零点分段法提高训练
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(含详解)
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x ⎫<⎬D ．1|x x ⎧⎫<⎨⎬ 8002222A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是 A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【方法技巧与总结】 1．数形结合处理． 2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2-B ．1C ．2D ．8例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． （多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >0|6 0201132例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x 230≥的解集为_________.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围24321131上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ）A ．196B ．3C ．103 D ．92例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3234|0{}2| 1114．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,-D ．[1,7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（ ） A ．0a <B ．0c >2011201111222A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（ ）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立 C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]- D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y =递增区间是_______14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++，则a b c++的最大可能值为__. 四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．18．（2022·江西·高三期末（文））已知()|2||1|f x x x =++-. (1)解不等式()8f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.192320010 0 21(3)设1x ，2x 是方程()0f x =123||2x x -<．20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．21．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式：()()21100ax a x a +--<<. 22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数； （2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件： ①对任意,(4)(2)x R f x f x ∈-=-，且()0f x ≥； ②对任意x ∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-.若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可. 【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >， 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式. 【详解】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得21020 0所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2， 则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）. 故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <【答案】B 【解析】 【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论. 【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立； 当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.【详解】223302332()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5. 故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a --≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a. 故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎬⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】111010又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m < ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解. 【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m << 所以2m m >，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.9202【解析】 【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<， 当1a >时，不等式的解集为1x a <<， 当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】()(),22,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x aa ==由此可知120,0x x <>， 当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<>，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x<，即12a ，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得2321012（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A . （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. (1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}； 当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}． (2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集． 因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号， 所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围 【答案】12ln2(,]43-【解析】 【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x x m x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x xf x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x x m x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--， 3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，110210011011f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >， 该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】 1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． 【答案】D 【解析】124212322430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+ 因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当143a a -=-即a =1212a x x x x ++的最大值为 故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .1625101123⎧⎫303 23【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可. 【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<， 故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【答案】{|23}x x << 【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答. 【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<， 所以不等式20x bx a --< 的解集是{|23}x x <<. 故答案为：{|23}x x <<12例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由12x>可得120x ->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】 由12x >可得120x ->，整理可得：120xx ->，则()210x x -<，解可得：102x <<. 所以不等式是12x >的解集为: 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 【答案】()1,0- 【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解. 【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++, 故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________. 【答案】02xx <- 【解析】 【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-， 022123【答案】[4,5) 【解析】 【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++， 23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩， 2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5). 【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题. 例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【答案】()()3,11,2--.101111011【详解】 若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃. 故解集为：()()3,11,2--.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） 55345135534求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】1232122∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103 D ．92【答案】AC 【解析】 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可. 【详解】 解：∵ 322()13f x x x ax =-+-， 22222232223022230且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩， 解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103. 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+ 【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案. 【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得； （Ⅰ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得. 【详解】020 000020故21ba-<<-. （Ⅰ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a--，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3ba -上单调递减，在(,1)3b a-上单调递增， 所以方程()0f x =在区间(0,)3ba -与(,1)3b a-内分别各有一实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤ D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤， 故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件22012,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞ C ．()(),12,4-∞-⋃ D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1- B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求 22022又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos 2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知， ()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +<，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t << 所以01t <<. 故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可. 【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<， 所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的7522。
注意力障碍训练方法与技巧分享
注意力障碍训练方法与技巧分享注意力障碍是当今社会普遍存在的问题之一，尤其是在强调多任务处理和高度刺激的数字时代。
不仅对儿童和青少年有影响，对成年人来说，集中注意力也是一项重要的能力。
然而，如何训练和提高注意力却是一个令人困惑的话题。
在本文中，我将分享一些注意力障碍训练方法和技巧，帮助读者在各个方面改善注意力。
1. 专注于目标任务注意力的训练首先要求我们能够设定明确的目标，并专注于实现这些目标。
一个常见的错误是试图同时处理多个任务，而结果是注意力分散，难以集中精力。
我们应该培养专注于一项任务的习惯，通过制定清晰的目标，并为完成任务设定时间限制，将注意力集中在最重要的事情上。
2. 分段学习法分段学习法是一种通过将学习内容分成小块的方法，以增加记忆的效果和提高专注力。
通过将学习任务分解成多个阶段，并在每个阶段之间休息一段时间，可以防止过度疲劳和降低学习过程中的压力。
这种方法有助于提高学习效率和注意力，同时减少压力和焦虑感。
3. 记忆训练记忆力是注意力的一个重要组成部分。
通过进行记忆训练，可以增强大脑的注意力和思维能力。
一种简单的记忆训练方法是使用闪卡，将信息分成小块，并反复回顾。
通过挑战自己记住一系列数字、单词或图像，可以锻炼记忆和注意力。
4. 锻炼和休息身体健康是注意力训练的重要组成部分。
通过参加有氧运动和身体训练，可以提高注意力和警觉性。
锻炼可以增加大脑中的血液流动，提高大脑的活力和集中力。
休息也是调整注意力的关键。
短暂休息可以帮助恢复身体和大脑的疲劳，提高长时间集中注意力的能力。
总结回顾：注意力障碍是一个普遍存在的问题，但通过一些训练方法和技巧，我们可以改善和提高注意力。
我们应该专注于目标任务，避免分散注意力。
分段学习法可以提高学习效率和专注力。
记忆训练可以增强大脑的注意力和思维能力。
锻炼和休息是保持身体和大脑健康的关键。
通过采取这些方法，我们可以逐步提高注意力，增强专注力，并有效地处理日常任务。
中考复习：有理数与实数讲解+练习
内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小无理数了解无理数的概念能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题近似数、有效数字和科学记数法了解近似数和有效数字的概念；会用科学记数法表示数在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值；能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用的有理数的运算解决简单问题运算律理解有理数运算律能用运算律简化有理数运算实数了解实数的概念会进行简单的实数运算平方根、算术平方根了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定的条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）有理数与实数2014年中考怎么考2022年中考复习方案知识点一 有理数一、有理数注意：0既不是正数，也不是负数，前面带“—”号的不一定是负数二、数轴注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.三、相反数⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0． 相反数必须成对出现，不能单独存在．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．四、绝对值绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．五、科学计数法、有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．注意：万410=，亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．知识点二 实数①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注：平方根要取正负，算术平方根只有一个且为非负．被开方数一定为非负数知识点三 二次根式自检自查必考点最简二次根式：⑴被开方数不能存在小数、分数形式⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．考点一有理数☞考点说明：本类题型无难度，但需要细心【例1】有理数－2的相反数是（）A.2B.－2C.12D.12-【例2】13-的倒数是（）A.3B.3- C.12D.13【例3】23-的倒数的绝对值为（）A.23B.32C.3D.2【例4】这些数1750.1390.10101010.1010010001211π----，，，，，，，……，……中为无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例5】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥爆发并在全球蔓延，研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m，用科学记数法表示这个数（保留两位有效数字）是（）A．0.16×510-m B．0.156×510m C．1.6×610-m D．1.56×610m【例6】2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学计数法表示为( )A.664×104B.66.4×l05C.6.64×106D.0.664×l07【例7】在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5510-⨯cm，3210⨯个这样的细胞排成的细胞链的长是( )A．210-cm B．110-cm C．310-cm D．410-cm【例8】用四舍五入法按要求对0.06249分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）中考满分必做题C ．0.06（精确到千分位）D ．0.062（精确到0.001）【例9】 已知有理数a 与b 在数轴上的位置如图所示，那么a ，b ，a -，b -的大小顺序为___________【例10】已知01x <<，则2x ，x ，1x的大小顺序为_____________ 【例11】设23a m a +=+，12a n a +=+，1ap a =+，若3,a <-则（ ）A.m n p << B . n p m << C . p n m << D .p m n <<【例12】若化简绝对值26a -的结果为62a -，则a 的取值范围是（ ）A.3a >B.3a ≥C.3a <D.3a ≤【例13】若220x x -+-=，则x 的取值范围是____________【例14】 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【例15】如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则11a b b a c c +------的值为______.考点二 实数与二次根式☞考点说明：本类型题在选择和填空中都有可能出现，只要掌握二次根式的四个公式即可 【例16】若a ＜11（ ）A ．2a -B ．2a -C ．aD ．a -【例17】已知1x <化简的结果是_______________. 【例18】下列计算正确的是（ ）A= B ．632=⋅C ．224=-3-【例19_________【例20】已知a b ，为两个连续的偶数，且a b <，则a b +=________． 【例21】把(2a -____________。
专题十：零点分段法
零点分段法零点分段法四步走：1、找零点2、画数轴分段3、分段化简4、综上所述1、阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：化简代数式|x+2|+|x﹣4|．2、化简代数式2121x x x -++--．零点分段法解析1、阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：化简代数式|x+2|+|x﹣4|．解：当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；综上讨论，原式() ()()22262422x xxx x-+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥42、化简代数式2121x x x -++--．解：当x ＜﹣2时，2121=2121=2121=22x x x x x x x x x x -++-----++--+--+---（）（）（）； 当122x -≤≤时；2121=2121=2121=2x x x x x x x x x -++----+++--++++-（）（）（） 当112x <<时，2121=2121=2121=4x x x x x x x x x x -++---+++--+++-（）（）（）； 当1x ≥时，2121=2121=2121=22x x x x x x x x x x -++---++---++-++（）（）（） 综上讨论，原式()()222122214122+2x x x x x x x ⎧--<-⎪⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎩≤≥1。
初一数学《绝对值与零点分段法》专项练习(含答案)
零点分段法姓名：__________班级：__________考号：__________一 、填空题1.化简：212x x x -++-=二 、解答题2.化简：121x x --++.3.化简124x x --+-4.化简：2121x x x -++--5.化简12m m m +-+-的值6.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-零点分段法答案解析一 、填空题1.解：令10x -=，20x +=，0x =，∴零点为1x =、2x =-、0x = ∴可分四段讨论：2x <-、20x -≤<、01x ≤<、1x ≥ ①当2x <-时，则10x -<，20x +< ∴11x x -=-+，22x x +=--，x x =- ∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+----=-+--+=2x - ②当20x -≤<时，则10x -<，20x +≥ ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =- ∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+++--=-++++=4 ③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x = ∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+ ④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x = ∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-= 综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x - 当20x -≤<时，212x x x -++-=4 当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+ 当1x ≥时，212x x x -++-=2x二 、解答题2.解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =- ∴零点有1x =-，1x =，3x = ∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+ ∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=- ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x - 综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x -- 当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -3.解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=-- ∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+ ②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+ ∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5 ③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+ ∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+ ④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1 ⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=- ∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x - 综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+ 当34x ≤<时，124x x --+-=1 当4x ≥时，124x x --+-=27x -4.解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x =则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x -- ②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2 ③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x + 综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x + 5.解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -< ∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m +④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+ 当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -6.解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥①当2x <-时，则20x +<，40x -< ∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -<∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6 ③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x - 综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+ 当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -。
利用零点分段法解含多绝对值不等式
利用整面分段法解含多千万于值没有等式之阳早格格创做对付于含有二个或者二个以上千万于值没有等式的供解问题，很多共教感触无从下脚，底下介绍一种通法——整面分段计划法．一、步调常常分三步：⑴找到使多个千万于值等于整的面．⑵分区间计划，去掉千万于值而解没有等式．普遍天n 个整面把数轴分为n＋1 段举止计划．⑶将分段供得解集，再供它们的并集．二、例题选道例1供没有等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分解：据千万于值为整时x的与值把真数分成三个区间，再分别计划而去掉千万于值．进而转移为没有含千万于值的没有等式．解：∵ |x＋2|＝2 (2)2 (2)x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩，|x－1|＝1 (1)1 (1)x xx x-≥⎧⎨-<⎩．故可把部分真数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x ＜1，③x≥1．所以本没有等式等价于底下三个没有等式组：(Ⅰ)2213xx x<-⎧⎨--+->⎩，或者(Ⅱ)1213xx x>⎧⎨++->⎩，或者(Ⅲ)21213xx x-≤<⎧⎨++->⎩．没有等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，没有等式组(Ⅱ)的解集是∅，没有等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知本没有等式的解集是{x|x＜－2或者x＞1}．例2解没有等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于真数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间去计划．⑴当x≤1时，本没有等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x ＋3，即x＜0．故没有等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，本没有等式可化为(x－1)－(x－2)＞x ＋3，即x＜－2．故没有等式的解集是∅．⑶当x＞2时，本没有等式可化为(x－1)＋(x－2)＞x＋3，即x＞6．故没有等式的解集是{x|x＞6}．综上可知，本没有等式的解集是{x|x＜0或者x＞6}．例3已知闭于x的没有等式|x－5|＋|x－3|＜a的解集利害空集中，供a的与值范畴．解：∵x＝5时，|x－5|＝0；x＝3时，|x－3|＝0．⑴当x≤3时，本没有等式可化为－x＋5－x＋3＜a，即a＞8－2x，由x≤3，所以－2x≥－6，故a＞2．⑵当3＜x≤5时，本没有等式可化为－x＋5＋x－3＜a ，即a ＞2．⑶当x ＞5时，本没有等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2．综上知a ＞2．无理没有等式与千万于值没有等式●考查目标 主词汇挖空①|f (x )|<a (a >0),去掉千万于值后，生存其等价性的没有等式是－a <f (x )<a .②|f (x )|>a (a >0),去掉千万于值后，生存其等价性的没有等式是f (x )>a 或者f (x )<－a .③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 2(x )>g 2(x ).2.无理没有等式对付于无理没有等式的供解，常常是转移为有理没有等式(或者有理没有等式组)供解.其基础典型有二类: ①[]⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔>0)(0)()()(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②[]⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3.含有多个千万于值标记的没有等式，常常是“分段计划”，去掉千万于值标记.4.某些无理没有等式战千万于值没有等式，可用“换元法”或者图像法供解.5.三角没有等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此没有等式可推广如下：|a 1+a 2+a 3+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |当且仅当a 1,a 2,a 3,…a n 标记相共时与等号.●题型示例面津归纳【例1】解无理没有等式. (1)1-x >2; (2)1-x >2x －4; (3)1+x <2x +1.【解前面津】(1)果2>0,故本没有等式可化为没有等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x .(2)果左边2x 标记没有定，故须分二种情况计划,(3)与(2)类似，也须计划.【典型解问】 (1)化本没有等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x .(2)化本没有等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或.(3)化本没有等式为二个没有等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x .【解后归纳】将无理没有等式转移为有理没有等式组，基础思路是分类计划，要注意解集的接、并运算.对付于那些搀纯的无理没有等式，普遍情况下读者没有要去钻研它，预防消耗太多粗力.【例2】解下列含有千万于值的没有等式：(1)|x 2－4|≤x +2;(2)|x +1|>|2x －1|;(3)|x －1|+|2x +1|<4.【解前面津】 (1)可间接去掉千万于值标记，转移为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)二边仄圆，去掉千万于值标记;(3)当x =1,－21时,有x －1=0及2x +1=0,故可分段计划，去掉千万于值标记.【典型解问】 (1)本没有等式可化为:－(x +2)≤x 2－4≤x +2⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+⇒3212060222x x x x x x x 或.故本没有等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化本没有等式为|x +1|2>|2x －1|2⇒(2x －1)2－(x +1)2<0. (2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)<0⇒3x ·(x －2)<0⇒0<x <2.(3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－21. 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,时,本没有等式可化为:－(x －1)－(2x +1)<421344321-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≤⇒x x x .当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21时,本没有等式可化为:－(x －1)+(2x +1)<4. 由212121-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤<-x x <x ≤1.当x ∈(1,+∞)时,本没有等式可化为:(x －1)+(2x +1)<4,故由341431<<⇒⎩⎨⎧<>x x x .综上所述知:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--34,3434,11,2121,34为本没有等式解集.【解后归纳】解含有二个或者二个以上千万于值的没有等式，普遍要领是分段计划得出本没有等式解集的子集，末尾与并集，怎么样分段?分几段?那只须算出“分面”即可，即“千万于值”为0时的变量与值，n 个分歧的分面，将数轴分隔成了(n +1)段.【例3】若没有等式23+>ax x 的解集是(4,m ),供a ,m 的值.【解前面津】正在共一坐标系中做出二个函数y =x (x ≥0)及y =ax +23(x ≥y =x 的图像位于y =ax +23图像的上圆，则与之对付应的x 的与值范畴便是没有等式的解.【典型解问】设y 1=x ,它的图像是半条扔物线;y 2=ax +23(x ≥0),它的图像是通过面(0,23),斜率为a 的一条射线. 没有等式23+>ax x 的解即当y 1=x 的图像正在y 2=ax +23(x≥0)的图像上圆时相映的x 的与值范畴，果为没有等式解集为(4,m ),故圆程23+=ax x 有一个解为4,将x =4代进23+=ax x 得:812344=⇒+=a a . 再供圆程2381+=x x 的另一个解，得:x =36,即m =36.【解后归纳】用图像法解没有等式，须正在共一坐标系中做出二个函数的图像，且图像必须正在“大众定义域内”，要决定那一部分的图像对付应于没有等式的解集.【例4】解没有等式|lo g 2x |+|lo g 2(2－x )|≥1.【解前面津】从x 的可与值范畴进脚，易知0<x <2,当x 分别正在(]1,0及(1,2)上与值时，可共时去掉二个千万于值标记.【典型解问】∵x >0且2－x >0故0<x <2时没有等式才蓄意思.当x ∈(]1,0时,果lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x )≥0,故此时本没有等式为:－lo g 2x +lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2x x -2≥lo g 2232010221022≤<⇒⎩⎨⎧≤<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-⇒x x x x x x x .当x ∈(1,2)时,果为lo g 2x >0,lo g 2(2－x )<0,故此时本没有等式为:lo g 2x －lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2x x-2≥lo g 2223421)2(22122<≤⇒⎩⎨⎧<<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-⇒x x x x x x x.故本没有等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎝⎛2,3432,0.【解后归纳】本题利用对付数函数的本量，去掉了千万于值标记，进而转移为分式没有等式组.一、引进：1、无理没有等式的典型：①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型③、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型二、典型例题：例1、解没有等式0343>---x x例2、解没有等式x x x 34232->-+-例3、解没有等式24622+<+-x x x 例4、解没有等式1112-+>+x x 例5、 解没有等式)0(112>≤-+a ax x 例6、解没有等式1123>-+-x x 三、小结：四、反馈训练：解下列没有等式1．655332->-+-x x x2．33333++<++-x x x x 3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x 5．112>+--x x第6课 无理没有等式与千万于值没有等式习题解问1.C 对付a =3举止考验，思量没有等式的几许意思.2.C 利用x >0,化简另一个没有等式.3.D 由0<3-x <1⇒0<x －3<1⇒3<x <4.4.B 由4－x 2≥0且x +1>0且4－x 2<(x +1)2271+-⇒<x ≤2. 5.B 分别绘出:y =22x a -,与y =2x +a 的图像，瞅图做问.6.B|x －a |<ε,|y －a |<ε⇒|x －y |=|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |+|y －a |<ε+ε=2ε,当|x －y |<2ε时,没有克没有及推出|x －a |<ε且|y －a |<ε.7.A 若0<a <b <c ,且lg a <lg b <lg c ,又果为|lg a |>|lg c |>|lg b |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －1)·(a －1)<0,∴ac +1<a +c .8.B 果x >0,当log 2x <0时,没有等式创造,此时0<x <1;当log 2x ≥0时,|2x +log 2x |=2x +|log 2x |. 9.B x x x ||42-≥-,当0<x ≤2时,没有等式创造,另由0314020140222<≤-⇒⎩⎨⎧≥-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤-x x x x x .10.由(|x |－1)·(|x |－3)<0⇔1<|x |<3⇔x ∈(－3,－1)∪(1,3).11.由x ≥0知,x －x －2≤0,(x －2)·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.12.观察y =21x -,y =x +a 的图像,即曲线y =x +a 正在半圆x 2+y 2=1(y ≥0)上圆⇒a ∈(2,+∞). 13.(1)化本没有等式为:⎩⎨⎧<-≥+⎩⎨⎧->+≥-0303)3(303x x x x x 或⇒1<x ≤3或者x >3⇒x >1. (2)化本没有等式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤--≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥-≥+023*******)1(021012222x x x x x x x x⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋃⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⇒22,032,22:原不等式解集为. 14.本没有等式等价于:⎪⎩⎪⎨⎧<---≤<-⎪⎩⎪⎨⎧<++--≤1325523132523x x x x x x 或或者⎩⎨⎧<--->13255x x x ,解之:x <－7或者31<x ≤5或者x >5,故本没有等式解集为:(－∞,－7)∪(31,+∞). 15.由a (a －x )≥0⇒x ≤a .(1)当x >2a 时,a －2x <0,没有等式创造,故2a <x ≤a ; (2)当x ≤2a 时,a －2x ≥0,仄圆得a (a －x )>(a －2x )2,0<x <43a ,故0<x ≤2a .综上所述得:(]a ,0.16.化本没有等式为:|2log a x +1|－21|log a x +2|<21,令t =log a x ,则|2t +1|－21|t +2|<21,解之得:－1<t<31即－1<log a x <31, 当a >1时,解集为(3,1a a ), 当0<a <1时,解集为)1,(3a a .。
零点分段法求最小值-概述说明以及解释
零点分段法求最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述零点分段法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的最小值。
通过将函数在一定范围内进行零点分段，然后对各个小段进行逼近，最终得到函数的最小值。
本文将介绍零点分段法的基本原理和应用方法，通过具体的例子说明如何利用零点分段法求解函数的最小值。
同时，分析零点分段法在实际问题中的优缺点，并展望其在未来的应用前景。
通过本文的介绍，读者将了解到零点分段法在数值计算中的重要性和实用性。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将会对零点分段法求最小值的背景和意义进行概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细介绍零点分段法的基本原理，探讨如何利用零点分段法求解最小值的过程，并介绍零点分段法在求最小值中的具体应用。
在结论部分，将对本文进行总结，分析零点分段法在求最小值中的优缺点，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的主要目的是介绍零点分段法在求解函数最小值时的应用。
通过分析和讨论零点分段法的原理和优势，使读者了解如何利用这种方法来寻找函数的最小值。
同时，通过对零点分段法的优缺点进行分析，可以更全面地评估这种方法在实际问题中的适用性。
最终，希望读者能够通过本文了解并掌握零点分段法求解最小值的方法，从而在求解实际问题时得到有效的帮助和指导。
2.正文2.1 零点分段法介绍:零点分段法，又称割线法，是一种数值计算方法，用于求解函数在特定区间内的零点（即函数与x 轴的交点）。
在求解函数的最小值时，我们可以利用零点分段法来逼近最小值所在的位置。
该方法的基本思想是通过连接函数上两点的直线（割线）来逐步逼近最小值点的过程。
具体步骤如下：1. 选择一个初始区间[a, b]，使得函数在该区间内存在最小值。
2. 在区间[a, b] 内选择一个中点c，计算函数在c 点的导数值。
3. 如果导数值为零或趋于零，则说明c 点可能是最小值所在点，可以将该点作为新的a 或b，并缩小区间范围。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
千万于值大齐（整面分段法、化简、最值）之阳早格格创做一、去千万于值标记的几种时常使用要领解含千万于值不等式的基础思路是去掉千万于值标记，使不等式形成不含千万于值标记的普遍不等式，而后，其解法与普遍不等式的解法相共.果此掌握去掉千万于值标记的要领战道路是解题闭键.1利用定义法去掉千万于值标记根据真数含千万于值的意思，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的本量去掉千万于值标记利用不等式的本量转移|x |<c 大概|x |>c (c >0)去解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 大概ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此供出本不等式的解集.对付于含千万于值的单背不等式应化为不等式组供解，也可利用论断“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 大概－b ≤x ≤－a ”去供解，那是种典型的转移与化归的数教思维要领.3利用仄要领去掉千万于值标记对付于二边皆含有“单项”千万于值的不等式，利用|x|2=2x可正在二边脱去千万于值标记去解，那样解题要比按千万于值定义去计划脱去千万于值标记解题更为简便，解题时还要注意不等式二边变量与参变量的与值范畴，如果不精确不等式二边均为非背数，需要举止分类计划，惟有不等式二边均为非背数(式)时，才不妨曲交用二边仄圆去掉千万于值，更加是解含参数不等式时更必须注意那一面.4利用整面分段法去掉千万于值标记所谓整面分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含1有|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相映千万于值为1整，称x，2x，……，n x为相映千万于值的整面，整面1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用千万于值的意思化去千2万于值标记，得到代数式正在各段上的简化式，进而化为不含千万于值标记的普遍不等式去解，即令每项等于整，得到的值动做计划的分区面，而后再分区间计划千万于值不等式，末尾应供出解集的并集.整面分段法是解含千万于值标记的不等式的时常使用解法，那种要领主要体现了化归、分类计划等数教思维要领，它不妨把供解条理化、思路曲瞅化.5利用数形分离去掉千万于值标记解千万于值不等式偶尔要利用数形分离，利用千万于值的几许意思绘出数轴，将千万于值转移为数轴上二面间的距离供解.数形分离法较为局里、曲瞅，不妨使搀纯问题简朴化，此解法适用于||||x a x b m-+-<(m为仄常-+->大概||||x a x b m数)典型不等式.对付||||+++>(大概<m)，当|a|≠|c|时普遍ax b cx d m不必.二、怎么样化简千万于值千万于值的知识是初中代数的要害真量，正在中考战百般竞赛中时常出现，含有千万于值标记的数教问题又是教死逢到的易面之一，办理那类问题的要领常常是利用千万于值的意思，将千万于值标记化去，将问题转移为不含千万于值标记的问题，决定千万于值标记里里分的正背，借以去掉千万于值标记的要领大概有三种典型.（一）、根据题设条件例1：设化简的截止是（）.（A）（B）（C）（D）思路分解：由可知可化去第一层千万于值标记，第二次千万于值标记待合并整治后再用共样要领化去．解：∴应选（B）．归纳面评只消了解千万于值将合内的代数式是正是背大概是整，便能根据千万于值意思成功去掉千万于值标记，那是解问那类问题的惯例思路．（二）、借帮数轴例2：真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分解由数轴上简单瞅出，那便为去掉千万于值标记扫浑了障碍．解：本式∴应选（C）．归纳面评那类题型是把已知条件标正在数轴上，借帮数轴提供的疑息让人去瞅察，一定弄浑：1．整面的左边皆是背数，左边皆是正数．2．左边面表示的数总大于左边面表示的数．3．离本面近的面的千万于值较大，牢记那几个重心便能从容自如天办理问题了．（三）、采与整面分段计划法例3：化简思路分解本典型的题既不条件节造，又不数轴疑息，要对付百般情况分类计划，可采与整面分段计划法，本例的易面正在于的正背不克不迭决定，由于x是不竭变更的，所以它们为正、为背、为整皆有大概，应当对付百般情况—一计划．解：令得整面：；令得整面：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴本式②当时，，∴本式③当时，，∴本式∴归纳面评：虽然的正背不克不迭决定，但是正在某个简曲的区段内皆是决定的，那正是整面分段计划法的便宜，采与此法的普遍步调是：1．供整面：分别令各千万于值标记内的代数式为整，供出整面（纷歧定是二个）．2．分段：根据第一步供出的整面，将数轴上的面区分为若搞个区段，使正在各区段内每个千万于值标记内的部分的正背不妨决定．3．正在各区段内分别观察问题．4．将各区段内的情形概括起去，得到问题的问案．误区面拨千万不要念天然天把等皆当成正数大概无根据天减少一些附加条件，免得得堕落误的截止．三、戴千万于值标记的运算正在初中数教教教中，怎么样去掉千万于值标记？果为那一问题瞅似简朴，所往常往简单被人们轻视.本去它既是初中数教教教的一个沉面，也是初中数教教教的一个易面，仍旧教死简单搞错的问题.那么，怎么样去掉千万于值标记呢？尔认为应从以下几个圆里收端：（一）、要明白数a的千万于值的定义.正在中教数教教科书籍中，数a的千万于值是那样定义的，“正在数轴上，表示数a的面到本面的距离喊搞数a的千万于值.”教习那个定义应让教死明白，数a的千万于值所表示的是一段距离，那么，不管数a自己是正数仍旧背数，它的千万于值皆该当是一个非背数.（二）、要弄领会何如去供数a的千万于值.从数a的千万于值的定义可知，一个正数的千万于值肯定是它的自己，一个背数的千万于值肯定是它的好异数，整的千万于值便是整.正在那里要让教死沉面明白的是，当a是一个背数时，何如去表示a的好异数（可表示为“-a”），以及千万于值标记的单沉效率（一利害背的效率，二是括号的效率）.（三）、掌握初中数教罕睹去掉千万于值标记的几种题型.1、对付于形如︱a︱的一类问题只消根据千万于值的3个本量，推断出a的3种情况，便能赶快去掉千万于值标记.当a>0时，︱a︱=a (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a=0 时，︱a︱=0 (本量 2：0的千万于值是0) ；当 a<0 时；︱a ︱=–a (本量3：背数的千万于值是它的好异数) .2、对付于形如︱a+b︱的一类问题最先要把a+b瞅做是一个完齐，再推断a+b的3种情况，根据千万于值的3个本量，便能赶快去掉千万于值标记举止化简.当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (本量 2：0的千万于值是0)；当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (本量3：背数的千万于值是它的好异数).3、对付于形如︱a-b︱的一类问题共样，仍旧要把a-b瞅做一个完齐，推断出a-b 的3种情况，根据千万于值的3个本量，去掉千万于值标记举止化简.但是正在去括号时最简单出现过得.怎么样赶快去掉千万于值标记，条件非常简朴，只消您能推断出a与b的大小即可（不管正背）.果为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b 时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b .心诀：无论是大减小，仍旧小减大，去掉千万于值，皆是大减小.4、对付于数轴型的一类问题，根据3的心诀去化简，更快速灵验.如︱a-b︱的一类问题，只消推断出a正在b的左边（不管正背），即可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对付于千万于值标记前有正、背号的运算非常简朴，去掉千万于值标记的共时，不要记记挨括号.前里是正号的无所谓，如果是背号，记记挨括号便惨了，好之毫厘得之千里也！6、对付于千万于值号里有三个数大概者三个以上数的运算万变不离其宗，仍旧把千万于值号里的式子瞅成一个完齐，把它与0比较，大于0曲交去千万于值号，小于0的完齐前里加背号.四、去千万于值化简博题训练（1）设化简的截止是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知，化简的截止是 x-8 .(4) 已知，化简的截止是 -x+8 .(5) 已知，化简的截止是 -3x .(6) 已知a、b、c、d谦脚且，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借帮数轴完毕）(7) 若，则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则式子化简截止为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b正在数轴上的对付应面如图所示，那么下列四个式子，中背数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是真数，下列四个论断中精确的是（ D ）.（A）y不最小值（B）有有限多个x使y与到最小值（C）惟有一个x使y博得最小值（D）有无贫多个x使y博得最小值五、千万于值培劣教案千万于值是初中代数中的一个基础观念，是教习好异数、有理数运算及后绝二次根式的前提．千万于值又是初中代数中的一个要害观念，正在解代数式化简供值、解圆程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广大的应用，周到明白、掌握千万于值那一观念，应从以下圆里人脚：l ．千万于值的代数意思：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．千万于值的几许意思从数轴上瞅，a 表示数a 的面到本面的距离(少度，非背) ；b a -表示数a 、数b 的二面间的距离．3．千万于值基赋本量①非背性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培劣道解（一）、千万于值的非背性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --=.归纳：若搞非背数之战为0，.（二）、千万于值中的完齐思维【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、千万于值相闭化简问题（整面分段法）【例3】阅读下列资料并办理有闭问题：咱们了解()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，当前咱们不妨用那一个论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 战02=-x ，分别供得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的整面值）.正在有理数范畴内，整面值1-=x 战2=x 可将部分有理数分成不沉复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，本式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，本式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，本式=1221-=-++x x x .综上计划，本式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请您办理以下问题：（1） 分别供出2+x 战4-x 的整面值；（2）化简代数式42-++x x 变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；变式2.已知2--xx的最大值为b，3+x的最小值是a，23++-x供ba+的值.（四）、ba-表示数轴上表示数a、数b的二面间的距离．【例4】（距离问题）瞅察下列每对付数正在数轴上的对付应面间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回问下列各题：（1）您能创造所得距离与那二个数的好的千万于值有什么闭系吗？问：___.（2）若数轴上的面A表示的数为x，面B表示的数为―1，则A与B二面间的距离不妨表示为 ______________.（3）分离数轴供得23-++的最小值为，博得最小值时x的x x与值范畴为 ___.（4）谦脚3+x的x的与值范畴为 ______ .+x41>+（5）若1232008-+-+-++-的值为常数，试供x的与值范x x x x畴．（五）、千万于值的最值问题【例5】（1）当x与何值时，3-x有最小值？那个最小值是几？（2）当x与何值时，2-x有最大值？那个最大值是5+几？（3）供54-+-x x 的最小值.（4）供987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，供M 的最大值与最小值．课后训练：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为好异数，供321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为好异数，则a 与b 的大小闭系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三面A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 二面的距离 B ．A 、C 二面的距离C ．A 、B 二面到本面的距离之战D ． A 、C 二面到本面的距离之战4.利用数轴分解23x x -++，不妨瞅出，那个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之战，它表示二条线段相加：⑴当x >时，创造，那二条线段的战随x 的删大而越去越大；⑵当x <时，创造，那二条线段的战随x 的减小而越去越大；⑶当x ≤≤时，创造，无论x 正在那个范畴与何值，那二条线段的战是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值皆小.果此，归纳，23x x -++有最小值，即等于到的距离5. 利用数轴分解71x x +--，那个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之好它表示二条线段相减：⑴当x ≤时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑵当x ≥时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑶当x <<时，随着x 删大，那个好值徐徐由背变正，正在中面处是整. 果此，归纳，式子71x x +--当x 时，有最大值；当x 时，有最小值；9．设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3大概-1D ．-3大概110．若2-<x ，则=+-x 11；若a a -=，则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位战个位数字，而且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-大概博得的最大值是．4、当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.2、已知b 为正整数，且a 、b 谦脚| 2a －4|＋b ＝1，供a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，供x 的与值范畴.7、若|5||2|7x x ++-=，供x 的与值范畴.。
绝对值与零点分段法
第一节绝对值与零点分段法一、知识点)0(≥aaaa(-＜0）2. =x1的几何意义？3. 11=-x的几何意义？（两个点）4.2+x＞1的几何意义？（两射线）5.12≤+x的几何意义？（一条线段）一般地，21xx-表示数轴上两点的距离，即21xx-=AB二、例题例1：在下列条件下去掉绝对值（1）()221>---xxx；(2)()3131≤≤---xxx；(3)31-+-xx例2：解绝对值不等式（1）11<-x；（2）212<-x；（3）3121>+x；（4）075≥+x；（5）012<+x；（6）012≤+x；练习：①5<x；②10>x；③82≤x；④75≥x；⑤123<x；⑥025≥-x；⑦015323≥++xx；⑧0153<+-x；⑨053≤-x例3：解下列关于x的不等式（1）)0(><-bbax；（2）)0(>>-bbaxa=例4：解方程（1）12=-x ； (2)231=-+-x x ；（3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。
练习：解2312=---x x 例5：解不等式（1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像（1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ；（4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 练习：不等式组 113x x a-≤-≤无解，求a 的范围第二节 多项式乘法原理及因式分解一、知识点1．多项式乘法原理：2．乘法公式：（1）=-+))((b a b a ____________；(2)2)(b a ±=_______________；(3)=±3)(b a _________________；（4）=++2)(c b a ____________；（5）=-+))((n x m x ______________；(6)=--))((n x m x ______________；（7）=+±))((22b ab a b a _______________________； 3．因式分解：（1）=-22b a _____________；（2）=+±222b ab a _________________；二、例题例1：（1）多项式)765)(32(232+-+-+x x x x x 展开后，3x 项的系数为_______________；（2）)765)(32(232+-+-+x x x x x =0122334455a x a x a x a x a x a +++++，则543210a a a a a a +++++=___________________；例2：计算：（1）=+-+)964)(32(2x x x ____________________________；（2）=++-)4121)(21(2242b b a a b a _______________________；练习：（1）=-++--+)42)(42)(2)(2(22a a a a a a _______________________；（2）=++---)1)(1()1(22x x x x x ___________________________； （3）))(()(2z y x z y x z y x -++-+-+=_________________________；例3：分解因式：（1）=-66y x _______________________________；（2）=++33662n m n m ___________________________；（3）=+-+-+1)1(6)1()1(9222x x x ___________________________；例4：（1）已知2,3==+xy y x ，求33y x +与22y x +的值； （2）已知8)(,2222=+=+b a b a ，求2)(b a -的值； （3）已知：6,11,6==++=++xyz yz xz xy z y x ， 求222z y x ++与)1)(1)(1(---z y x 的值；（4）已知：23,23+=-=b a ，求33b a +与33b a -的值；（5）已知：0132=++x x ，求值：①221x x +；②441xx +；③361x x +；（6）设84222++-+=a a b a y ，a 和b 可取一切实数，求y 的最大值； 三、习题1．已知：2=+b a ，求336b ab a ++的值； 2．已知：31=-xx ，求331x x -的值； 3．若z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值；4．设2)()1(2-=---b a a a ，求ab b a -+222的值； 5．若2=--b a ab ，且a 、b 为正整数，求a 与b 的值； 6．计算：（1）)()(222y xy x y x +-+=________________；（2）[]=++-2)2(2)2(z y x y z y ____________________________； (3)=+-+--)4121)(4121)(41(222x x x x x ________________________； (4)[][]{}xy y x y x xy y x y x +-+-+-22)()()()(=__________________________； (5) =++-)413)(161439(2x x x _________________________________； (6)[]=++-2242)42)(2(a a a ________________________________； 7．已知：x 、y 、z 是正实数，且0,2233=----=-z yz z y y x ，求z x -的值；8．若56,733=-=-y x y x ，求22y xy x ++的值； 9．已知：xy y x y x 44,622≤+=+，求33y x +的值。
人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.1 函数 2.1.2 函数的表示方法》_13
一、函数的表示法——教学目标：1.知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。
二、函数的表示法——教学重难点：重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像三、函数的表示法——教学过程：（一）、复习引入：1．函数的定义，函数的三要素（函数相同的条件）．集合A集合B当对应关系符合下面的条件之一时，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（1）11（集合A和B一一对应）（2）2或者更多1（集合A多个对B一个）误区：12或者更多×构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数相同：当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
2．函数图象的基本方法画法（列表、描点、作图.）本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法（二）、讲解新课：（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。
以下是我国1992年-1998年的国内生产总值（单位：亿元）年份1992199319941995199619971998生产总值26651.934560.54670.057494.966850.573142.776967.1根据我们学习的函数的概念，我们知道年份与生产总值之间构成了函数。
而我们仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系，像这种函数的表示法，我们称为列表法。
试述常用训练方法的分类
常用训练方法的分类
训练方法是指针对特定的训练目标，为运动员提供必要的技术、技能和体能的训练手段和方式。
常用的训练方法可以分为以下几类：
1.循序渐进法：根据训练目标确定训练计划，将训练任务分阶段、分步骤、由易到难逐步实施，循序渐进地提高运动员的能力水平。
2.反复练习法：运动员重复进行某项训练，达到熟练掌握的目的，促进技能的自动化和优化。
3.分散型训练法：将训练内容分成若干部分，错开时间进行训练，以避免疲劳和单调性的影响，提高训练效果。
4.随机变化训练法：在一定范围内随机选择训练内容，增加练习的难度和复杂度，促进运动员的适应能力和应变能力。
5.组合型训练法：将多项训练内容组合在一起进行训练，以增加训练的变化和复杂性，提高训练效果。
以上常用的训练方法都有各自的特点和适用范围，教练在制定训练计划时应根据运动员的实际情况和训练目标，综合选择合适的训练方法进行训练，以达到最佳的训练效果。
绝对值不等式解法训练题
【知识点梳理】一. 绝对值不等式（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．【典型例题】例1：解不等式：⑴ |4x-3|<2x+1 ； ⑵ |3-4x|>2x+1 。
例2．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++-> ；（4） 242+<-x x3解下列不等式:(1)|3x -4|≤19；(2)|21-x +4|>34解下列不等式:(1)|x 2-48|>16； (2)|x 2-3x +1|<5【课后练习】1.解下列不等式1、 .1122>-x2、01314<--x3、423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、 1422<--x x6、 212+>-x x .7、 42≥-+x x8、 .631≥++-x x9、 21<++x x。
不等式选讲绝对值不等式
6、设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立； (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c，| 当且 仅当 (a－b)(b－c)≥时0 ，等号成立． (3)性质：_|_a_|－__|_b_| _≤|a±b|≤____|a_|_＋__|b；|
考点二 含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中 a的取值范围：
(1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为∅.
解：法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
【针对训练】：
1.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( )
A.[－5,7]
B.[－4,6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]：1
解析：解法一：当 x≤－3 时，5－x＋(－x－3)≥10，∴x≤－4； 当－3<x<5 时，5－x＋x＋3≥10,8≥10 无解，舍去； 当 x≥5 时，x－5＋x＋3≥10，∴x≥6. 综上 x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞). 选 D. 解法二：用特殊值检验，取 x＝5 不符合题意，排除 A、B，
零点分段法步骤
零点分段法步骤
零点分段法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，其步骤如下：
1. 首先，选择一个初始点x0，并计算函数在该点的函数值
f(x0)。
2. 检查函数在x0处的函数值是否为零，如果是则停止迭代，
此点即为方程的解。
3. 如果函数在x0处的函数值不为零，则选择一个新的点x1作为下一个迭代点。
新的点的选择可以依据一些启发式规则，例如使用函数值更接近零的点作为下一个迭代点。
4. 计算函数在新的点x1处的函数值f(x1)。
5. 重复步骤3和步骤4，直到找到满足指定精度要求的近似解。
6. 返回找到的近似解作为方程的解。
需要注意的是，零点分段法是一种迭代方法，其收敛性和准确性与初始点的选取有关，所以初始点的选择是至关重要的。
此外，对于一些非线性方程，可能存在多个解，所以需要考虑是否需要找到所有的解或者指定一个搜索区间来确定解的个数和范围。
谈谈零点分段法
谈谈零点分段法程涛【期刊名称】《新疆职业教育研究》【年(卷),期】1994(000)003【摘要】零点分段法是以函数的零点为分点将其定义域分成若干个使其定号的集合的方法。
它在处理某些有关绝对值的问题、解某些不等式、研究某些函数的单调性等问题时是一个有效的工具。
本文谈谈这个方法及其依据,并举例说明它的一些应用。
定理:如果f（x）是区间Ⅰ上的连续函数（区间Ⅰ可以是开的、闭的或半开的）,且它只有n个零点x<sub>1</sub><x<sub>2</sub><…<x<sub>n</sub>,则f（x）在每个区间(x<sub>i</sub>,x<sub>i+1</sub>)（i=0,1,…,n）内定号(其中x<sub>0</sub> =a,x<sub>n+1</sub>=6是区间Ⅰ的端点)。
证明:如果f（x）在某个区间(x<sub>k</sub>,x<sub>k+1</sub>)内不定号（0≤k≤n）,则存在x<sub>k</sub><ξ<η<x<sub>k+1</sub>,使得【总页数】3页(P41-43)【作者】程涛【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O172【相关文献】1.零点分段法在数学解题中的应用 [J], 刘政学2.谈谈静电场电位零点的选择 [J], 谭琦耀3.谈谈零点分段法 [J], 程涛4.零点分段法在数学解题中的新用 [J], 修美竹5.谈谈函数的零点问题 [J], 许少华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。