乘积，我们可以找到这些零点。
然后，我们将代数式中的绝对值符号去掉，并将各因式替换为它们在零点处的值。
这样，我们就可以得到化简后的代数式。
三、例题1：化简代数式x2x4这个代数式可以分解为x2(x2+2)，因此，我们需要找到使x2+2=0 的x 值。
这个方程没有实数解，因此，我们不能使用零点分段法化简这个代数式。
四、例题2：化简代数式x-1x2x-4这个代数式可以分解为(x-1)(x+2)(x-2)，因此，我们需要找到使这三个因式分别为0 的x 值。
这些零点分别为x=1, x=-2, x=2。
将这些零点代入原代数式，我们可以得到化简后的代数式为：|x-1|(x+2)(x-2) = (x-1)(x+2)(x-2) = x(x+2)(x-2)五、例题3：化简代数式2-3x这个代数式不能被进一步分解，因此，我们无法使用零点分段法化简它。
六、例题4：化简代数式2x-1-x-2这个代数式可以分解为(2x-1)-(x+2)，因此，我们需要找到使这两个因式分别为0 的x 值。
这些零点分别为x=1/2, x=-2。
绝对值不等式零点分段法,根据定义转化
绝对值不等式零点分段法，根据定义转化关于绝对值的不等式的关键是根据绝对值的定义，去掉绝对值符号，转化成多个一元一次不等式(组)。
常用的方法主要有两个:(一)零点分段法，转化成多个不等式(组)。
最基本的方法，也最容易理解和掌握。
(二)根据绝对值的定义|x|≤a转成-a≤x≤a|x|≥a转成x≥a或x≤-a通常情况下a>0，但是其实a为实数时上面的两个性质仍然是成立的，所以并不需要讨论a的正负，用这两条性质可以直接快速去掉绝对值符号，避免复杂的讨论。
例题:解不等式 |2x-1|-|x-3|>5(一)根据零点分段法第一步，求出所有式子的零点由2x-1=0与x-3=0得到x=0.5与x=3。
第二步，将求得的所有零点在数轴上标出来，将数轴分段找到零点后分成x<0.5 ，0.5≤x<3 ，x≥3这三个区间第三步，在每个区间内去掉绝对值符号转化成下面的三个不等式组①x<0.5 ；1-2x-(3-x)>5 解得x<-7或②0.5≤x<3；2x-1-(3-x)>5 无解或③x≥3；2x-1-(x-3)>5 解得x>3综上最后的答案是x>3或x<-7。
零点分段法是最基本的方法，也是必须掌握的，相比其它方法更容易理解，过程清晰不容易出错，在考试也推荐这种方法！(二)根据绝对值的定义|x|≥a转成x≥a或x≤-a首先原式变成|2x-1|>5+|x-3|接着根据上述的性质转化成下面两个不等式①2x-1>5+|x-3|；或②2x-1<-(5+|x-3|)；由①得|x-3|<2x-6 再转化成: -(2x-6)<x-3<2x-6 解得x>3由②得|x-3|<-2x-4 再转化成: -(-2x-4)<x-3<-2x-4 解得x<-7综合上面的结果，答案是x>3或x<-7。
可见这种方法是非常暴力的。
初一数学绝对值与零点分段法
绝对值与零点分段法绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜99+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．例10 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．整数末尾数性质：1、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即)]()([)(b P a p P b a P +=+，)]()([)(b P a P P b a P ⋅=⋅，二、例题精讲例1：（1）求19951994的末位数。
绝对值与零点分段法
第一节绝对值与零点分段法一、知识点)0(≥aaaa(-＜0）2. =x1的几何意义？3. 11=-x的几何意义？（两个点）4.2+x＞1的几何意义？（两射线）5.12≤+x的几何意义？（一条线段）一般地，21xx-表示数轴上两点的距离，即21xx-=AB二、例题例1：在下列条件下去掉绝对值（1）()221>---xxx；(2)()3131≤≤---xxx；(3)31-+-xx例2：解绝对值不等式（1）11<-x；（2）212<-x；（3）3121>+x；（4）075≥+x；（5）012<+x；（6）012≤+x；练习：①5<x；②10>x；③82≤x；④75≥x；⑤123<x；⑥025≥-x；⑦015323≥++xx；⑧0153<+-x；⑨053≤-x例3：解下列关于x的不等式（1）)0(><-bbax；（2）)0(>>-bbaxa=例4：解方程（1）12=-x ； (2)231=-+-x x ；（3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。
练习：解2312=---x x 例5：解不等式（1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像（1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ；（4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 练习：不等式组 113x x a-≤-≤无解，求a 的范围第二节 多项式乘法原理及因式分解一、知识点1．多项式乘法原理：2．乘法公式：（1）=-+))((b a b a ____________；(2)2)(b a ±=_______________；(3)=±3)(b a _________________；（4）=++2)(c b a ____________；（5）=-+))((n x m x ______________；(6)=--))((n x m x ______________；（7）=+±))((22b ab a b a _______________________； 3．因式分解：（1）=-22b a _____________；（2）=+±222b ab a _________________；二、例题例1：（1）多项式)765)(32(232+-+-+x x x x x 展开后，3x 项的系数为_______________；（2）)765)(32(232+-+-+x x x x x =0122334455a x a x a x a x a x a +++++，则543210a a a a a a +++++=___________________；例2：计算：（1）=+-+)964)(32(2x x x ____________________________；（2）=++-)4121)(21(2242b b a a b a _______________________；练习：（1）=-++--+)42)(42)(2)(2(22a a a a a a _______________________；（2）=++---)1)(1()1(22x x x x x ___________________________； （3）))(()(2z y x z y x z y x -++-+-+=_________________________；例3：分解因式：（1）=-66y x _______________________________；（2）=++33662n m n m ___________________________；（3）=+-+-+1)1(6)1()1(9222x x x ___________________________；例4：（1）已知2,3==+xy y x ，求33y x +与22y x +的值； （2）已知8)(,2222=+=+b a b a ，求2)(b a -的值； （3）已知：6,11,6==++=++xyz yz xz xy z y x ， 求222z y x ++与)1)(1)(1(---z y x 的值；（4）已知：23,23+=-=b a ，求33b a +与33b a -的值；（5）已知：0132=++x x ，求值：①221x x +；②441xx +；③361x x +；（6）设84222++-+=a a b a y ，a 和b 可取一切实数，求y 的最大值； 三、习题1．已知：2=+b a ，求336b ab a ++的值； 2．已知：31=-xx ，求331x x -的值； 3．若z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值；4．设2)()1(2-=---b a a a ，求ab b a -+222的值； 5．若2=--b a ab ，且a 、b 为正整数，求a 与b 的值； 6．计算：（1）)()(222y xy x y x +-+=________________；（2）[]=++-2)2(2)2(z y x y z y ____________________________； (3)=+-+--)4121)(4121)(41(222x x x x x ________________________； (4)[][]{}xy y x y x xy y x y x +-+-+-22)()()()(=__________________________； (5) =++-)413)(161439(2x x x _________________________________； (6)[]=++-2242)42)(2(a a a ________________________________； 7．已知：x 、y 、z 是正实数，且0,2233=----=-z yz z y y x ，求z x -的值；8．若56,733=-=-y x y x ，求22y xy x ++的值； 9．已知：xy y x y x 44,622≤+=+，求33y x +的值。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号得几种常用方法解含绝对值不等式得基本思路就是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号得一般不等式,而后,其解法与一般不等式得解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号得方法与途径就是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值得意义，即|｜=,有|｜〈;｜｜>2利用不等式得性质去掉绝对值符号利用不等式得性质转化||＜或|｜>（>0)来解,如｜｜〉（＞0）可为＞或<-;|｜〈可化为－＜+＜，再由此求出原不等式得解集。
对于含绝对值得双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤｜｜≤≤≤或－≤≤-”来求解，这就是种典型得转化与化归得数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值得不等式,利用|｜=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量得取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其就是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，就是指：若数，，……,分别使含有｜－|,｜—|，……,｜—｜得代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值得零点，零点，，……,将数轴分为+1段，利用绝对值得意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上得简化式，从而化为不含绝对值符号得一般不等式来解，即令每项等于零,得到得值作为讨论得分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集得并集。
零点分段法就是解含绝对值符号得不等式得常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值得几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间得距离求解。
绝对值大全
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）零点分段法：此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。
因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。
首先要明确两个词义：1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。
2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。
一、步骤通常分三步：⑴求出所有式子的零点；⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。
例：(1)化简：|x+1|+|x-1|分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段：将每一段表示出来：第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x（注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。
）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。
解：由题意，得：零点为：①x+1=0得x=-1；②x-1=0得x=1；所以：①当x＜-1时：原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x②当-1≤x＜1时：原式=(x+1)+[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2③当1≤x时：原式=(x+1)+(x-1)=x+1+x-1=2x(2)化简：|x|+|x+1|+|x-1|分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段解：由题意，得：零点为：①x=0；②x+1=0得x=-1；③x-1=0得x=1；所以：①当x＜-1时：原式=(-x)+[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-3x②当-1≤x＜0时：原式=(-x)+(x+1)+[-(x-1)]=(-x)+x+1+(-x)+1=-x+2③当0≤x＜1时：原式=x+(x+1)+[-(x-1)]=x+x+1+(-x)+1=x+2④当1≤x时：原式=x+(x+1)+(x-1)=x+x+1+x-1=3x附注：关于零点分段法结果的检验方法：因为在分段时，发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的，所以把零点的值代入其左右两段，看结果是否一样，如在例1中，把x=-1代入①与②的化简结果中可以得到结果值都是2，把x=1代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2，所以结果是正确的。
利用零点分段法解含多绝对值不等式
利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集．二、例题选讲例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．解：∵|x＋2|＝2 (2)2 (2)x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩，|x－1|＝1 (1)1 (1)x xx x-≥⎧⎨-<⎩．故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组：(Ⅰ)2213xx x<-⎧⎨--+->⎩，或(Ⅱ)1213xx x>⎧⎨++->⎩，或(Ⅲ)21213xx x-≤<⎧⎨++->⎩．不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，不等式组(Ⅱ)的解集是∅，不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是∅．⑶ 当x ＞2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)＞x ＋3，即x ＞6．故不等式的解集是{x |x ＞6}．综上可知，原不等式的解集是{x |x ＜0或x ＞6}．例3 已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，求a 的取值范围． 解：∵ x ＝5时，|x －5|＝0；x ＝3时，|x －3|＝0．⑴当x ≤3时，原不等式可化为－x ＋5－x ＋3＜a ，即a ＞8－2x ，由x ≤3，所以－2x ≥－6，故a ＞2．⑵当3＜x ≤5时，原不等式可化为－x ＋5＋x －3＜a ，即a ＞2．⑶当x ＞5时，原不等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2． 综上知a ＞2．无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空1.含有绝对值的不等式①|f (x )|<a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a <f (x )<a .②|f (x )|>a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x )>a 或f (x )<－a . ③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 2(x )>g 2(x ). 2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:①[]⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔>0)(0)()()(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②[]⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此不等式可推广如下：|a 1+a 2+a 3+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |当且仅当a 1,a 2,a 3,…a n 符号相同时取等号.●题型示例 点津归纳【例1】 解无理不等式. (1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3)1+x <2x +1.【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x .(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】 (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x . (2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有绝对值的不等式： (1)|x 2－4|≤x +2; (2)|x +1|>|2x －1|; (3)|x －1|+|2x +1|<4.【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x =1,－21时,有x －1=0及2x +1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号. 【规范解答】 (1)原不等式可化为:－(x +2)≤x 2－4≤x +2⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+⇒3212060222x x x x x x x 或. 故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x +1|2>|2x －1|2 ⇒(2x －1)2－(x +1)2<0.(2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)<0⇒3x ·(x －2)<0⇒0<x <2. (3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－21. 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,时,原不等式可化为:－(x －1)－(2x +1)<421344321-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≤⇒x x x .当x ∈⎥⎦⎤⎝⎛-1,21时,原不等式可化为:－(x －1)+(2x +1)<4.由212121-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤<-x x <x ≤1.当x ∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x －1)+(2x +1)<4,故由341431<<⇒⎩⎨⎧<>x x x .综上所述知:⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--34,3434,11,2121,34为原不等式解集.【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.【例3】 若不等式23+>ax x 的解集是(4,m ),求a ,m 的值. 【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y =x (x ≥0)及y =ax +23(x ≥0)的图像.若y =x 的图像位于y =ax +23图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解. 【规范解答】 设y 1=x ,它的图像是半条抛物线;y 2=ax +23(x ≥0),它的图像是经过点(0,23),斜率为a 的一条射线.不等式23+>ax x 的解即当y 1=x 的图像在y 2=ax +23(x ≥0)的图像上方时相应的x 的取值范围，因为不等式解集为(4,m ),故方程23+=ax x 有一个解为4,将x =4代入23+=ax x 得:812344=⇒+=a a .再求方程2381+=x x 的另一个解，得:x =36,即m =36.【解后归纳】 用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】 解不等式|lo g 2x |+|lo g 2(2－x )|≥1.【解前点津】 从x 的可取值范围入手，易知0<x <2,当x 分别在(]1,0及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.【规范解答】 ∵x >0且2－x >0故0<x <2时不等式才有意义.当x ∈(]1,0时,因lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x )≥0,故此时原不等式为:－lo g 2x +lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx-2≥lo g 2232010221022≤<⇒⎩⎨⎧≤<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-⇒x x x x x x x.当x ∈(1,2)时,因为lo g 2x >0,lo g 2(2－x )<0,故此时原不等式为: lo g 2x －lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx-2≥lo g 22 23421)2(22122<≤⇒⎩⎨⎧<<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-⇒x x x x x xx. 故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3432,0.【解后归纳】 本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.5.2.3无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型：①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：例1、解不等式0343>---x x例2、解不等式x x x 34232->-+-例3、解不等式24622+<+-x x x例4、解不等式1112-+>+x x例5、 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6、解不等式1123>-+-x x三、小结：四、反馈练习： 解下列不等式1．655332->-+-x x x2．33333++<++-x x x x3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x5．112>+--x x第6课 无理不等式与绝对值不等式习题解答1.C 对a =3进行检验，考虑不等式的几何意义.2.C 利用x >0,化简另一个不等式.3.D 由0<3-x <1⇒0<x －3<1⇒3<x <4. 4.B 由4－x 2≥0且x +1>0且4－x 2<(x +1)2271+-⇒<x ≤2. 5.B 分别画出:y =22x a -,与y =2x +a 的图像，看图作答.6.B |x －a |<ε,|y －a |<ε⇒|x －y |=|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |+|y －a |<ε+ε=2ε,当|x －y |<2ε时,不能推出|x －a |<ε且|y －a |<ε.7.A 若0<a <b <c ,且lg a <lg b <lg c ,又因为|lg a |>|lg c |>|lg b |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －1)·(a －1)<0,∴ac +1<a +c .8.B 因x >0,当log 2x <0时,不等式成立,此时0<x <1;当log 2x ≥0时,|2x +log 2x |=2x +|log 2x |. 9.Bxx x ||42-≥-,当0<x ≤2时,不等式成立,另由 0314020140222<≤-⇒⎩⎨⎧≥-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤-x x x x x . 10.由(|x |－1)·(|x |－3)<0⇔1<|x |<3⇔x ∈(－3,－1)∪(1,3). 11.由x ≥0知,x －x －2≤0,(x －2)·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.12.考察y =21x -,y =x +a 的图像,即直线y =x +a 在半圆x 2+y 2=1(y ≥0)上方⇒a ∈(2,+∞).13.(1)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥+⎩⎨⎧->+≥-0303)3(303x x x x x 或⇒1<x ≤3或x >3⇒x >1. (2)化原不等式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤--≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥-≥+0232222121)1(021012222x x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋃⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⇒22,032,22:原不等式解集为.14.原不等式等价于:⎪⎩⎪⎨⎧<---≤<-⎪⎩⎪⎨⎧<++--≤1325523132523x x x x x x 或或⎩⎨⎧<--->13255x x x , 解之:x <－7或31<x ≤5或x >5,故原不等式解集为:(－∞,－7)∪(31,+∞). 15.由a (a －x )≥0⇒x ≤a .(1)当x >2a 时,a －2x <0,不等式成立,故2a<x ≤a ; (2)当x ≤2a 时,a －2x ≥0,平方得a (a －x )>(a －2x )2,0<x <43a ,故0<x ≤2a.综上所述得:(]a ,0. 16.化原不等式为:|2log a x +1|－21|log a x +2|<21,令t =log a x , 则|2t +1|－21|t +2|<21,解之得:－1<t<31即－1<log a x <31,当a >1时,解集为(3,1a a),当0<a <1时,解集为)1,(3aa .。
绝对值零点分段法
绝对值零点分段法绝对值零点分段法是一种用于求解方程零点的方法，它的核心思想是将方程的解空间根据绝对值的不同取值进行分段讨论。
通过这种方法，可以将原本复杂的方程化简为一系列简单的线性方程，从而更容易求解。
本文将介绍绝对值零点分段法的基本原理，并通过实例进行演示。
一、绝对值零点分段法的基本原理绝对值零点分段法适用于含有绝对值的方程。
当我们遇到这样的方程时，首先要确定绝对值内的表达式的取值范围，然后将该范围分成若干段，分别讨论每一段内的方程解。
具体步骤如下：1. 确定绝对值内表达式的取值范围。
绝对值的取值范围可以通过以下两种方法确定：（1）根据实际问题的条件来确定。
例如，若方程中的变量表示某一物理量，而该物理量有一定的范围，则可以根据这一范围确定绝对值的取值范围。
（2）根据绝对值的定义来确定。
绝对值表示数到原点的距离，因此它的取值范围总是非负的。
2. 将取值范围分段。
根据绝对值内表达式的取值范围，将该范围划分为不同的子区间，每个子区间称为一个分段。
分段的数量取决于绝对值内表达式的复杂程度和取值范围的大小。
3. 分别讨论每个分段内的方程解。
将原方程中的绝对值内表达式按照每个分段的取值范围进行分类讨论，并解出每个分段内的方程。
这样，原方程的解就等于各分段内方程的解的并集。
为了更好地理解绝对值零点分段法的应用，我们以一个简单的方程为例进行演示。
考虑以下方程：|2x+1| - 3 = 01. 确定绝对值内表达式的取值范围。
由于绝对值表示的是距离，因此它的取值范围总是非负的，即|2x+1| ≥ 0。
2. 将取值范围分段。
根据绝对值内表达式2x+1 的取值范围，可以将它分为两个子区间：2x+1 ≥ 0 和 2x+1 < 0。
3. 分别讨论每个分段内的方程解。
（1）对于2x+1 ≥ 0，即x ≥ -1/2，方程简化为 2x+1 - 3 = 0，解得 x = 1。
（2）对于 2x+1 < 0，即 x < -1/2，方程简化为 -(2x+1) - 3 = 0，解得 x = -5/4。
初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数
初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数【引言】随着教育的发展，奥数题型越来越丰富，其中绝对值零点分段法是初中阶段数学学习中的一种重要方法。
为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文将为大家提供10道初中绝对值零点分段法化简的例题解析，希望对大家有所帮助。
【绝对值零点分段法概述】绝对值零点分段法是一种求解含有绝对值方程的方法，主要适用于一元一次方程、一元二次方程以及含有绝对值的不等式。
其基本思想是将绝对值符号去掉，转化为分段函数的形式，然后根据分段函数的性质求解。
1.定义：对于含有绝对值符号的方程或不等式，通过变形，将其转化为分段函数的形式。
2.原理：利用绝对值的性质，即|x| = x（x≥0）和|x| = -x（x<0），将绝对值符号去掉，得到分段函数。
【初中奥数例题解析】下面我们将通过10道例题，来了解绝对值零点分段法在初中奥数中的应用。
1.题目1：简单绝对值方程求解|x - 3| = 2解析：将方程转化为分段函数形式，得到：x - 3 = 2（x - 3 ≥ 0）或-（x - 3）= 2（x - 3 < 0）解得：x1 = 5，x2 = 12.题目2：绝对值不等式求解|x + 1| ≤ 4解析：将不等式转化为分段函数形式，得到：x + 1 ≤ 4（x + 1 ≥ 0）或-（x + 1）≤ 4（x + 1 < 0）解得：-5 ≤ x ≤ 33.题目3：含有绝对值的一元二次方程求解|2x - 1| = 3解析：将方程转化为分段函数形式，得到：2x - 1 = 3（2x - 1 ≥ 0）或-（2x - 1）= 3（2x - 1 < 0）解得：x1 = 2，x2 = -1后续题目解析从略。
【总结与拓展】通过以上10道题目的解析，我们可以发现绝对值零点分段法在初中奥数中的应用十分广泛。
掌握这一方法，能够帮助我们更好地解决含有绝对值的数学问题。
以下是解题技巧总结和拓展思考：1.知识点总结：- 掌握绝对值的性质：|x| = x（x≥0），|x| = -x（x<0）- 熟练运用分段函数求解绝对值方程和不等式2.解题技巧总结：- 将绝对值符号去掉，转化为分段函数形式- 根据分段函数的性质，求解方程或不等式3.拓展思考：- 绝对值零点分段法在高中阶段是否仍然适用？如何拓展应用到更复杂的数学问题中？- 是否可以将绝对值零点分段法与其他数学方法相结合，提高解题效率？。
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绝对值的零点分段法
一、教学目标：
1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤；
2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。
二、零点分段法：
此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。
因为含有参数的绝对值化简，化简的结果的随着参数的情况而改变的，所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。
三、词义解释：
1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就对应有几个零点；如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点，分别是0和3，而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点，分别是-1、1和3.
2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段：如有两个零点时，在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。
一般来说，有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。
四、用零点分段法解题的步骤：
通常分三步
（1）求出所有式子的零点；
（2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；
（3）在分出的段中，每一段上讨论原各个式子的正负性，去掉绝对值。
五、例题和练习
题型一：化简
例1、化简∣x∣+∣x-1∣
练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣
例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣
题型二：求最值
例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值.
练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值.
练习1.化简：∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣.
2.用零点分段法求∣2x-1∣-∣x-2∣的最小值.
3.用零点分段法求∣x+1∣+2∣x-2∣+3∣x-3∣的最小值.。