Matlab线性回归(拟合)-应用

Matlab 线性回归（拟合）

对于多元线性回归模型：

e x x y p p ++++=βββ 110

设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为

12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =．

记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x 2122221112

11111，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=p ββββ 10 的估计值为 y x x x b ')'(ˆ1-==β

在Matlab 中，用regress 函数进行多元线性回归分析，应用方法如下：

语法：b = regress(y, x)

[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x)

[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha)

b = regress(y, x)，得到的p+1维列向量b 即为(11.2)式给出的回归系数β的

估计值．

[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x) 给出回归系数β的估计值b ，β的95％置

信区间（(p+1)*2向量）bint ，残差r 以及每个残差的95％置信区间（2⨯n 向量）rint ；向量stats 给出回归的R2统计量和F 以及临界概率p 的值．

如果i β的置信区间（bint 的第i+1行）不包含0，则在显著水平为α时拒绝0i β=的假设，认为变量i x 是显著的．

[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x, alpha) 给出了bint 和rint 的100(1-alpha)%的置信区间．

1.三次样条插值函数的MATLAB 程序

matlab 的spline

x = 0:10; y = sin(x); %插值点

xx = 0:.25:10; %绘图点

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)

2.非线性拟合

非线性拟合可以用以下命令(同样适用于线性回归分析)：

beta = nlinfit(x,y,fun,beta0)

x:给定的自变量数据,

y:给定的因变量数据,

fun:要拟合的函数模型(句柄函数或者内联函数形式),

beta0:函数模型中系数估计初值,

beta返回拟合后的系数

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

fun要拟合的目标函数,

x0:目标函数中的系数估计初值,

xdata:自变量数据,

ydata:函数值数据,

x:拟合返回的系数(拟合结果),

2.1 nlinfit函数

格式：[beta,r,J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）

beta:估计出的回归系数,

r:残差,

J:Jacobian矩阵,

x，y:输入数据x、y分别为n*m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x 为n维列向量。

Model:事先用m-文件定义的非线性函数

beta0:回归系数的初值

例1已知数据：

x1=[0.5,0.4,0.3,0.2,0.1];

x2=[0.3,0.5,0.2,0.4,0.6];

x3=[1.8,1.4,1.0,1.4,1.8];

y=[0.785,0.703,0.583,0.571,0.126]’;

且y与x1，x2 , x3关系为多元非线性关系（只与x2,x3相关）为：

y=a+b*x2+c*x3+d*(x2.^2)+e*(x3.^2)

求非线性回归系数a , b , c , d , e。

(1)对回归模型建立M文件model.m如下:

function yy=myfun(beta,x)

x1=x(:,1);

x2=x(:,2);

x3=x(:,3);

yy=beta(1)+beta(2)*x2+beta(3)*x3+beta(4)*(x2.^2)+beta(5)*(x3.^2);

(2)主程序如下:

x=[0.5,0.4,0.3,0.2,0.1;0.3,0.5,0.2,0.4,0.6;1.8,1.4,1.0,1.4,1.8]';

y=[0.785,0.703,0.583,0.571,0.126]';

beta0=[1,1, 1,1, 1]';

[beta,r,j] = nlinfit(x,y,@myfun,beta0)

例题2：混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期（日）及抗压强度y （kg/cm2）的数据：

养护时间：x =[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56 ]

抗压强度：y =[35+r 42+r 47+r 53+r 59+r 65+r 68+r 73+r 76+r 82+r 86+r 99+r ] 建立非线性回归模型，对得到的模型和系数进行检验。

注明：此题中的+r 代表加上一个[-0.5,0.5]之间的随机数

模型为：y=a+k1*exp(m*x)+k2*exp(-m*x);

Matlab 程序：

x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56];

r=rand(1,12)-0.5;

y1=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99];

y=y1+r ;

myfunc=inline('beta(1)+beta(2)*exp(beta(4)*x)+beta(3)*exp(-beta(4)*x)','beta','x');

beta=nlinfit(x,y,myfunc,[0.5 0.5 0.5 0.5]);

a=beta(1),k1=beta(2),k2=beta(3),m=beta(4)

%test the model

xx=min(x):max(x);

yy=a+k1*exp(m*xx)+k2*exp(-m*xx);

plot(x,y,'o',xx,yy,'r')

结果：

a = 87.5244

k1 = 0.0269

k2 = -63.4591

m = 0.1083

图形：

2.2 lsqnonlin

非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为

L )x (f )x (f )x (f )x (f min 2m 2221x ++++=