数学培优(一元二次方程的应用题)
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
数学培优竞赛新方法-第4讲 一元二次方程的应用
第4讲一元二次方程的应用知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。
例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ，C 是坐标轴上一点。
若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________。
【例2】已知实数x 、y 满足32424=-x x ，324=+y y ，则y x 444+的值为（）。
A．7B．2131+C．2137+D．5【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。
若花园的BC 边长为x（m），花园的面积为y（m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【例4】已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s，点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度2m/s，连接PQ。
若运动时间为t（s）（2<t<2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC？（2）（2）设△AQP 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）（3）如图②，连接PC，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形，求此时AQP ∆的面积.【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A，分别交x 轴于点B 和点C，点D 是直线AC 上的一个动点。
初中数学代数培优：12讲专题10 一元二次方程的应用综合-讲义(含答案解析)
专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2√10cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？ （2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长； 设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式； （3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系． （1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．①求y与x之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200240002240020400【变式4-3】（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系前n 行的点数的和是1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ，可以发现．2×[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]＝[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]+[n +（n ﹣1）+（n ﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n +1，整个式子等于n （n +1），于是得到1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ＝n （n +1）这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是 n （n +1）． 下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n （n +1）＝300整理这个方程，得：n 2+n ﹣600＝0解方程得：n 1＝24，n 2＝﹣25，根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n 、…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC 内，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【解题思路】过点Q 作QE ⊥PB 于E ，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE =12QB ，设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ，根据△PBQ 的面积等于4cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答过程】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°. ∵∠ABC ＝30°， ∴QE =12QB ．设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ， 根据题意得：12•（6﹣t ）•t ＝4，整理得：t 2﹣6t +8＝0， 解得：t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去， ∴t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，它们同时出发，设运动时间是ts （t ＞0）． （1）当t ＝4时，求△APQ 的面积．（2）经过多少秒时，△APQ 的面积是△ABC 面积的一半．【解题思路】（1）根据点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，利用面积公式求解；（2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半，则BP ＝2tcm ，CQ ＝2tcm ，进而表示出AP ＝（12﹣2t ）cm ，AQ ＝（8﹣t ）cm ，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解答过程】解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1m /s ， 当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ ＝t ＝4cm ， ∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ， ∴S △APQ =12×4×4＝8（cm 2）． （2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半． 根据题意得：12S △ABC =12×12×12×8＝24cm 2， 当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ =12（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24， 整理得t 2﹣14t +24＝0， 解得t ＝12（舍去）或t ＝2．当6＜t＜8 时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，无解．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解题思路】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜t ≤6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答过程】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于2√10cm ？（3）△PQB 的面积能否等于7cm 2？请说明理由．【解题思路】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S △PQB ＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b 2﹣4ac 得出原方程没有实数根，从而得出△PQB 的面积不能等于7cm 2．【解答过程】解：（1）设经过x 秒以后，△PBQ 面积为4cm 2（0＜x ≤3.5）此时AP ＝xcm ，BP ＝（5﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ，由12BP ⋅BQ =4，得12(5−x)×2x =4， 整理得：x 2﹣5x +4＝0，解得：x ＝1或x ＝4（舍）；答：1秒后△PBQ 的面积等于4cm 2；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于2√10cm ，由PQ 2＝BP 2+BQ 2，即40＝（5﹣t ）2+（2t ）2，解得：t ＝﹣1（舍去）或3．则3秒后，PQ 的长度为2√10cm ；（3）假设经过t 秒后，△PBQ 的面积等于7cm 2，即BP ×BQ 2=7，(5−t)×2t 2=7，整理得：t 2﹣5t +7＝0，由于b 2﹣4ac ＝25﹣28＝﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以△PQB 的面积不能等于7cm 2．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 运动到点B 时，点Q 也停止运动；当△PQC 的面积等于16cm 2时，运动时间为 s ．【解题思路】设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，利用三角形面积的计算公式结合△PQC 的面积等于16cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，依题意，得：12（12﹣2x ）（6﹣x ）＝16， 整理，得：x 2﹣12x +20＝0，解得：x 1＝2，x 2＝10（不合题意，舍去）．故答案为：2．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm 正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．【解题思路】设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，分类讨论当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．【解答过程】解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，PB ＝6﹣x ，BQ ＝2x ，所以S △PBQ =12PB •BQ =12×2x ×（6﹣x ）＝8， 解得x ＝2或4，又知x ＜3，故x ＝2符合题意，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，S △PBQ =12（6﹣x ）×6＝8，解得x =103． 故答案为：2或103．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2？（2）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ？【解题思路】当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ 的面积为33cm 2，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则PM ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，利用勾股定理结合PQ ＝10cm ，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）依题意，得：12×（16﹣3t +2t ）×6＝33， 解得：t ＝5．答：P ，Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2．（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，如图所示．∵PM ＝PB ﹣CQ ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，∴PQ 2＝PM 2+QM 2，即102＝（16﹣5t ）2+62，解得：t 1=85，t 2=245（不合题意，舍去）．答：P ，Q 两点从出发开始到85秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ．【变式2-3】如图，菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AC ＝8cm BD ＝6cm ，动点M 从A 点出发沿AC 方向以2cm /s 匀速直线运动到C 点，动点N 从B 点出发沿BD 方向以1cm /s 匀速直线运动到D 点，若M ，N 同时出发，设运动时间为t 秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？（2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长；设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式；（3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM 、ON ，利用勾股定理得出MN 即可；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，利用勾股定理求得MN 的平方即可；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上、当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上和当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD 中，AC ＝8cm BD ＝6cm ，∴OA ＝4，OB ＝3，∵当t ＝1秒时，OM ＝4﹣2＝2，ON ＝3﹣1＝2，∴MN =√22+22=2√2；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，W ＝MN 2＝OM 2+ON 2＝（2t ﹣4）2+（3﹣t ）2＝5t 2﹣22t +25；（3）①当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上．12（4﹣2t ）（3﹣t ）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＜2，∴t =5−√22； ②当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上，12（2t ﹣4）（3﹣t ）=14；解得t 1＝t 2=52；③当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上，12（2t ﹣4）（t ﹣3）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＞3，∴t =5+√22． 综上所述，出发后√5−22s 或52s 或5+√22s 时，△MON 的面积为14cm 2． 【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系．（1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【解题思路】（1）设出一次函数解析式，把B 、C 两点的坐标代入可得所求函数关系式；（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答过程】解：（1）当10≤x ≤20时，设y ＝kx +b （k ≠0）（11分）依题意，得{10k +b =20020k +b =150， 解得{k =−5b =250， ∴当10≤x ≤20时，y ＝﹣5x +250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x ＜20，依题意，得xy ＝x （﹣5x +250）＝2625，即x 2﹣50x +525＝0，解得x 1＝15，x 2＝35（舍去）∴只取x ＝15．答：该旅游团共购买这种模型15个．【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【解题思路】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），将（35，550）、（40，500）代入y ＝kx +b ，得{35k +b =55040k +b =500． 解得：{k =−10b =900， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝﹣10x +900；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据题意得：（x ﹣30）（﹣10x +900）＝8000．整理，得：x 2﹣120x +3500＝0，解得：x 1＝50，x 2＝70．∵此设备的销售单价不得高于60万元，∴x ＝50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x ＞40时，用含x 的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【解题思路】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x ＝60时的进价和售价，可得利润；（3）分当x ＞40和当x ≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．【解答过程】解：（1）由题意得：当x ＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：800﹣5（x ﹣40）＝﹣5x +1000；（2）设图中直线解析式为：y ＝kx +b ，把（0，700）和（50，600）代入得：{50k +b =600b =700， 解得：{k =−2b =700， 直线解析式为：y ＝﹣2x +700，当x ＝60时，进价为：y ＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；（3）当x ＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x +1000）﹣（﹣2x +700）＝﹣3x +300，则x （﹣3x +300）＝4800，解得：x 1＝80，x 2＝20（舍），当x ≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x +700）＝2x +100，则x （2x +100）＝4800，解得：x 1＝30，x 2＝﹣80（舍），答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示． ①求y 与x 之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【解题思路】①当20≤x ≤80时，利用待定系数法即可得到y 与x 的函数表达式； ②把x ＝70代入函数式求得销量，然后由利润＝（销售单价﹣进价）×销售量求得答案； ③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价； ④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价． 【解答过程】解：①当0＜x ＜20时，y ＝60； 当20≤x ≤80时，设y 与x 的函数表达式为y ＝kx +b ， 把（20，60），（80，0）代入，可得 {60=20k +b 0=80k +b ， 解得{k =−1b =80，∴y ＝﹣x +80，∴y 与x 的函数表达式为y ={60(0≤x ≤20)−x +80(20＜x ≤80)；②把x ＝70代入y ＝﹣x +80，得到：y ＝﹣70+80＝10， 故w ＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若销售利润达到800元，若20≤x ≤80，则（x ﹣20）（﹣x +80）＝800， 解得x 1＝40，x 2＝60，若0＜x ＜20，则（x ﹣20）×60＝800， 解得x =1003（不合题意），∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元． ④根据题意，得（x ﹣20）（﹣x +80）＝1000， 整理，得x 2﹣100x +2600＝0． 因为△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0， 所以方程无实数根， 所以不能达到1000元．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A 1B 1C 1D 1是矩形ABCD 的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），根据矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），依题意，得：x （92−x ）=12×8×1，整理，得：x 2−92x +4＝0， 解得：x 1=9+√174，x 2=9−√174． 当x =9+√174时，92−x =9−√174，符合题意； 当x =9−√174时，92−x =9+√174＞9−√174，不合题意，舍去． ∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为9+√174，宽为9−√174． 【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？ 【解题思路】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B ；（3）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m 、n 之间的关系． 【解答过程】解：（1）利用求根公式可知：x 1=7−12×2=32，x 2=7+12×2=2． 故答案为：32；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =32xy =1， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =m+n2xy =mn2， 消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0． ∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0， ∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在． 【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）设在2009年的基础上，再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600，2000+…+400（x ﹣1），根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解．【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×192×6＝1180． （2）解：设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
培优专题01 一元二次方程的解法-原卷版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
人教【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
九年级数学培优教程二一元二次方程 试题
卜人入州八九几市潮王学校中大附中三水实验九年级数学培优教程〔二〕一元二次方
程
1、关于x 的一元二次方程kx 2
-(2k-1)x+k=0有两个不相等的实根，求k 的取值范围。
2、关于x 的方程0122
=--x k x 有实根，求k 的取值范围：。
3、关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实根，那么k 的非负整数值是。
4、方程012
=--x x 的两根为。
5、解方程03222=-+a x a x
6、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长
，且关于x 的方程)0(02)()(2
2>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证△ABC 是直角三角形。
7、关于x 的方程〔m-2〕x 2-
2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时， 〔1〕方程只有一个实数根〔2〕方程有两个相等的实根〔3〕方程有两个不相等的实根
8、求证：k 为何实数，方程〔k 2+1〕x 2
-2(k-1)x-1=0一定有两个不相等的实根。
9、m ，n 为整数，关于x 的三个方程：x 2-(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实根；x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实根；x 2-(m-4)x+n+1=0没有实根；求m ，n 的值。
【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程 实际应用同步培优专项习题(二)
第1章《一元二次方程》实际应用同步培优专项习题（二）1．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食，在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属，近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元，11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？（2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，B品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了a%，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了a%，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了a%，求a的值．2．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资16000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不超过购买科普书籍资金的3倍，那么最多可用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有160户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元．经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在160户的基础上增加了a%，这样，平均每户的集资款在原有基础上减少了0.8a%，求a的值．3．按照中央精准扶贫的部署，市委、市政府重点扶持贫困户发展特色农业．现某区扶持一贫困户的李子园销售“金脆李”和“黄橙李”两种李子，因为“金脆李”果形奇特、口感佳，售价为30元/斤，“黄橙李”因大面积种植，售价要便宜一些，为20元/斤．（1）7月上旬，该果园一共售出300斤李子，要使销售额不低于7250元，问最多售出“黄橙李”多少斤？（2）为了提高“金脆李”的知名度，政府对“金脆李”进行广告宣传，7月中旬该果园的总销售重量为1500斤，其中售出“黄橙李”1000斤，7月下旬由于李子大量上市，该果园推出优惠方案，“金脆李”每斤降价a%，“黄橙李”售价保持不变，售后统计“金脆李”销售数量在7月中旬的基础上增加了2a%，“黄橙李”数量在7月中旬的基础上减少了a%，若总销售额与7月中旬的总销售额持平，求a的值．4．在2020年底，某农户大面积种植的改良版本地脐橙喜获丰收．故自2021年1月起，该农户通过超市和网络电商两种渠道销售脐橙．已知脐橙超市售价为10元/千克，网络售价为8元/千克．（1）2021年1月上旬脐橙的网络销量比超市销量少850千克，要使销售额不低于40000元，则1月上旬脐橙的超市销量至少为多少千克？（2）在（1）的条件下，2月上旬，受疫情影响，脐橙在超市的售价较1月上旬下降a%，网络售价下降a%，销量也呈下降趋势．因此该农户参加网络扶贫创新接力活动，借助直播，使得脐橙在网上销量比1月上旬最少量增长了a%，但脐橙在超市销量比1月上旬最少量下降了，结果2月上旬脐橙的销售额比1月上旬最低销售额减少了3400元，求a的值．（a＜50）5．2021年的春节，全国多地提倡“就地过年”，以减少大规模的人口流动，为人们安全与健康提供防疫保障．我市两江融渝旅行社考虑到市民春节短期短途出行需求，推出“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品．（1）该旅行社新春除夕至正月初六接待参加“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”的游客共1000人，其中选择“金佛山二日游”的游客不超过选择“广阳一日游”游客的，则选择“金佛山二日游”的游客至多有多少人？（2）“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品春节期间售价分别为80元/人和200元/人，随着春节假期结束，为延长上述旅游产品的销售热度，旅行社决定“广阳岛一日游”售价下降3m%，“金佛山二日游”售价下降10%促销数日．由于产品定位精准、游客体验感好、口碑传播，加之受降价刺激，节后降价数日内该旅行社又接待参加上述旅游产品的游客总人数合计700人．其中选择“金佛山二日游”人数占总人数的%，促销期间销售总金额为6.09万元，求m的值．6．三月的万州区小周镇，“三月红桔”红遍长江两岸，三月红桔主题公园每天游客更是络绎不绝．“生态果园”水果商家3月中旬购进了第一批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”共300千克，已知一级“三月红桔”进价每千克15元，售价每千克30元，二级“三月红桔”进价每千克5元，售价每千克10元．（1）若这批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”全部销售完获利不低于3500元，则一级“三月红桔”至少购进多少千克？（2）第一批“三月红桔”很快售完，于是商家决定购进第二批“三月红桔”，一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的进价不变，一级“三月红桔”售价比第一批上涨a%，二级“三月红桔”售价比第一批上涨2a%；销量与（1）中获得最低利润时的销量相比，一级“三月红桔”的销量下降a%，二级“三月红桔”的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的销售总额与（1）中的最低销售总额相等，求a的值．7．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？8．知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果a•b＝0，那么a＝0，或b＝0．知识迁移Ⅰ解方程：（x+1）（x+2）＝0．解：（x+1）（x+2）＝0．∴x+1＝0，或x+2＝0．∴x1＝1，或x2＝﹣2．Ⅱ解方程：x2+6x﹣7＝0．解：x2+6x﹣7＝0．∴x2+2×3x+32﹣32﹣7＝0．∴（x+3）2﹣16＝0∴（x+3）2﹣42＝0．∴（x+3+4）（x+3﹣4）＝0．∴（x+7）（x﹣1）＝0∴x+7＝0，或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，或x2＝1．理解应用（1）解方程：x2﹣10x﹣39＝0．拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子．求所剪去的小正方形的边长．9．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？10．“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入3万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产A型车的成本价为300元/辆，售价为500元/辆，生产B型车的成本价为700元/辆，售价为1000元/辆．根据定制要求，B型车的数量超过12辆，且A型车的数量不少于B 型车的2倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？11．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量的几组对应值如下表：销售单价x/元85 95 105 115日销售量y/个175 125 75 m （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式及m的值．（2）该产品的成本单价是80元，当日销售利润达到1875元时，为了让利给顾客，减少库存，求销售产品单价定为多少元？13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA 方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为1cm/s．当运动时间为多少秒时，两点相距15cm？14．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？15．今年8月双福国际农贸市场某水果批发商用2.2万元购得“象牙芒”和“红富士苹果”共400箱，其中，“象牙芒”、“红富士”的数量比为5：3．已知每箱“象牙芒”的售价是每箱“红富士”的售价的2倍少10元，预计3月可全部销售完．（1）该批发商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱“象牙芒”至少卖多少元？（总利润＝总销售额﹣总成本）（2）实际销售时，受中央“厉行节约”号召的影响，在保持（1）中最低售价的基础上，“象牙芒”的销售下降了%，售价下降了a%；“红富士”的销售量下降了a%，但售价不变．结果导致“象牙芒”、“红富士”的销售总额相等．求a的值．。
【数学】数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20．试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+52m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t，()220x m x m-++=根据题意得2+t=21m+,2t=m，解得t=0，所以m=0，即m的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【解析】 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论． 【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ， 根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．6．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．7．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3==-+=a b k c k24∆=-b ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=4122-=-⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60⨯.答：该店应按原售价的九折出售.9．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.。
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x 1+x 2 = == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x ）dm ，宽为（6-2x ）dm ，根据长方体底面面积为12dm 2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，1﹣k ﹣3+3k ＝0解得k ＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+=24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD36x =，∴四边形ABCD面积=4+9+x36x+≥13+236xx⋅=25．当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】 【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0， ∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根为m ，n ， ∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2． 【解析】 【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x 1=7，x 2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米． （2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y 2﹣18y+85=0． ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1． 【解析】 【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-. 【解析】 分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.9．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.10．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝， ∴x1＝2，x 2＝2。
初三数学培优——一元二次方程应用题
一元二次方程应用题数字问题1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。
2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________.3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。
增长（降低）率问题1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元．3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是A．128)%1(1682=+a B．128)%1(1682=-aC．128)%21(168=-a D．128)%1(1682=-a4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为▲．6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。
7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.8，某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）9. 小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
培优专题04一元二次方程的实际问题分类-解析版
（
）
A． 50(1 x)2 175
C． 501 x 50(1 x)2 175
【答案】B
B． 50 501 x 50(1 x)2 175
D． 50 50(1 x)2 175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量 增长前的量(1 增长率) 增长次数 ，本题可先用 x 表示出二月份的 产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为： 501 x， 三月份的产值为： 501 x1 x 50(1 x)2 ， 故第一季度总产值为： 50 501 x 50(1 x)2 175 ．
故选 B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根 据题意列出方程即可． 7．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）某口罩厂八月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求 量增加，十月份的产量比八月份增加了 44 万只，设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为 x，可列
下，经过两轮传染后共有 25 人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（
）
A．3 人
B．4 人
C．5 人
D．6 人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则第一轮传染中感染了 x 人，第二轮传染中感染了
x（1+x）人，根据 1 人感染了后经过两轮传染共有 25 人感染，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
2．（2022·全国·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 225 人患了流感，设每轮传染
中平均每人传染的人数为 x 人，则可列方程（
）
A． x x x 225
B． x x(1 x) 225 C． 1 x x(1 x) 225 D．1 x (1 x)(1 x) 225
【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案解析
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 元/千克
设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x千克
则 ，
解得 ，
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
解得y=4；
②当 ＜x≤ 时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ= （3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=- （舍去）；
③ ＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB= （22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解 ：∵方程的一个根是2，
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
数学 一元二次方程的专项 培优练习题附答案
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2)李明的说法正确，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
【解析】
【分析】
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.
【详解】
解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
中考数学 一元二次方程 培优练习(含答案)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．2． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;或( x≥m) ；3．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.4．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．6．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0． （1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k ＝32或2． 【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k ﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝2k ﹣1，x 2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，然后分别解关于k 的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k +1）2﹣4×4（k ﹣12）＝4k 2﹣12k +9＝（2k ﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2）()2k 12k 3x=2±＋﹣ ∴x 1＝2k ﹣1，x 2＝2， ∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】 （1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵（a b-）2=a﹣2ab+b≥0∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b ab a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，1x-＞0，则也可以按公式a+b ab a=b时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程（三）
课前练习：
1．某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+32
t ,那么行驶 200m 需要多长时间?
2．某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
3．一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
例题教学：
例1．我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以
每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）
例2．某单位规定，职工每人每月用电量不超过A 度，那么这个月只需交10元电费，如果超
过A 度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度100A 元交费． ⑴某职工12月份用电90度，超过了规定的A 度，则超过的部分应交电费多少元？（用含
A 的代数式表示）
⑵下面是该职工10月、11月的用电情况和交费情况：
根据上表数据，求A 值，并计算该职工12月份应交电费多少元？
例3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个．根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个．假设每个降价x（元），每天销售量y （个），每天获得最大利润W（元）
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）6000元是否为每天销售这种商品的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时这种商品的销售价应定为多少元？
巩固练习：
1．将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子cm,求原铁皮的边长.
的容积是4003
2．一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.
cm,求小路的宽度.
已知小路的面积为2462
3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?
4．有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
一元二次方程（四）
课前练习：
1．某文具厂加工一种文具2500套，加工完1000套后，由于采用了新设备，每天的工作效率变为原来的1.5倍，结果提前5天完成了加工任务．求该文具厂原来每天加工多少套这种文具．
2．“阳黄公路”开通后，从长沙到武陵源增加了一条新线路，新线路里程在原线路长360Km 的基础上缩短了50Km，今有一旅游客车和小车同时从长沙出发前往武陵源，旅游客车走新线路，小车因故走原线路，中途停留6分钟．若小车速度是旅游客车速度的1.2倍，且两车同时到达武陵源，求两车的速度各是多少？
3．甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。
如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。
例题教学：
例1．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
(1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009
年底家庭轿车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别
为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案.
例2．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车
的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
⑴当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
⑵当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
例3．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方
案一：生产甲产品，每件产品成本为a 万美元（a 为常数，且3＜a ＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x 件乙．产品．．
时需上交2
0.05x 万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y 、2y 与相应生产件数x （x 为正整数）之间
的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
巩固练习：
1．某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？
2．某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年 交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）
为275万元？。