解三角形完整讲义
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正余弦定理知识要点：
1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. 3、解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；
（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…
8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…
【例题】在锐角三角形ABC 中，有 （ B ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA C ．cosA>sinB 且cosB D ．cosA 9、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，2 a b c r +-=斜直 正弦定理 专题：公式的直接应用 1、已知ABC △ 中，a = b =60B =o ，那么角A 等于（ ） A ．135o B ．90o C ．45o D ．30o 2、在△ABC 中，a ＝3 2，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150° 3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 若120c b B ===o ，则等于（ ） A B ．2 C D 4、已知△ABC 中，30A =o ，105C =o ，8b =，则a 等于（ B ） A ．4 B. C. D.a 5、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ） A ．310+ B ．()1310- C ．13+ D ．310 6、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3 1sin =A ，B b sin 3=，则a 等于 ． （33 ） 7、△ABC 中，45B =o ，60C =o ，1c =，则最短边的边长等于（ A ） A .3 B. 2 C . 12 D . 2 8、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ C ） A .1 3 B .1 2 C .3 4 D .0 9、在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。 证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2222sin sin b B a A = 2222112cos 2cos b a b B a A -=-∴ 专题：两边之和 1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ . （61236-,24612-） 2、已知ABC △ 1 ，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1 sin 6C ，求角C 的度数． 专题：三角形个数 1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( C ) A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ B ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A ．b = 10，A = 45°， B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ A ）