高级微观经济学习题

第一部分：消费者理论

一、形式化表述分析消费者偏好的性质

（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） 二、效用函数存在性证明 请参考教材

三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。当价格为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 如果=2x （1.4，1）时：

8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2

2122p x 6*13*212p x 6*1.43*111.4=+=>=+= 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数

解答：

w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商

品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，1

1p w

x = 或者由w x p x p t s x x x u =+=22111

21..),(max ,可得到

)(0max

),(max 1

12112221源于消费束的非负限制，，此时p w

x x p w p x p w x x u ===-= 实际上，这是一个边角解，

五、效用函数ρρ

ρ1

2121)(),(x x x x u +=，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案： 1、1

2

1

1

1

11

1---+=

ρρρρρp p wp x ，1

2

1

1

1

12

2---+=

ρρρρρp p wp x ，ρ

ρρρρρ11

2

1

1

21)

(),,(---+=

p p w

w p p v

2、ρ

ρρρρρ1

1

2

1

1

1

11

1)

(---+=

p p up h ，ρ

ρρρρρ1

1

2

1

1

1

12

2)

(---+=

p p up h ，ρ

ρ

ρρρρ---+=

11

2

1

1

)

(),(p p u

u p e

（形式可能不一样）

六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材

七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡ 2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡ 请参考教材 八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{,w x p X x B X w p ≤⋅∈=：：。假定}0,{>>w p 。证明：如果X 是一个凸集，则w p B ,也是凸集。 请参考教材 九、效用函数2121),(x x x x u =，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。 请参考教材

十、效用函数ρρ

ρ1

2121)(),(x x x x u +=，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：ρ

ρρρρρρρ

ρ11

2

1

1

1

21)

()(),(---++=p p x x x p w

1x

2x

w q q p p w q p ρ

ρ

ρρρρρ

ρρρρρμ------++=11

2

1

1

11

2

1

1

)

()

(),(；

十一、效用函数2121),(x x x x u =，当40,3,20

20

1===w p p ，5,41

21

1==p p ，求其等价变化和补偿变化。 答案： w q q p p w q p 2

121),(=

；μ，)1103(40-=EV ，)310

1(40-=CV 十二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材

十三、2121),(x x x x u =，假定25.01=p ，12=p ，2=w ，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：max 2121),(x x x x u =

s.t. w p x p x =+2211 1．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数

)--(221121x p x p w x x L λ+=

（2）求极值一阶条件

02

112122111=-=∂∂-λp x x x L (a)

02

1221

22112=-=∂∂-λp x x x L (b) 02211=--=∂∂x p x p w L

λ

(c) 由(a)和(b)整理得：

()()

2

1122

12

12

1

2112

=⇒

=

p p x x p p x x

x x （3）瓦尔拉斯需求函数

分别将2

1

12=p p x x ，212

1=p p x x 代入预算约束(c)，有