第18讲 平抛运动的规律及应用

第18讲平抛运动的规律及应用基础命题点平抛运动的基本规律1．抛体运动定义：以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受01重力作用，这时的运动叫做抛体运动。

2．平抛运动(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在02重力作用下的运动。

(2)性质：平抛运动是加速度为g的03匀变速曲线运动，其运动轨迹是04抛物线。

(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿05水平方向；只受06重力作用。

(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的07匀速直线运动和竖直方向的08自由落体运动。

3．平抛运动的规律：如图所示，以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：(1)09匀速直线运动，速度v x10v0，位移x11v0t。

(2)12自由落体运动，速度v y13gt，位移y1412gt2。

(3)合运动①合速度v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝v y v 0＝15gt v 0。

②合位移x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝y x ＝16gt 2v 0。

4．平抛运动的规律应用 (1)飞行时间：由t ＝172hg 知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。

(2)水平射程：x ＝v 0t ＝18v 02hg ，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关。

(3)落地速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝19v 20＋2gh ，以α表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan α＝v yv x ＝202ghv 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关。

(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的21中点，如图乙所示。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝222tan θ。

6．斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)(1)定义：将物体以初速度v 0沿23斜向上方或24斜向下方抛出，物体只在25重力作用下的运动。

(2)性质：加速度为26重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是27抛物线。

(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的28匀速直线运动和竖直方向的29匀变速直线运动的合运动。

(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g 。

下列说法正确的是( )A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2 C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D ．若小球初速度增大，则θ减小解析 画出平抛运动分解图，如图所示，由tan θ＝gtv 0可得，小球平抛的初速度大小为v 0＝gt tan θ，A 正确；由tan α＝h x ＝12gt2v 0t ＝gt 2v 0＝12tan θ可知，α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2h g ，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gtv 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确。

答案AD分解思想在平抛运动中的应用(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。

(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。

1．(教科版必修2 P18·T2)一投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前()A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的答案 C解析4包物资落地前水平速度与飞机相同，竖直方向做自由落体运动，所以总在飞机的正下方排成竖直的直线，水平速度相同，下落高度相同，落点是等间距的，C正确，A、B、D错误。

2．(2019·湖北高考模拟)如图所示，上、下两个完全相同的圆弧轨道分别固定在竖直板上的不同高度处，轨道的末端水平。

在两轨道相对于各自轨道末端高度相同的位置上各安装一个电磁铁，两个电磁铁由同一个开关控制，通电后，两电磁铁分别吸住相同小铁球A、B，断开开关，两个小球同时开始运动。

离开圆弧轨道后，A球做平抛运动，B球进入一个光滑的水平轨道。

若某次两个小球相碰的位置恰在水平轨道上的P点处。

已知固定在竖直板上的方格纸的正方形小格边长均为9 cm，则可计算出A球刚到达P点的速度大小为(g取10 m/s2)()A．4.5 m/s B．910 5 m/sC．95 5 m/s D．2710 5 m/s答案 A解析A球做平抛运动，则竖直方向：h＝9L＝12gt2，v y＝gt，水平方向：9L ＝v0t，A到达P点的速度为：v＝v20＋v2y，将L＝9 cm＝0.09 m代入，解得：v ＝4.5 m/s，故A正确。

3．(2019·河南六市高三联合一模)如图甲所示的“襄阳砲”是古代军队攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化图。

将质量m ＝10 kg的石块，装在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端口袋中，最初静止时长臂与水平面的夹角α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止运动，石块靠惯性被水平抛出，落在水平地面上。

若石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝20 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。

以下判断正确的是()A．石块抛出后运动时间为32sB．石块被抛出瞬间的速度大小为203 2 m/sC．石块即将落地时重力的瞬时功率为500 6 WD．石块落地的瞬时速度大小为15 m/s答案 C解析石块被抛出后做平抛运动，h＝L＋L sinα，竖直方向：h＝12gt2，可得：t＝62s，故A错误；石块被抛出后做平抛运动，水平方向：s＝v0t，可得：v0＝2063m/s，故B错误；石块即将落地时重力的瞬时功率为：P＝mg v y＝mg·gt＝500 6 W，故C正确；石块落地的瞬时速度大小为：v＝v20＋(gt)2＝2563m/s，故D错误。

能力命题点一有约束条件的平抛运动1．概述做平抛运动的物体常见的是落在水平面上的某一点(如投弹)，当落在竖直面上(射箭)、斜面上(滑雪、投弹)或一定形状的曲面上时，平抛运动会受到这些几何形状的约束，如下图所示。

解决这类问题不仅要掌握平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。

2．典型模型：斜面上的平抛运动斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

常见的模型如下：斜面解题方法内容分解速度，构建速度三角形水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v2x＋v2ytanθ＝v0v y分解位移，构建位移三角形水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2tanθ＝yx如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是()A．夹角α将变大B ．夹角α与初速度大小无关C ．小球在空中的运动时间不变D ．P 、Q 间距是原来间距的3倍解析 由图可知，tan(α＋θ)＝v y v x ＝gt v 0，而tan θ＝y x ＝12gt2v 0t ＝gt2v 0，可得tan(α＋θ)＝2tan θ，则知α大小与初速度大小无关，α不变，A 错误，B 正确；斜面倾角的正切值tan θ＝gt2v 0，得t ＝2v 0tan θg ，若初速度变为原来的3倍，其运动时间变为原来的3倍，C 错误；P 、Q 间距s ＝xcos θ＝v 0t cos θ，若初速度变为原来的3倍，则时间t 变为原来的3倍，则P 、Q 间距变为原来的9倍，D 错误。

答案 B有约束条件的平抛运动问题求解的关键(1)运动的分解 ①以分解速度为突破口对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tan α＝v y v x＝gtv 0(α为t 时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v 0、时间t 、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。

②以分解位移为突破口对于一个做平抛运动的物体来讲，若已知某时刻的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan θ＝12gt2v 0t (θ为t 时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v 0、运动时间t 和夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。

(2)灵活运用平抛运动的两个推论，特别是tan α＝2tan θ，可简化求解过程。

1．如图所示，以9.8 m/s 的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g ＝9.8 m/s 2)( )A ． 3 sB ．233 s C ．33 s D ．2 s答案 A解析 物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，其速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示。

由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为v y ＝v 0tan θ，由v y ＝gt 可得运动的时间t ＝v y g ＝v 0g tan θ＝ 3 s ，故A 正确。

2．(2019·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y ＝x 2，在y 轴上有一点P ，坐标为(0,6 m)。

从P 点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s 。

则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．(3 m,3 m)B ．(2 m,4 m)C ．(1 m,1 m)D ．(1 m,2 m)答案 C解析 设小球经过时间t 打在曲面上M (x ，y )点，则水平方向：x ＝v 0t ，竖直方向上：6 m－y＝12，又因为y＝x2，联立解得：x＝1 m，y＝1 m，故C正确。