绝对值的化简课件
绝对值的化简
绝对值的意义： 几何意义：表示数轴上的点到原点的距离 代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值 还是0。 绝对值化简 绝对值化简，就是根据这两个意义来进行相关问题的处理。几何意义是数形结合 思想的一种体现，代数意义主要侧重于符号、括号的运用。
1．已知 b＜a＜0＜c，化简：|a|－|b＋a|＋|c－b|－|a－c|.
2．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；
(2)若|a|＝－a，则 a____0； (3)有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|＋|b|＋|a＋b|.
3．[2019·黔南州模拟]已知数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示， 试化简|a＋b|－|b－2|－|c－a|－|2－c|.
4．已知 xy＜0，x＜y 且|x|＝1，|y|＝2.
(1)求
x
和
y
的值；(2)求
的值．
5．[2017·顺义区期末]当 a≠0 时，请解答下列问题： (1)求|aa|的值；(2)若 b≠0，且|aa|＋|bb|＝0，求|aabb|的值．
6．有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示， 化简：|a＋c|－|a－b|＋|b＋c|－|b|.
绝对值的化简
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出 现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问 题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为 不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对 值符号。
要讲绝对值的化简，首先还得铺垫一个概念——相反数，在教材上对于相反 数是这么定义的： 只有符号不同的两个数，互为相反数 这个概念字数不多，却也有东西值得挖掘， 1、进一步强化学生对负数和负号的认识 2、相反数不能独立存在，而是相互依存 3、求一个数的相反数，就在这个数前面加上负号 4、求一个式子的相反数，就给这个式子加上括号，然后在括号前加一个负号
绝对值的化简
c ba0 绝对值的化简(一)一 基本知识一个非负数的绝对值是 ，一个非正数的绝对值是 。
即 |a|=错误！未找到引用源。
二 导学训练1、 例题 化去下列各式中的绝对值符号（1）｜x+2｜分析：要去掉式中的绝对值符号，关键是看绝对值符号中的式子x+2的值是一个非负数或非正数；因此需对x 的取值进行分类讨论：以x+2=0得x=-2作为分界点，当x 错误！未找到引用源。
时x+2是 当x 错误！未找到引用源。
时x+2是解：当x 错误！未找到引用源。
时 ｜x+2｜＝当x 错误！未找到引用源。
时 ｜x+2｜＝2、 化简 ｜x+3｜+｜x-2｜分析：以x+3=0得x=-3和x-2=0得x=2作为分界点，当x 错误！未找到引用源。
时x+3是 x-2是 ；当错误！未找到引用源。
时x+3是 x-2是 ；当错误！未找到引用源。
时x+3是 x-2是 ；解：（1）当x 错误！未找到引用源。
时 ｜x+3｜+｜x-2｜＝ ＝（2）当错误！未找到引用源。
时 ｜x+3｜+｜x-2｜＝ ＝（3）当错误！未找到引用源。
时 ｜x+3｜+｜x-2｜＝ ＝3、化简 ｜2x-4｜+｜x-4｜－｜x+2｜4、如图：a 、b 、c 的位置如图所示这化简｜x+a ｜+｜x-b ｜+｜x+c ｜5、求｜x+3｜+｜x-4｜的最小值绝对值（二）————逆向思维培养基本知识b a0一个数的绝对值是它的本身，则这个数是 ；一个数的绝对值是它的相反数，这个数是 。
即｜a ｜＝a 时，则a 0; ｜a ｜＝－a 时，则a 0.用（≥≤、、>、<填空）导学训练1、 若｜x+5|＝x+5,则x 的取值范围是2、 若｜x+5|＝－x －5,则x 的取值范围是3、 若｜x －3|＝x －3,则x 的取值范围是4、 若｜x －3|＝－x+3,则x 的取值范围是例1、已知 ｜x+5|+|x-3|=8 求x 的取值范围解法一：分析通过分类讨论化简等式左边的绝对值符号得到对应的值可确定x 的取值范围解：当X 错误！未找到引用源。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
绝对值化简ppt课件
例3 化简 （1） （2）
1
2
随手练习：化简下列绝对值式子 （1） （2）
当 时，
1/2
0
解（2）：由 ，得 ，得
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
回味战果
这节课你有哪些收获？
思维之战
解：（1）
（2）
a
b
0
1
解：由数轴分析： 且
， ，
例2 已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示， 试化简
类型一 已知未知数取值范围，利用定义直接化简
思维之战
类型二 不知道未知数取值范围，根据代数式的零点分段讨论， 按不同情况去绝对值化简
例3 化简 （1） （2）
解（1）：由 ，解得
当 时，
x
1
0
-3
0
4
x
-3
0
4
x
-3
0
4
x
1
0
x
说明：当绝对值内的代数式为一元一次代数式，且未知数系数为1时，可根据绝对值几何定义，借用数轴数形结合分析去绝对值符号。
解答：（1） （2）
随手练习：化简下列绝对值式子 （1） （2）
性质 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 。
0
a
b
a
类型一 已知未知数取值范围，利用定义直接化简
例1 化简 （1） （2）
1、已知 ，化简 ；
2 、已知 a<b ,化简 。
3 、化简 （1） （2）
4、如果x<0，化简 = 。
a
b
0
c
绝对值课件(共20张PPT)
易错提醒： 注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反
数，解题时不要遗漏负值.
例 4 已知 x-4 y-3 ＝0，求 x＋y 的值．
[解析] 一个数的绝对值总是大于或等于 0，即为非负 数，若两个非负数的和为 0，则这两个数同时为 0.
解：根据题意可知 x－4＝0，y－3＝0， 所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7.
思考： 一个正数的绝对值是什么？
一个负数的绝对值是什么？
0的绝对值是什么？
结论1：一个正数的绝对值是正数.
一个负数的绝对值是正数.
0的绝对值是0.
|a|≥0
结论2：一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数.
思考: 字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值
等于什么吗?
正数的绝对值是它本身
()
思考： 一个正数的绝对值是什么？
驶，记向东行驶的里程数为正 两辆出租车都从O 字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?
(2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿；
.
(2)绝对值等于的正数是_____,
地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 （5）有理数的绝对值一定是非负数.
（2）一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是
√
典例精析
例1 求下列各数的绝对值. 12， 3 -7.5， 0. 5
解：
|12|=12；
| 3 |= 3
5
5
；
正数的绝对值等于它本身
； 负数的绝对值等于它的相反数
|0|=0.
0的绝对值是0
例2 填一填
(1)绝对值等于0的数是___0, (2)绝对值等于的正数是_____,
2019人教版七年级数学上册复习课件：培优专题(二) 绝对值的化简
培优专题(二) 绝对值的化简
方法管理
归类探究
方法管理
1．绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是 根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；(0 的绝对值是 0)．
变形 3 答图 解法二：由图知，a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴－b>a＝－c>－a＝c>b.
(2)∵a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴a＋b<0，a－b>0，b－c<0，a＋c＝0， ∴|a＋b|－|a－b|＋|b－c|＋|a＋c| ＝－(a＋b)－(a－b)－(b－c)＋0 ＝－a－b－a＋b－b＋c ＝－2a－b＋c.
(2)∵x＝－1，y＝2，
1 ∴x－3＋(xy－1)2 1 ＝－1－3＋(－1×2－1)2
4 ＝ ＋9 3 1 ＝10 . 3
a b c 如果 a，b，c 是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值． |a| |b| |c|
解：对 a，b，c 的取值情况分类讨论如下： a b c ①当 a，b，c 都是正数时， ＋ ＋ ＝3； |a| |b| |c| a b c ②当 a，b，c 都是负数时， ＝ ＝ ＝－1， |a| |b| |c| ∴和为－3；
【点悟】
此类问题运用了数形结合思想，结合数轴确定绝对值符号内个式
子的正负，再去绝对值符号，去括号，合并同类项．
已知 xy<0，x<y，且|x|＝1，|y|＝2. (1)求 x 和 y 的值；
七年级上册数学绝对值的化简微课课件
审题，列出abc值的大小关系
根据abc绝对值大小去判断题 目中含绝对值式子中符号
根据绝对值的代数意义，去绝 对值符号，并用括号括起来 去括号、合并同类项，计算最终结果
解题策略点：
根据abc绝对值
大小去判断题目
第 二
中含绝对值式子
感谢您的耐心倾听
步 中符号大小
审题，列出abc值 的大小关系
第一步
第三步
第 四 步
去括号、合并同类 项，计算最终结果
根据绝对值的代 数意义，去掉绝 对值符号，并全 部用括号括起来
练习： 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，试化简：
|a-b|+|b-c|-|源自-a|.解：原式=－(a－b)+(b－c)－[－(c－a)] =－a+b+育b－老师c+c－a =－2a+2b
初中数学课件 之
绝对值化简技巧专题
实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式 |a|-|a+b|+|c-a|的值等于（ ）,
绝对值的代数意义：
实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式 |a|-|a+b|+|c-a|的值等于（ ）,
∵由数轴上a,b,c位置可知 b＜a＜0＜c
∵a+b<0，∴|a+b|= －(a+b） ∵|c|>|a|，∴c-a>0，∴|c-a|=c-a
绝对值的化简
绝对值的化简绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．+-+例3已知x＜-3，化简：321x例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．参考答案：例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．+-+例3已知x＜-3，化简：321x分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．。
【初一专题】绝对值的化简
【初一专题】绝对值的化简【考点回顾】（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作｜a ｜.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【注意】①取绝对值也是一种运算，运算符号是“｜｜”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如-5符号是负号，绝对值是5.（3）求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.（5）绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若｜a ｜+｜b ｜+｜c ｜=0，则a=0，b=0，c=0.（6）其它重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即｜a ｜≥a ，且｜a ｜≥-a ； ②若｜a ｜=｜b ｜，则a=b 或a=-b ； ③ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； ④｜a ｜²=｜a ²｜=a ²；⑤｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，对于｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜，等号当且仅当a 、b（7）绝对值的几何意义：当x=a 时，｜x-a ｜=0，此时a 是｜x-a ｜的零点值．｜a ｜的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．｜a-b ｜的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【分类强化】（一）分类讨论1．已知5,3==y x ，求y x +的所有可能值。
绝对值PPT教学课件
绝对值不等式
若a和b为实数，则有|a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立。
绝对值的几何意义
数轴上的绝对值
在数轴上，一个数到原点的距离等于该点与原点之间的距离。例如，点A表 示的数为-3，则点A到原点的距离为3，即|-3|=3。
绝对值的几何解释
绝对值还可以理解为在数轴上，一个点到任意一个点之间的距离。例如，点B 表示的数为x，点C表示的数为y，则|x-y|表示点B到点C的距离。
对于形如“|x| > a”或“|x| < a”的 不等式，可以通过去掉绝对值符号， 将不等式转化为若干个不等式组来解 决。
要点三
绝对值不等式的应用
绝对值不等式可以用来解决一些实际 问题，例如在物理、化学、生物等领 域中，常常需要使用绝对值不等式来 解决一些限制条件或优化问题。
在函数中的应用
绝对值函数的定义
3. 根据以上两点，进行 化简求值。
习题二：绝对值的比较大小
详细描述
2. 比较两个负数的绝对值大小： 先取它们的相反数，再比较大小 。
总结词：掌握比较两个数的绝对 值大小的方法，能够根据两个数 的绝对值判断它们的大小关系。
1. 比较两个正数的绝对值大小： 直接比较它们的绝对值即可。
3. 比较两个数的绝对值大小：先 分别求出它们的绝对值，再比较 大小。
3
绝对值的定义也可以理解为：一个数a的绝对值 就是a和0之间的距离。
绝对值的意义
01
绝对值的意义在于它反映了数在数轴上的位置离原点的远近程 度。
02
对于任何有理数a，它都有一个对应的绝对值|a|，这个绝对值
表示了a离原点的距离。
通过比较两个数的绝对值大小，我们可以知道它们在数轴上的
绝对值(共18张PPT)
7
|+7|=7
2.8
2.8
|-2.8|=2.8
0
0
| 0 |=0
知识点 绝对值
思考 从刚才得到的结果你有什么启示？
|1|=1
|-1.5|=1.5
| 0 |=0
| -2 |=2
|+7|=7
|-2.8|=2.8
一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？
…..
非负性
知识点 绝对值
1
距离为1
|1|=1
-1.5
距离为1.5
|-1.5|=1.5
0
| 0 |=0.
例1 写出数轴上这些点表示的数的绝对值？
到原点的距离为0
-2
| -2 |=2.
到原点的距离为2
知识点 绝对值
跟踪训练 表示+7的点与原点的距离是_______;即：+7的绝对值是_______，记做___________;表示-2.8的点与原点的距离是_______; 即：-2.8的绝对值是_______，记做___________;表示0的点与原点的距离是_______; 即：0的绝对值是_______，记做___________;
第一章 有理数
七上数学 RJ
1.2.4 绝对值
1.ห้องสมุดไป่ตู้ 有理数
同步数学教学课件
问题1 什么是相反数？
只有符号不同的两个数，互为相反数.比如：1和-1，3和-3，0的相反数是0.
课堂导入
问题2 互为相反数的两个数在数轴上对应的点的位置有什么特点？
-3
3
（1）3和-3这两点关于原点对称 ；（2）3和-3到原点的距离相同，都是3.
绝对值的化简
绝对值的化简绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．+-+例3已知x＜-3，化简：321x例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．参考答案：例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．+-+例3已知x＜-3，化简：321x分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．。
绝对值的化简
绝对值的化简绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．+-+例3已知x＜-3，化简：321x例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．参考答案：例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．+-+例3已知x＜-3，化简：321x分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．。
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(3)当a，b取什么数时|a＋b|＝|a|＋|b|?
解：当ab≥0，即a，b同号或其中有一个为0时，|a＋b|＝|a|＋|b|
二、含字母的绝对值化简
10．若m是有理数，则下列说法正确的是( D )
A．|m|一定是正数 B．－m一定是负数 C．－|m|一定是负数 D．|m|＋1一定是正数
11．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列等式错误的是( C )
解：(2)原式＝(a＋1)－[－(c－b)]＋[－(b－1)]＋[－(b－a)]＝a＋1＋c－b －b＋1－b＋a＝2a－3b＋c＋2 (3)因为b与－1的距离和c与－1的距离 相等，所以|b－(－1)|＝|c－(－1)|，即|b＋1|＝|c＋1|，所以b＋1＝－(c＋ 1)，b＋1＝－c－1，则b＋c＝－2.又因为a＋b＋c＝0，所以a＋(－2)＝0， 则a＝2.所以－a2＋2b－c－(a－4c－b)＝－a2＋2b－c－a＋4c＋b＝－a2 －a＋3b＋3c＝－a2－a＋3(b＋c)＝－22－2＋3×(－2)＝－12
1 C．±2 D．± 2
6．计算：
1 1 (1)|－3|＝______ ； 3
2 ； (2)|＋(－2)|＝____ －6 ． (3)－|(－2)×(－3)|＝_______
7或1 7．若|m－n|＝n－m，且|m|＝4，|n|＝3，则|m＋n|＝___________ ．
8．已知|a＋3|＋|b－2|＝0. (1)求(a＋b)2的值； (2)求|a－b|的值． 解：由题意知：a＋3＝0，b－2＝0，所以a＝－3，b＝2.(1)(a＋b)2＝( －3＋2)2＝1 (2)|a－b|＝|－3－2|＝5
19．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，化简：|m
－a|＋|n－a|－|m＋n|.
解：因为|a|＝2，所以a＝±2.当a＝2时，原式＝|m－2|＋|n－2|－|m ＋n|＝－(m－2)－(n－2)－[－(m＋n)]＝－m＋2－n＋2＋m＋n＝4； 当a＝－2时，原式＝|m－(－2)|＋|n－(－2)|－|m＋n|＝|m＋2|＋|n＋2| －|m＋n|＝－(m＋2)＋(n＋2)－[－(m＋n)]＝－m－2＋n＋2＋m＋n＝ 2n
A．2a－3 B．1 C．3－2a D．－1
14．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是( C )
A．|a＋b|＝a＋b B．|a－1|＝a－1
C．|1－b|＝1－b D．|a－b|＝a－b
a |b| 15．已知|a|＝1， b ＝－1，且|a|＝|b|，则 a＋b＝( B ) A．2 B．0 C．2a D．2b 16．已知 a＜0，ab＞0，bc＜0，填空：
9．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
|(－3)＋(－5)|____| ＝ －3|＋|－5|，
|6＋(－2)|____|6| ＜ ＋|－2|， |(－8)＋5|____| ＜ －8|＋|5|，
|(－7)＋0|____| ＝ －7|＋|0|，
|2＋3|____|2| ＝ ＋|3| ≤ a|＋|b|； (2)归纳猜想：|a＋b|____|
20．已知a，b，c都是不为0的有理数，且|－a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c ＝0，化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|. 解：因为a，b，c都不为0，且|－a|＋a＝0，所以a＜0，又因为|ab|＝ab ，所以b＜0，又因为|c|－c＝0，所以c＞0，所以a＋b＜0，c－b＞0，a －c＜0.所以，原式＝－b－[－(a＋b)]－(c－b)－(a－c)＝－b＋a＋b－c ＋b－a＋c＝b
专题训练 绝对值的化简
一、含数字的绝对值化简
1．|(－2)3|＝( B )
A．6 B．8 C．－6 D．－8 2．下列各式不成立的是( D )
A．|－3|＝3 B．－|3|＝－3
C．|－3|＝|3| D．－|－3|＝3 3．若x＝－1，则|x－3|等于( B )
A．2 B．4
C．±2 D．2或4
4．下列各对数中，互为相反数的是( B ) A．|－2|和|2| B．－(－5)和－|－5| C．－(－1)和|－1| D．|m|和|－m| 1 5．若|－x|＝|－2|，则 x 的值为( C ) 1 A.2 1 B．－2
21．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示．
a－b ，b，c之间的距离为_______ b－c ，a， (1)填空：a，b之间的距离为_______
a －c ； c之间的距离为________
(2)化简：|a＋1|－|c－b|＋|b－1|＋|b－a|； (3)若a＋b＋c＝0，且b与－1的距离和c与－1的距离相等，求－a2＋2b －c－(a－4c－b)的值．
c ； ____ 2c (2)|a|－|a＋b|＋|b|＋|2c|＝_______ ．
17．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|.
(1)填空：a＋c_______0 ，a＋b____0 ＝ ＜ ，c－b____0 ＞ ；
A．|a|＝－a B．|b|＝b
C．|a－b|＝a－b D．|a－b|＝b－a
12．下列判断正确的是( B ) ①若a＝b，则|a|＝|b|；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③若|a|＝|b|，则a＝b ；④若|a|＝|b|，则a2＝b2. A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 13．有理数a在数轴上的位置如图所示，化简：|a－1|＋|a－2|＝( B )
(2)化简：|a＋c|＋|a＋b|－|c－b|.
解：原式＝|0|＋[－(a＋b)]－(c－b)＝0－a－b－c＋b＝－a－c
18．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|＋|－2y|－|3y－2x|.
解：因为y＜0，所以|y|＞0，又因为x＝|y|，所以x＞0，所以2x＞0，则－
2x＜0，又因为y＜0，所以－2y＞0，3y＜0，所以3y－2x＜0.所以原式＝ －y＋(－2y)－[－(3y－2x)]＝－y－2y＋3y－2x＝－2x