零点分段法化简绝对值练习
初一绝对值化简,数轴动点问的题目
知识要点1、a 的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；b -a 的几何意义是：在数轴上，表示数b a ,对应数轴上两点间的距离。
2、去绝对值符号的法则：一、根据题设条件化简：例1、设化简例2、三个有理数c b a ,,，其积不为零，求c c b b a a ++的值二、借助数轴化简 例3、有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a cb b a b a --+++-。
例4、c b a ,,的大小如下图所示，求ac ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值a c x0 b ab 0 x1 c ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0000a a a a a a三、采用零点分段讨论法化简例5、化简|x+2|+|x-3|例6、若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值。
例题精讲1、当52<<-x 时，化简5772----+x x2、如果32≤≤-x ，求322-+-+x x x 的最大值.3、化简3223++-x x4、已知0≠abc ，求abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++的值5、当x 的取值范围为多少时，式子4311047+---+-x x x 的值恒为一个常数，试求出这个值及x 的取值范围.6、若21<<x ，求代数式x x x x x x +-----1122的值7、若0<x ，求x x x x ---32及32x x -的值8、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值9、化简200774+-+-x xa c x0 b数轴上的线段与动点问题1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
数轴上绝对值化简
2 x2 x4
小 结：
• 本节课学习了哪些知识？ 你有什么收获？
的值是多少？
4
练习：
1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 化简
a ca a b bc
-1 a 0 b c
2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示， 化简
a 3b b 1 2a c 1 cba Nhomakorabea0
c 1
巩固提高
三、采用零点分段讨论法化简
例3 化简
绝对值化简 ——专 题 训 练
• 方法 ： 只要知道绝对值符号内的代数式是正、是负 或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对 值符号，这是解答这类问题的常规思路．
一、根据题设条件化简
1、当
x2
2x 3 时化简：
2 3x
5x-5
2、已知a、b、c、d 满 足
a 1 b 0 c 1 d
且
求：
a 1 b 1 , 1 c 1 d
abcd
0
3、三个有理数a、b、c其积是负数， 其和是正数，
当
a b c x a b c
求：
x
2011
2x
2000
3
2
二、借助数轴化简
例 实数a、b、c在数轴上的位置 如图所示，则代数式
a a b ca bc
绝对值大全(零点分段法-化简-最值)
绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a 〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，假如没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：假设数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a 〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值X 围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：假如数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
初一数学绝对值化简与零点分段法(含详细解答)
初一数学绝对值与零点分段【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．【例4】化简：3x-【例5】化简：3121x x ++-．【例6】求21++-x x 的最小值。
【例7】求代数式111213x x x ++-++的最小值．【例8】如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．【例9】若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．【例10】将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．课后练习：【练习1】⑴已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--⑵如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值与c 无关.【练习2】化简：⑴1x -；⑵5x +；⑶523x x ++-【练习3】若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．【练习4】利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x =．利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值．52x x ++-的最小值为．214x x x ++-+-的最小值．7326x x x x ++++-+-的最小值．归纳：若1221n a a a +<<< ，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++- 取得最小值．若122n a a a <<< ，当x 满足时，122n x a x a x a -+-++- 取得最小值．初一绝对值与零点分段（详细解答）【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a++-+--()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =．所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．解：原式=)1996()2()()1997()3()1x x x x x x --⋅⋅⋅------+⋅⋅⋅+-+-（)1996()2(199731-+⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x 999)19961997()45()231=-⋅⋅⋅+-+-+=（【例4】化简：3x-解；原式=⎩⎨⎧≥-<-)3(,33,3x x x x ）（【例5】化简：3121x x ++-．解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=．即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤当≥时评注解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．【例6】求21++-x x 的最小值。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
千万于值大齐（整面分段法、化简、最值）之阳早格格创做一、去千万于值标记的几种时常使用要领解含千万于值不等式的基础思路是去掉千万于值标记，使不等式形成不含千万于值标记的普遍不等式，而后，其解法与普遍不等式的解法相共.果此掌握去掉千万于值标记的要领战道路是解题闭键.1利用定义法去掉千万于值标记根据真数含千万于值的意思，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的本量去掉千万于值标记利用不等式的本量转移|x |<c 大概|x |>c (c >0)去解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 大概ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此供出本不等式的解集.对付于含千万于值的单背不等式应化为不等式组供解，也可利用论断“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 大概－b ≤x ≤－a ”去供解，那是种典型的转移与化归的数教思维要领.3利用仄要领去掉千万于值标记对付于二边皆含有“单项”千万于值的不等式，利用|x|2=2x可正在二边脱去千万于值标记去解，那样解题要比按千万于值定义去计划脱去千万于值标记解题更为简便，解题时还要注意不等式二边变量与参变量的与值范畴，如果不精确不等式二边均为非背数，需要举止分类计划，惟有不等式二边均为非背数(式)时，才不妨曲交用二边仄圆去掉千万于值，更加是解含参数不等式时更必须注意那一面.4利用整面分段法去掉千万于值标记所谓整面分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含1有|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相映千万于值为1整，称x，2x，……，n x为相映千万于值的整面，整面1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用千万于值的意思化去千2万于值标记，得到代数式正在各段上的简化式，进而化为不含千万于值标记的普遍不等式去解，即令每项等于整，得到的值动做计划的分区面，而后再分区间计划千万于值不等式，末尾应供出解集的并集.整面分段法是解含千万于值标记的不等式的时常使用解法，那种要领主要体现了化归、分类计划等数教思维要领，它不妨把供解条理化、思路曲瞅化.5利用数形分离去掉千万于值标记解千万于值不等式偶尔要利用数形分离，利用千万于值的几许意思绘出数轴，将千万于值转移为数轴上二面间的距离供解.数形分离法较为局里、曲瞅，不妨使搀纯问题简朴化，此解法适用于||||x a x b m-+-<(m为仄常-+->大概||||x a x b m数)典型不等式.对付||||+++>(大概<m)，当|a|≠|c|时普遍ax b cx d m不必.二、怎么样化简千万于值千万于值的知识是初中代数的要害真量，正在中考战百般竞赛中时常出现，含有千万于值标记的数教问题又是教死逢到的易面之一，办理那类问题的要领常常是利用千万于值的意思，将千万于值标记化去，将问题转移为不含千万于值标记的问题，决定千万于值标记里里分的正背，借以去掉千万于值标记的要领大概有三种典型.（一）、根据题设条件例1：设化简的截止是（）.（A）（B）（C）（D）思路分解：由可知可化去第一层千万于值标记，第二次千万于值标记待合并整治后再用共样要领化去．解：∴应选（B）．归纳面评只消了解千万于值将合内的代数式是正是背大概是整，便能根据千万于值意思成功去掉千万于值标记，那是解问那类问题的惯例思路．（二）、借帮数轴例2：真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分解由数轴上简单瞅出，那便为去掉千万于值标记扫浑了障碍．解：本式∴应选（C）．归纳面评那类题型是把已知条件标正在数轴上，借帮数轴提供的疑息让人去瞅察，一定弄浑：1．整面的左边皆是背数，左边皆是正数．2．左边面表示的数总大于左边面表示的数．3．离本面近的面的千万于值较大，牢记那几个重心便能从容自如天办理问题了．（三）、采与整面分段计划法例3：化简思路分解本典型的题既不条件节造，又不数轴疑息，要对付百般情况分类计划，可采与整面分段计划法，本例的易面正在于的正背不克不迭决定，由于x是不竭变更的，所以它们为正、为背、为整皆有大概，应当对付百般情况—一计划．解：令得整面：；令得整面：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴本式②当时，，∴本式③当时，，∴本式∴归纳面评：虽然的正背不克不迭决定，但是正在某个简曲的区段内皆是决定的，那正是整面分段计划法的便宜，采与此法的普遍步调是：1．供整面：分别令各千万于值标记内的代数式为整，供出整面（纷歧定是二个）．2．分段：根据第一步供出的整面，将数轴上的面区分为若搞个区段，使正在各区段内每个千万于值标记内的部分的正背不妨决定．3．正在各区段内分别观察问题．4．将各区段内的情形概括起去，得到问题的问案．误区面拨千万不要念天然天把等皆当成正数大概无根据天减少一些附加条件，免得得堕落误的截止．三、戴千万于值标记的运算正在初中数教教教中，怎么样去掉千万于值标记？果为那一问题瞅似简朴，所往常往简单被人们轻视.本去它既是初中数教教教的一个沉面，也是初中数教教教的一个易面，仍旧教死简单搞错的问题.那么，怎么样去掉千万于值标记呢？尔认为应从以下几个圆里收端：（一）、要明白数a的千万于值的定义.正在中教数教教科书籍中，数a的千万于值是那样定义的，“正在数轴上，表示数a的面到本面的距离喊搞数a的千万于值.”教习那个定义应让教死明白，数a的千万于值所表示的是一段距离，那么，不管数a自己是正数仍旧背数，它的千万于值皆该当是一个非背数.（二）、要弄领会何如去供数a的千万于值.从数a的千万于值的定义可知，一个正数的千万于值肯定是它的自己，一个背数的千万于值肯定是它的好异数，整的千万于值便是整.正在那里要让教死沉面明白的是，当a是一个背数时，何如去表示a的好异数（可表示为“-a”），以及千万于值标记的单沉效率（一利害背的效率，二是括号的效率）.（三）、掌握初中数教罕睹去掉千万于值标记的几种题型.1、对付于形如︱a︱的一类问题只消根据千万于值的3个本量，推断出a的3种情况，便能赶快去掉千万于值标记.当a>0时，︱a︱=a (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a=0 时，︱a︱=0 (本量 2：0的千万于值是0) ；当 a<0 时；︱a ︱=–a (本量3：背数的千万于值是它的好异数) .2、对付于形如︱a+b︱的一类问题最先要把a+b瞅做是一个完齐，再推断a+b的3种情况，根据千万于值的3个本量，便能赶快去掉千万于值标记举止化简.当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (本量 2：0的千万于值是0)；当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (本量3：背数的千万于值是它的好异数).3、对付于形如︱a-b︱的一类问题共样，仍旧要把a-b瞅做一个完齐，推断出a-b 的3种情况，根据千万于值的3个本量，去掉千万于值标记举止化简.但是正在去括号时最简单出现过得.怎么样赶快去掉千万于值标记，条件非常简朴，只消您能推断出a与b的大小即可（不管正背）.果为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b 时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b .心诀：无论是大减小，仍旧小减大，去掉千万于值，皆是大减小.4、对付于数轴型的一类问题，根据3的心诀去化简，更快速灵验.如︱a-b︱的一类问题，只消推断出a正在b的左边（不管正背），即可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对付于千万于值标记前有正、背号的运算非常简朴，去掉千万于值标记的共时，不要记记挨括号.前里是正号的无所谓，如果是背号，记记挨括号便惨了，好之毫厘得之千里也！6、对付于千万于值号里有三个数大概者三个以上数的运算万变不离其宗，仍旧把千万于值号里的式子瞅成一个完齐，把它与0比较，大于0曲交去千万于值号，小于0的完齐前里加背号.四、去千万于值化简博题训练（1）设化简的截止是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知，化简的截止是 x-8 .(4) 已知，化简的截止是 -x+8 .(5) 已知，化简的截止是 -3x .(6) 已知a、b、c、d谦脚且，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借帮数轴完毕）(7) 若，则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则式子化简截止为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b正在数轴上的对付应面如图所示，那么下列四个式子，中背数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是真数，下列四个论断中精确的是（ D ）.（A）y不最小值（B）有有限多个x使y与到最小值（C）惟有一个x使y博得最小值（D）有无贫多个x使y博得最小值五、千万于值培劣教案千万于值是初中代数中的一个基础观念，是教习好异数、有理数运算及后绝二次根式的前提．千万于值又是初中代数中的一个要害观念，正在解代数式化简供值、解圆程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广大的应用，周到明白、掌握千万于值那一观念，应从以下圆里人脚：l ．千万于值的代数意思：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．千万于值的几许意思从数轴上瞅，a 表示数a 的面到本面的距离(少度，非背) ；b a -表示数a 、数b 的二面间的距离．3．千万于值基赋本量①非背性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培劣道解（一）、千万于值的非背性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --=.归纳：若搞非背数之战为0，.（二）、千万于值中的完齐思维【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、千万于值相闭化简问题（整面分段法）【例3】阅读下列资料并办理有闭问题：咱们了解()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，当前咱们不妨用那一个论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 战02=-x ，分别供得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的整面值）.正在有理数范畴内，整面值1-=x 战2=x 可将部分有理数分成不沉复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，本式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，本式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，本式=1221-=-++x x x .综上计划，本式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请您办理以下问题：（1） 分别供出2+x 战4-x 的整面值；（2）化简代数式42-++x x 变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；变式2.已知2--xx的最大值为b，3+x的最小值是a，23++-x供ba+的值.（四）、ba-表示数轴上表示数a、数b的二面间的距离．【例4】（距离问题）瞅察下列每对付数正在数轴上的对付应面间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回问下列各题：（1）您能创造所得距离与那二个数的好的千万于值有什么闭系吗？问：___.（2）若数轴上的面A表示的数为x，面B表示的数为―1，则A与B二面间的距离不妨表示为 ______________.（3）分离数轴供得23-++的最小值为，博得最小值时x的x x与值范畴为 ___.（4）谦脚3+x的x的与值范畴为 ______ .+x41>+（5）若1232008-+-+-++-的值为常数，试供x的与值范x x x x畴．（五）、千万于值的最值问题【例5】（1）当x与何值时，3-x有最小值？那个最小值是几？（2）当x与何值时，2-x有最大值？那个最大值是5+几？（3）供54-+-x x 的最小值.（4）供987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，供M 的最大值与最小值．课后训练：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为好异数，供321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为好异数，则a 与b 的大小闭系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三面A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 二面的距离 B ．A 、C 二面的距离C ．A 、B 二面到本面的距离之战D ． A 、C 二面到本面的距离之战4.利用数轴分解23x x -++，不妨瞅出，那个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之战，它表示二条线段相加：⑴当x >时，创造，那二条线段的战随x 的删大而越去越大；⑵当x <时，创造，那二条线段的战随x 的减小而越去越大；⑶当x ≤≤时，创造，无论x 正在那个范畴与何值，那二条线段的战是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值皆小.果此，归纳，23x x -++有最小值，即等于到的距离5. 利用数轴分解71x x +--，那个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之好它表示二条线段相减：⑴当x ≤时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑵当x ≥时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑶当x <<时，随着x 删大，那个好值徐徐由背变正，正在中面处是整. 果此，归纳，式子71x x +--当x 时，有最大值；当x 时，有最小值；9．设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3大概-1D ．-3大概110．若2-<x ，则=+-x 11；若a a -=，则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位战个位数字，而且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-大概博得的最大值是．4、当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.2、已知b 为正整数，且a 、b 谦脚| 2a －4|＋b ＝1，供a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，供x 的与值范畴.7、若|5||2|7x x ++-=，供x 的与值范畴.。
绝对值补充内容之零点分段
.绝对值补充内容之零点分段
绝对值几何意义
当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
【例1】 化简：3x -
.
【例2】 阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称
12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-
练习 化简12x x +++ 化简523x x ++-．
【例3】 求12m m m +-+-的值．。
第 11 讲 变化多端的绝对值化简问题 训练 2024-2025学年人教版七年级数学上册
第11 讲变化多端的绝对值化简问题专题1 绝对值化简(1)——结合x 的取值范围去绝对值变式1.(1)已知1<x<4,化简|4-x|+|1-x|; (2)已知|a|=-a,化简|a-1|--|a-2|.变式2.(1)如果x<-2,化简|1--|1+x||;(2)若-2<x<0,化简|-x|+|x+2|+|x-2|.题型二讨论字母的取值范围去绝对值【典例2】化简:|x+1|+|x-4|.变式.化简:|x-2|+|x+3|.专题2 绝对值化简(2)——分类讨论(1)变式1.已知|x+1|=3,|y|=2,且|x+y|+x+y=0,求x-y的值.变式2.已知a,b,c为整数,且| |a−b|⁹⁹+|c−a|⁹⁹=1,,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.题型二整体代换求值【典例3】已知|a+b+c|=a-b+c(b≠0),,求|a-b+c+3|-|b-1|的值.变式.已知有理数a，b满足ab<0,|a+b|=-a-b,4a+b-3=|b-a|,求34a+12b的值.专题3 绝对值化简(3)——分类讨论(2)〈零点分段法〉题型一运用零点分段化简【典例1】化简：|x−1|+|x+1|.变式.化简:|x+5|+|2x-3|.题型二运用零点分段解绝对值方程【典例2】|x-1|+|x-3|=6.变式1.已知| |x+4|+|x−2|=10,,求x 的值.变式2.|x+4|+|x-2|=6,求x 的取值范围.变式3.若|x+4|+|x-2|+|x-4|=20,求x的值.题型三运用零点分段求最值变式4.求|x-1|+|x+3|的最小值.专题4 绝对值化简(4)----结合数轴去绝对值题型一 由字母正负去绝对值变式1.已知a ，0，1，b 四个数在数轴上如图所示，其中|a|=|b|.化简： |a +b|+|a b |+|a +1|.变式2.如图,a,b,c 对应的数如图所示,|a|═|c|.(1)确定符号 :a +c 0;a −c 0;a +b 0,b +c 0;(2)化简:|a+c|-|a -c|+|a+b|-|a -b|+|b+c|.变式3.已知 ab <0,a c >0,且|a|>|b|>|c|,数轴上a,b,c 对应的点是A,B,C,若 |a|=−a. (1)在数轴上标出a,b,c 的位置;(2)化简:|a -b|-|b -c|+|a+c|.变式4.已知，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示.(1) 在数轴上标出-a,-b,-c 的位置,并用“<”号将a,b,c,-a,-b,-c 连接起来;(2) 化简:| |a +1|+|c −b|−|b −1|+|c−2a|(3)若a+b+c=0,且b 与-1的距离和c 与-1的距离相等,求2(b+2c)-a(a -1)-(c -b).专题5 绝对值化简(5)——去括号题型一两数相加型【典例1】有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+c|-|a-b|-|c+b|.解:a+c>0,a-b>0,b+c>0.∴|a+c|=a+c,|a-b|=a-b,|b+c|=b+c∴原式=a+c-(a-b)-(b+c)=0.变式1.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:|a-c|--|a-b|+|b-c|.变式2.已知a,b,c,d在数轴上的位置如下图,且|c|<|b|<|a|<|d|.(1)比较大小:-b c,d-a c-b;(2)化简:|a-c|-|-a-b|+|d-c|.题型二三数相加型【典例2】已知a,b在数轴上的位置如下图,化简:|a|-2|a+b-1|-3|b-a-1|.变式.已知a,b在数轴上的位置如图所示,若|a|═|c|,化简:|a+b+c+1|+|b-2|.专题6 绝对值化简(6)——由理解到熟练题型一理解|a|=a(a≥0),|a|=−a(a≤0)【典例1】已知，a，b，c在数轴上的位置如图.(1)填空: |a|=_____,|b|=_____________,|c|=______.(2)化简:| |a+1|−|c−b|−|b−1|.解：原式=a+1+c−b−1+b=a+c.变式.已知a，b，c在数轴上的位置如图.(1 )|a+c|=______,|a+b|=_________,|a−b|=_____,|a−c|=;(2)|a+b|−|c−b|=_______.题型二理解有理数的加减法则，确定正负然后去绝对值【典例2】有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|.变式1. a,b,c 在数轴上的位置如图,化简|c-a|+|b-c|-|b-a|-|2a|.变式2.已知有理数a，b，c，且满足：a+c<0,b+c>0.(1)试化简: |a+c|+|b+c|−|a−b|;=−1,相邻两点之间的距离为2，求(a+c)ᵇ.(2)有理数a,b,c 在数轴上分别对应点A,B,C,若ab专题7 绝对值化简(7)——分类讨论题型一不知绝对值内部正负，分类讨论题型二注意分类讨论,|x|=a,则x=a或-a变式2.如果有理数x,y满足x+3y+|3x-y|=19,2x+y=6,求xy的值.【典例2】已知有理数a，b满足ab<0,|a+b|=a+b,5a+2b+1=−|b−a|,求(2a+32b+12)(a−b)的值.题型三结合数轴求绝对值型最值变式.有理数a，b，c 满足a<0<b<c,求代数式|x−a+b3|+|x−a+c2|+|x+c−a2|的最小值.。
绝对值化简——零点分段法(不带条件)
绝对值化简—不带条件（零点分段法）1．使代数式的值为正整数的x值是（）A．正数 B．负数 C．零D．不存在的2．方程|x﹣2|+|x﹣3|=1的实数解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．多于33．方程|x﹣2008|=2008﹣x的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个4．能够使不等式（|x|﹣x）（1+x）＜0成立的x的取值范围是．5．化简：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．6．化简：（1）|3x﹣2|+|2x+3|；（2）||x﹣1|﹣3|+|3x+1|．7．（2007秋•海淀区校级期中）化简：|3x+1|+|2x﹣1|．8．化简下列各式：（1）（2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|．9．（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值是（2）|x﹣3|﹣|x+1|的最大值是．绝对值—不带条件的化简求值（零点分段法）1．（2015秋•禹城市校级月考）已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示（）A．A与B两点的距离B．A与C两点的距离C．A与B两点到原点的距离之和D．A与C两点到原点的距离之和2．（2015秋•连云港校级月考）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么点B （）A．在A、C点的左边B．在A、C点的右边C．在A、C点之间D．上述三种均可能3．已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．4．已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值．5．（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值是（2）|x﹣3|﹣|x+1|的最大值是．6．已知a为有理数，那么代数式|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．7．若a＜b＜c＜d，则当x取何值时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|取得最小值，最小值是多少？8．当x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2007|取得最小值，最小值是多少？9．当x变化时，|x﹣5|+|x+t|有最小值2，则常数t的值为．10．三台生产同一种产品的机器M1、M2、M3在x轴上的位置如图所示．M1、M2、M3生产该产品的效率之比为2：1：3，它们生产的产品都需要沿着x轴运送到检验台检验，而移动所需费用与移动的距离成正比．问检验台应该设在x轴上的何处，才能使移动产品所花费的费用最省？。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即||=，有||<；||>x (0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩x c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩x c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解，如||>(>0)可为>或x c x c c ax b +c c ax b +c <－；||<可化为－<+<，再由此求出原不等式的解集。
ax b +c ax b +c c ax b c 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤||≤≤≤a x b ⇔a x b或－≤≤－”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
b x a 3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用||=可在两边脱去绝对值符号来解，这x 22x 样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|1x 2x n x x 1x x 2x －|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，x n x 1x 2x n x 1x ，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上2x n x m 的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
初一上册数学绝对值化简 (1)
绝对值的知识是初中代数的重要内容， 在中考和各类竞赛中经常出现， 含有绝对值符号 的数学问题又是学生遇到的难点之一， 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义， 将绝 对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以 去掉绝对值符号的方法大致有三种类型．
一、根据题设条件去绝对值符号
3 x x 3 ⑷ 综述：原式 ． x 3 x ≥ 3
3 x x 3 【答案】原式 x 3 x ≥ 3 【总结】虽然 3 x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段 讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．找零：分别令所有绝对值符号内的代数式为零，求出所有零点． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴划分为若干个区间，使在各区间内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．讨论：根据每个区间的范围来去掉所有绝对值符号． 4．综述：将各区间内的情形综合起来，得到问题的答案．
等于 0，然后找出零点．
【例6】 化简
x 1 2
【解析】⑴ 找零： x 1 0 ， x 1 ． x 1 2 0 ， x 1 2 ， x 1 2 或 x 1 2 ，可得 x 3 或者 x 1 ； 综上所得零点有 1， 1 ，3； ⑵ 分段： 三个零点共可将数轴分成四段． ：x 1 、1≤ x 1 、1≤ x 3 和 x 3 ； ⑶ 讨论：根据每个区间的范围分类讨论去绝对值符号； ① x ≥ 3 ，x 1 0 ， x 1 2 ≥ 0 ， x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 3 ； ② 1≤ x 3 ， x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 3 x ； ③ 1≤ x 1 ，x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 x 1 ； ④ x 1 ，x 1 0 ， x 1 2＞0 ， x 1 2 x 1 2 1 x 2 x 1．
利用零点分段法解含多绝对值不等式
利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集．二、例题选讲例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．解：∵ |x＋2|＝2 (2)2 (2)x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩，|x－1|＝1 (1)1 (1)x xx x-≥⎧⎨-<⎩．故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组：(Ⅰ)2213xx x<-⎧⎨--+->⎩，或(Ⅱ)1213xx x>⎧⎨++->⎩，或(Ⅲ)21213xx x-≤<⎧⎨++->⎩．不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，不等式组(Ⅱ)的解集是∅，不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是∅．⑶ 当x ＞2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)＞x ＋3，即x ＞6．故不等式的解集是{x |x ＞6}．综上可知，原不等式的解集是{x |x ＜0或x ＞6}．例3 已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，求a 的取值范围． 解：∵ x ＝5时，|x －5|＝0；x ＝3时，|x －3|＝0．⑴当x ≤3时，原不等式可化为－x ＋5－x ＋3＜a ，即a ＞8－2x ，由x ≤3，所以－2x ≥－6，故a ＞2．⑵当3＜x ≤5时，原不等式可化为－x ＋5＋x －3＜a ，即a ＞2．⑶当x ＞5时，原不等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2． 综上知a ＞2．无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空1.含有绝对值的不等式①|f (x )|<a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a <f (x )<a .②|f (x )|>a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x )>a 或f (x )<－a .③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 2(x )>g 2(x ).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类: ①[]⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔>0)(0)()()(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②[]⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此不等式可推广如下：|a 1+a 2+a 3+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |当且仅当a 1,a 2,a 3,…a n 符号相同时取等号.●题型示例 点津归纳【例1】 解无理不等式. (1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x . (2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】 (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x . (2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组: 0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有绝对值的不等式：(1)|x 2－4|≤x +2;(2)|x +1|>|2x －1|;(3)|x －1|+|2x +1|<4.【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x =1,－21时,有x －1=0及2x +1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.【规范解答】 (1)原不等式可化为:－(x +2)≤x 2－4≤x +2⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+⇒3212060222x x x x x x x 或. 故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x +1|2>|2x －1|2 ⇒(2x －1)2－(x +1)2<0.(2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)<0⇒3x ·(x －2)<0⇒0<x <2.(3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－21. 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,时,原不等式可化为:－(x －1)－(2x +1)<421344321-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≤⇒x x x . 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21时,原不等式可化为:－(x －1)+(2x +1)<4. 由212121-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤<-x x <x ≤1. 当x ∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x －1)+(2x +1)<4,故由341431<<⇒⎩⎨⎧<>x x x .综上所述知:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--34,3434,11,2121,34为原不等式解集. 【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.【例3】 若不等式23+>ax x 的解集是(4,m ),求a ,m 的值. 【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y =x (x ≥0)及y =ax +23(x ≥0)的图像.若y =x 的图像位于y =ax +23图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解. 【规范解答】 设y 1=x ,它的图像是半条抛物线;y 2=ax +23(x ≥0),它的图像是经过点(0, 23),斜率为a 的一条射线.不等式23+>ax x 的解即当y 1=x 的图像在y 2=ax +23(x ≥0)的图像上方时相应的x 的取值范围，因为不等式解集为(4,m ),故方程23+=ax x 有一个解为4,将x =4代入23+=ax x 得:812344=⇒+=a a . 再求方程2381+=x x 的另一个解，得:x =36,即m =36. 【解后归纳】 用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】 解不等式|lo g 2x |+|lo g 2(2－x )|≥1. 【解前点津】 从x 的可取值范围入手，易知0<x <2,当x 分别在(]1,0及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.【规范解答】 ∵x >0且2－x >0故0<x <2时不等式才有意义.当x ∈(]1,0时,因lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x )≥0,故此时原不等式为:－lo g 2x +lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 32010221022≤<⇒⎩⎨⎧≤<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-⇒x x x x x x x . 当x ∈(1,2)时,因为lo g 2x >0,lo g 2(2－x )<0,故此时原不等式为:lo g 2x －lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 23421)2(22122<≤⇒⎩⎨⎧<<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-⇒x x x x x x x . 故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3432,0. 【解后归纳】 本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.5.2.3无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型：①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：例1、解不等式0343>---x x例2、解不等式x x x 34232->-+-例3、解不等式24622+<+-x x x例4、解不等式1112-+>+x x例5、 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6、解不等式1123>-+-x x三、小结：四、反馈练习：解下列不等式1．655332->-+-x x x2．33333++<++-x x x x3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x5．112>+--x x第6课 无理不等式与绝对值不等式习题解答1.C 对a =3进行检验，考虑不等式的几何意义.2.C 利用x >0,化简另一个不等式.3.D 由0<3-x <1⇒0<x －3<1⇒3<x <4.4.B 由4－x 2≥0且x +1>0且4－x 2<(x +1)2271+-⇒<x ≤2. 5.B 分别画出:y =22x a -,与y =2x +a 的图像，看图作答.6.B |x －a |<ε,|y －a |<ε⇒|x －y |=|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |+|y －a |<ε+ε=2ε, 当|x －y |<2ε时,不能推出|x －a |<ε且|y －a |<ε.7.A 若0<a <b <c ,且lg a <lg b <lg c ,又因为|lg a |>|lg c |>|lg b |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －1)·(a －1)<0,∴ac +1<a +c .8.B 因x >0,当log 2x <0时,不等式成立,此时0<x <1;当log 2x ≥0时,|2x +log 2x |=2x +|log 2x |. 9.B xx x ||42-≥-,当0<x ≤2时,不等式成立,另由 0314020140222<≤-⇒⎩⎨⎧≥-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤-x x x x x . 10.由(|x |－1)·(|x |－3)<0⇔1<|x |<3⇔x ∈(－3,－1)∪(1,3).11.由x ≥0知,x －x －2≤0,( x －2)·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.12.考察y =21x -,y =x +a 的图像,即直线y =x +a 在半圆x 2+y 2=1(y ≥0)上方⇒a ∈(2,+∞).13.(1)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥+⎩⎨⎧->+≥-0303)3(303x x x x x 或⇒1<x ≤3或x >3⇒x >1. (2)化原不等式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤--≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥-≥+023*******)1(021012222x x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋃⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⇒22,032,22:原不等式解集为. 14.原不等式等价于:⎪⎩⎪⎨⎧<---≤<-⎪⎩⎪⎨⎧<++--≤1325523132523x x x x x x 或或⎩⎨⎧<--->13255x x x , 解之:x <－7或31<x ≤5或x >5,故原不等式解集为:(－∞,－7)∪(31,+∞). 15.由a (a －x )≥0⇒x ≤a .(1)当x >2a 时,a －2x <0,不等式成立,故2a <x ≤a ; (2)当x ≤2a 时,a －2x ≥0,平方得a (a －x )>(a －2x )2,0<x <43a ,故0<x ≤2a . 综上所述得:(]a ,0.16.化原不等式为:|2log a x +1|－21|log a x +2|<21,令t =log a x , 则|2t +1|－21|t +2|<21,解之得:－1<t<31即－1<log a x <31, 当a >1时,解集为(3,1a a), 当0<a <1时,解集为)1,(3aa .。