最全面的解三角形讲义

解三角形

【高考会这样考】

1．考查正、余弦定理的推导过程．

2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．

4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．

基础梳理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变

形为：

(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；

(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos_A ，b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos_B ，c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab cos_C ．余弦定

理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接

圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .

4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则

A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A

b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b

解的 个数

无解 一解 两解 一解 一解 无解

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 6．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．

(2)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

考向探究

题型一正弦余弦定理运用

【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c. 【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且

C B cos cos =-c

a b

+2.

（1）求角B 的大小；

（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.

【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2

+bc=0. （1）求角A 的大小；

（2）若a=3，求bc 的最大值； （3）求

c

b C a --︒)

30sin(的值.

【变式】

1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a=.

2.（1）△ABC 中，a=8,B=60°,C=75°,求b; (2)△ABC 中，B=30°,b=4,c=8,求C 、A 、a.

3.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积为.

4.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2

，求tanC 的值.

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA=.

6. 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2

+c 2

-b 2

）tanB=3ac ，则角B 的值为. 7.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c.已知c=2,C=

3

π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值； （2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 题型二判断三角形形状

【例题】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2

）sin （A-B ）=（a 2-b 2

）sin （A+B ），判断三角形的形状.

【变式】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.

题型三测量距离问题

【例题】如图所示，

为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．

【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D 点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．

题型四测量高度问题

【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.

【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．