去绝对值常用方法之令狐文艳创作
一次函数经典题型之令狐文艳创作
一次函数经典题型令狐文艳题型一、点的坐标方法: x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;若两个点关于x轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;1、若点A(m,n)在第二象限,则点(|m|,-n)在第____象限;2、若点P(2a-1,2-3b)是第二象限的点,则a,b的范围为______________________;3、已知A(4,b),B(a,-2),若A,B关于x轴对称,则a=_____,b=_____;若A,B关于y轴对称,则a=_____,b=_____;若若A,B关于原点对称,则a=_______,b=_________;4、若点M(1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1)关于原点的对称点在第_____象限。
题型二、关于点的距离的问题方法:点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示;任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ; 若AB ∥x 轴,则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -; 若AB ∥y 轴,则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -;点(,)A A A x y 1、 点B (2,-2)到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;2、 点C (0,-5)到x 轴的距离是______;到y 轴的距离是_____;到原点的距离是______;3、 点D (a,b )到x 轴的距离是______;到y 轴的距离是______;到原点的距离是______4、 已知点P (3,0),Q(-2,0),则PQ=_____,已知点110,,0,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则MQ=_____;()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是_______;已知点G (2,-3)、H (3,4),则G 、H 两点之间的距离是_________;5、 两点(3,-4)、(5,a )间的距离是2,则a 的值为__________;6、 点A (0,2)、B (-3,-2)、C (a,b ),若C 点在x 轴上,且∠ACB=90°,则C 点坐标为_________.题型三、一次函数与正比例函数的识别方法:若y=kx+b(k,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数,特别的,当b=0时,一次函数就成为y=kx(k 是常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b ,这时,y 叫做常函数。
2021年高中数学等价转化思想方法之令狐文艳创作
第二章高中数学常用的数学思想令狐文艳四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。
著名的数学家,莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。
利用基本不等式求最值的类型及方法之令狐文艳创作
利用基本不等式求最值的类型及方法令狐文艳一、几个重要的基本不等式:①,、)(222222Rbabaababba∈+≤⇔≥+当且仅当 a = b时,“=”号成立;②,、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+Rbabaababba当且仅当a = b时,“=”号成立;③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++Rcbacbaabcabccba当且仅当 a = b = c时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当 a = b =c时,“=”号成立.注:①注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;②熟悉一个重要的不等式链:ba112+2a b+≤≤222ba+。
二、函数()(0)bf x ax a bx=+>、图象及性质(1)函数()0)(>+=baxbaxxf、图象如图:(2)函数()0)(>+=baxbaxxf、性质:①值域:),2[]2,(+∞--∞abab ;②单调递增区间:(,-∞,)+∞;单调递减区间:(0,,[0).三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x xx=+>-的最小值。
解析:21(1)2(1)y x xx=+>-21(1)1(1)2(1)x xx=-++>-21111(1)222(1)x xxx--=+++>-1≥312≥+52=,当且仅当211(1)22(1)xxx-=>-即2x=时,“=”号成立,故此函数最小值是52。
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值:①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:①30,3202x x <<->∴,∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=,当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。
人教版七年级数学上册课本全部内容之令狐文艳创作
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---...5.351...2.03121321.0...321.,,负分数:如,,,正分数:如分数,,负整数:如,,,正整数:如整数数理有第一讲 有理数令狐文艳概念图1、像5,1,2,21,…这样的数叫做正数,它们都比0大,为了突出数的符号,可以在正数前面加“+”号,如+5,+1.22、在正数前面加上“—”号的数叫做负数,如-10,-3,…3、0既不是正数也不是负数.4、整数和分数统称为有理数.你能用所学过的数表示下列数量关系吗?如果自行车车条的的长度比标准长度长2mm ,记作+2mm ,那么比标准长度短3mm 记作什么?如果恰好等于标准长度,那么记作什么?探索【1】 下列语句:①所有的整数都是正数;②所有的正数都是整数;③分数都是有理数;④奇数都是正数;⑤在有理数中不是负数就是正数,其中哪些语句是正确的?探索【2】 把下列各数填在相应的集合内:15,-6,-0.9,21,0,0.32,-411,51,8,-2,27,71,-43,3.4,1358.正整集:{ };负数集:{ };正分数集:{ };负分数集:{ };整数集:{ };自然数集:{ }.探索【3】 如果规定向南走10米记为+10米,那么-50米表示什么意义?轻松练习1、下列关于0的叙述中,不正确的是( )A.0是自然数B.0既不是正数,也不是负数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧与有理数的关有---画法---单位长度正方向原点定义---数轴C.0是偶数 D.0既不是非正数,也不是非负数2、某班数学平均分为88分,88分以上如90分记作+2分,某同学的数学成绩为85分,则应记作( )A.+85分B.+3分C. -3D.-3分3、在有理数中( )A.有最大的数,也有最小的数B.有最大的数,但没有最小的数C.有最小的数,但没有最大的数D.既没有最大的数,也没有最小的数4、下列各数是正有理数的是( )A. -3.14B.32C.0D. - 165、正整数、_______、________统称正数,_______和______统称分数,_______和_______统称有理数.6、把下列各数填入相应的集合内.整数集合:{ } 分数集合:{ }负数集合:{ } 有理数集合:{ }7、(1)某人向东走5m ,又回头向西走5米,此人实际距离原地多少米?若回头向西走了10米呢?(以向东为正)(2)世界第一高峰珠穆朗玛峰海拔8848m ,江苏的茅山主峰比它低8438m ,茅山主峰的海拔高度是多少米?第二讲 数轴概念图:1、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.3、所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、相反数:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数. 探索【1】把数-3,-1,1.2,-21,3.5,212在数轴上表示出来,再用“<”号把它们连接起来.探索【2】分别写出下列各数的相反数.m n 10213 -0.25 0 +30探索【3】某人从A 地出发向东走10m ,然后折回向西走3m ,又折回向东走6m ,问此人 A 地哪个方向,距离多少?轻松练习:1、如图所示,数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ,那么以下结论正确的是( )A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<02、下列各对数中,互为相反数的是( )A.+(—8)和(—8)B.—(—8)和+8C.—(—8)和+(+8)D.+8和+(—8)3、一个数的相反数是非负数,这个数一定是( )A.非正数B.非负数C.正数D.负数4、914-的相反数是_________,—16与____互为相反数,—(+3)表示______的相反数.5、化简—[—(+3.6)]=________.6、数轴上到原点的距离为5个单位长度的点有_______个,它们表示的数是______,它们的关系是_______.7、(1)写出所有比3小的正整数____________________________.(2)写出两个比—3大的负整数____________________________.8、如图所示,在数轴上有A 、B 、C 三点,请回答:(1) 将点A 向右移动2个单位长度后,点A 表示的有理数是____________.(2) 将点B 向左移动3个单位长度后,点B 表示的有理数是_____________.(3) 将点C 向左移动5个单位长度后,点C 表示的有理数是_____________.9、化简下列各数中的符号.(1))313(-- (2))8(+- (3))75.0(-- (4))31(-+ (5))]2([+-- 10、若2x+1是-9的相反数,求x 的值.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⎩⎨⎧有理数大小比较非负性性质代数意义几何意义意义绝对值10-1an0m 第三讲 绝对值概念图:1、在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|.2、一个正数的绝对值是它本身,零的绝对值是零,一个负数的绝对值是它的相反数,可表示为探索【一】求下列各数的绝对值. 211- -0.3 0 )213(--探索【二】比较下列有理数大小. (1)—3和0 (2)—3和|—5| (3)-(-)31和|21-| 探索【三】比较-(-a )与—|a|的大小.探索【四】若数a 在数轴上对应的点如下图所示,则化简|a+1|的结果是( )A.a+1B. -C.a -1D. -a -探索【五】已知|a -1|+|b+2|=0,求a 和b 的值.练习: 1、在数轴上,一个数所对应的点与__________的距离叫做该数的绝对值.2、21-的绝对值是_______,绝对值为3的数是_______,绝对值等于本身的数是________.3、绝对值不大于3的整数有________个,它们分别是__________________________.4、52的相反数是______.5、-|-2|的倒数是( )A.2B.21C.21-D. -26、如图所示,点A 、B 在数轴上对应的实数分别为m 、n ,则A 、Bab c 0是________.(用含m 、n 的式子表示)7、与纽约的时差为-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚).如果现在北京时间是15:00,那么纽约时间是_________.8、若|x -2|+|y+3|=0,则x=_____,y=_____.当x=_____时,1+|x+1|的最小值是________.9、用“<”连接下列各数.-2.5 1 |-3| —1 0 -(-2)10、 比较6543--和的大小. 11、如果x 与2互为相反数,那么|x —1|等于( )A.1B. -1C.3D. -3第四讲 有理数的加法概念图1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3、一个数同0相加,仍得这个数.4、有理数加法的运算律:(1) 加法的交换律:a+b=b+a(2) 加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c )探索【1】计算:探索【二】计算:探索【三】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的有( )① b+c>0 ②a+b>a+c ③a+c<0 ④a+b>0A.1个B.2个C.3个D.4个探索【四】一口水井,水面比井口低3m ,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5m 后又往下滑了0.1m ;第二次往上爬了0.42m ,却又下滑了0.15m ;第三次往上爬了0.7m ,又下滑了0.15m ;第四次往上爬了0.75m ,又下滑了0.1m ;第五次往上爬了0.55m ,没有下滑;第六次蜗牛又往上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧律合结律换交运算律一个数与零相加异号两数相加同号两数相加则法法加的数理有爬了0.48m ,问蜗牛有没有爬出井口?练习:1、下列各式中,运算正确的有( )(1)918)9)(4(;500)50)(3(;6121)31)(2(;0)2()2(=+--=+-=+-+-+-A.1个B.2个C.3个D.4个2、某天股票A 开盘价20元,上午11:30跌1.2元,下午收盘时又涨了0.5元,则股票A 这天收盘价为( )A .18.3元 B.20元 C.0.5元 D.19.3元3、一个数是10,另一个数比10的相反数小2,则这两个数的和为( )A.18B.—2C.—18D.24、计算:._______1.6)2.5(______,)13()12(13)11(=+-=-++++-5、若|a|=3,|b|=2,则a+b=________.6、若a>0,b>0,则a+b_____0;若a<0,b<0,则a+b_____0;若a>0,b<0,|a|>|b|,则a+b____0;若a>0,b<0,|a|<|b|,则a+b_____0;若a ,b 互为相反数,则a+b____0.7、若|a -3|与|b+2|互为相反数,求a+b+5的值.8、小敏靠勤工俭学维持上大学的费用,下表是小敏一周的收(1)(2) 照这样一个月(按30天计算)小敏有多少节余?9、用适当的方法计算下列各题:第五讲 有理数的减法概念图探索【一】计算:探索【二】计算:探索【三】设数轴上的点A 、B 、C分别表示数-3、21、4,利用数轴求A 与B ,B 与C ,A 与C 之间的距离,你能从中发现什么规律吗?探索【四】(1)某冷库温度是零下100C ,下降-30C 后又下降50C ,两次变化后冷库温度是多少?(2)零下120C 比零上120C 低多少?(3)数轴上A 、B 两点表示的有理数分别是437216和-,求A 、B两点的距离.练习:1、计算87--的值为( )A. -15B.-1C.15D.12、下列说法正确的是( )A.两个有理数的差一定不大于被减少B.两个有理数的差一定小于这两个数的和C.绝对值相等的两个数的差等于零D.零减去一个数等于这个数的相反数3、请看下面的算式:1)1(0;0|3|)3(;0)3()3(;0)2(2=--=---=+--=--其中正确的算式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4、在(—5)—( )= -7中的括号里应填( )A. -2B.+2C. -12 D+125、填空.(1)( )+(-8)=-12 (2)(+8)+( )= -12(3)( )+(-7.1)=8 (4)(-2)-( )= -7(5)(-10)-( )= -8 (5)(+2)-( )=156、计算.(1)(3.1+4.2)-(4.2-1.9) (2)(-2.4)-0.6-1.8(3)16983)41(+-- (4)731)72()71(---- (5)21614131-++- (6))321()313()1(--+-- 7、某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米,此潜艇上升了多少米?8、如图所示:311-(1)A 、B (2)B 、C 9、若a+b>a —b ,则a 、b 满足___________;若a+b=a -b ,则a 、b 满足____________;若a+b<a -b ,则a ,b 满足______________.10、若|2x -4|+3|6+2y|=0,求下列各式的值.(1)|x -y|;(2)|x|-|y|11、某市冬季的一天,最高气温为60C ,最低气温为-110C ,这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市,第二天气温将下降10~120C.请你利用以上信息,估计第二天该市的最高气温不会高于多少摄氏度,最低气温不会低于多少摄氏度,以及最高气温与最低气温的差为多少摄氏度.第六讲 有理数的加减(1)探索【1】计算:(1))32()31(-+- (2))7.10()8.10(++- (3)0)6(+- (4))7452(7452-+ 探索【2】计算:(1))3(6-- (2))2(0-- (3))5()7(---(4)0)2(--探索【3】计算:(1)563)8.12()52()8.59(+-+--+ (2))313(4183)832()2(++---+- 练习:1、计算:2、计算:3、计算:4、计算:第七讲 有理数的加减(2)探索【1】计算:探索【2】在数109,108,107,106,105,104,103,102的前面分别添加“+”或“-”,使它们的和为1. 你能想出多少种方法?探索【3】一个水井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却又下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却又下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次又往上爬了0.48米. 问蜗牛有没有爬出井口? 练习:1、计算:2、计算:3、潜水艇原来在水下200米处.若它下潜50米,接着又上浮130米,问这时潜水艇在水下多少米处?4、数轴上点A 表示5-,将A 点向左移动3个单位后又向右移动8个单位,求此时A 点表示的数是多少?5、判断题:(1)若两个数的和为负数,则这两个数都是负数. ( )(2)若两个数的差为正数,则这两个数都是正数. ( )(3)减去一个数,等于加上这个数的相反数. ( )(4)零减去一个有理数,差必为负数. ( )(5)如果两个数互为相反数,则它们的差为0. ( )6、出租车司机小王,某天下午的营运全在东西走向的人民路上.如果规定向东为正,向西为负,这天下午他行车里程(单位:千米)如下:(1) 将最后一名乘客送到目的地时,小王距下午出车时的出发点多远?在什么方向?(2) 若汽油耗油量为0.1升/千米,这天下午小王共耗油多少升?7、请在数1,2,3,…,2006,2007前适当加上“+”或“-”号,使它们的和的绝对值最小.8、某天早晨的温度为5℃,到中午上升了7℃,晚上又下降了6℃,求晚上的温度.9、要测量A 、B 两地的高度差,但又不能直接测量,找了D 、E 、F 、G 、H 共五个中间点,测量出一些高度差,结果如下表第八讲 绝对值的进一步介绍(一)探索【1】绝对值为10的整数有哪些?绝对值小于10的整数有哪些?绝对值小于10的整数共有多少个?它们的和为多少?探索【2】若0a 2≤≤-,化简|2a ||2a |-++.探索【3】若,0x <化简|x ||3x ||x 2|x ||---.探索【4】设a<0,且||x a a ≤,试化简|2x ||1x |--+.练习:1、判断下列各题是否正确.(1)当b<0时,b |b |-=. ( )(2)若a 是有理数,则|a|一定是正数. ( )(3)当|m|=m 时,m>0. ( )(4)若.|b ||a |b a =-=,则 ( )(5)若a<b ,则|a|<|b|. ( )(6)a+|a|一定是正数. ( )2、若.|a |a 3|||a 3|a 20a --<,试化简 3、若.|1x ||1x |1x 1--+<<-,试化简4、绝对值小于100的整数有哪些?共多少个?它们的和是多少?5、已知.b a 311|b |325|a |的值,求,-==6、设a 和b 是有理数,若a>b ,那么|a|>|b|一定正确吗?如果正确,请你说出理由;如果不正确,请举出反例.第九讲 绝对值的进一步介绍(二)探索【1】数a 、b 在数轴上对应的点如下图所示,试化简||a |a ||b ||a b ||b a |--+-++.探索【2】化简||x 5|x 2|x3|x |2--.探索【3】化简|3x 2||5x |-++..探索【4】若2002y x |2y ||1x |)互为相反数,试求(与++-.探索【5】.ab b a |b a |b a 的值,试求为有理数,且、-=+练习:1、化简.|51x ||51x |++-2、已知;有理数a 、b 、c 的位置如下图所示,化简.|b a ||c b ||c a |+-+++3、若.b a |b ||a ||b a |应满足的关系,,试求+=-4、|b a ||b a |0|b a ||b a |2005200520052005-++=-++,化简已知. 5、.|1x 5||5x 3||3x 2|+--+-化简6、设a 是有理数,求a+|a|的值.第十讲 一元一次方程探索【1】 解下列方程:(1)m m -=-534 (2)x x 11856=-(3))72(65)8(5-=-+x x (4))13(72)21(31+=-x x探索【2】 解方程121312=--+x x探索【3】小张在解方程1523=-x a (x 为未知数)时,误将x 2-看做+2x ,得方程的解为x =3,请求出常数a 的值和原方程的解.探索【4】解关于x 的方程1242+=-mx x m练习:1、如果式子32+x 与5-x 互为相反数,则x =_______.2、当k=_____时,方程835+=-x k x 的解是2-.3、若代数式61221++-x x 与131+-x 的值相等,则x =______.4、如果03245=--a x是关于x 的一元一次方程,那么a =_____,此时方程的解为_____.5、解下列方程6、解关于x 的方程.7、若,0)43(|32|2=+-++y x x 求2)1(-y 的值.8、解方程11312-+=-a x x ,小明在去分母时,方程的右边1-没有乘以3,因而他求得方程的解为x =6.求a 的值,并正确地解方程.巩固与加强: 一元一次方程的应用1、利民商店把某种服装按成本价提高50%后标价,又以7折卖出,结果每件仍获利20元,这种服装每件的成本是多少元?2、A 、B 两地相距20千米,甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,已知甲的速度为 4.5千米/时,乙的速度为5.5千米/时,求甲、乙两人几小时后相遇?3、某中学开展校外植树活动,让七年级学生单独植树,需要7.5小时完成;让八年级学生单独种植,需要5小时完成,现在让七年级和八年级学生先一起种植1小时,再由八年级学生单独完成剩余部分,共需多少小时完成?4、丽水市为打造“浙江绿谷”品牌,决定在省城举办农副产品展销活动,某外贸公司推出品牌“山山牌”香菇、“奇尔”牌慧明茶共10吨前往参展,用6辆骑车装运,每辆汽车规定满载,且只能装运一种产品;因包装限制,每辆汽车满载时能装香菇1.5吨或茶叶2吨,问装运香菇、茶叶的汽车各需要多少辆?5、晓晓商店以每支4元的价格进100支钢笔,卖出时每支的标价是6元,当卖出一部分钢笔后,剩余的打9折出售,卖完时商店盈利188元,其中打9折的钢笔有几支?6、某班学生到一景点春游,队伍从学校出发,以每小时4千米的速度前进。
大学高数公式大全之令狐文艳创作
高等数学公式令狐文艳导数公式: 基本积分表:ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分:一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式: ·诱导公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式: ·半角公式: ·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式: 中值定理与导数应用: 曲率:定积分的近似计算: 定积分应用相关公式: 空间解析几何和向量代数: 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用:),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程::、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度:多元函数的极值及其求法:重积分及其应用: 柱面坐标和球面坐标: 曲线积分: 曲面积分: 高斯公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∑∑∑∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂dsA dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n ndiv )cos cos cos (...,0div ,div )cos cos cos ()(成:因此,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:—通量与散度:—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: 常数项级数: 级数审敛法:绝对收敛与条件收敛: 幂级数:函数展开成幂级数: 一些函数展开成幂级数: 欧拉公式: 三角级数: 傅立叶级数:周期为l 2的周期函数的傅立叶级数: 微分方程的相关概念:一阶线性微分方程:全微分方程:二阶微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:0二阶常系数非齐次线性微分方程。
2021年高三数学数学归纳法1之令狐文艳创作
※第十三章极限令狐文艳●体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求:(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则,会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:(1)先证明当n =n 0(n 0是使命题成立的最小自然数)时命题成立;(2)假设当n =k (k ∈N *, k ≥n 0)时命题成立,再证明当n =k +1时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用:①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面几何中的问题;④探求数列的通项;⑤不等式的证明.特别提示(1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可;(2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标. ●点击双基 1.设f (n )=11+n +21+n +31+n +…+n21(n ∈N *),那么f(n +1)-f (n )等于A.121+nB.221+nC.121+n +221+n D.121+n -221+n解析:f (n +1)-f (n )=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n -(11+n +21+n +…+n 21)=121+n +221+n -11+n =121+n -221+n . 答案:D2.(2004年太原模拟题)若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为解析:2002=4×500+2,而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案:D3.凸n 边形有f (n )条对角线,则凸n +1边形有对角线条数f (n +1)为A.f (n )+n +1B.f (n )+nC.f (n )+n -1D.f (n )+n -2解析:由n 边形到n +1边形,增加的对角线是增加的一个顶点与原n -2个顶点连成的n -2条对角线,及原先的一条边成了对角线.答案:C4.用数学归纳法证明“(n +1)(n +2)·…·(n +n )=2n·1·3·…·(2n -1)”,从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A.2k +1B.2(2k +1)C.112++k k D.132++k k解析:当n =1时,显然成立.当n =k 时,左边=(k +1)(k +2)·…·(k +k ),当n =k +1时,左边=(k +1+1)(k +1+2)·…·(k +1+k )(k +1+k +1)=(k +2)(k +3)·…·(k +k )(k +1+k )(k +1+k +1) =(k +1)(k +2)·…·(k+k )1)22)(12(+++k k k =(k +1)(k +2)·…·(k +k )2(2k +1).答案:B5.(2004年春季上海,8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有_________个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+1●典例剖析【例1】比较2n与n2的大小(n∈N *).剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用,故考虑用归纳法推测大小关系,再用数学归纳法证明.解:当n=1时,21>12,当n=2时,22=22,当n=3时,23<32,当n=4时,24=42,当n=5时,25>52,猜想:当n≥5时,2n>n2.下面用数学归纳法证明:(1)当n=5时,25>52成立.(2)假设n=k(k∈N *,k≥5)时2k>k2,那么2k+1=2·2k=2k+2k>k2+(1+1)k>k2+C0k +C1k+C1 kk=k2+2k+1=(k+1) 2.∴当n=k+1时,2n>n2.由(1)(2)可知,对n≥5的一切自然数2n>n2都成立.综上,得当n=1或n≥5时,2n>n2;当n=2,4时,2n =n 2;当n =3时,2n <n 2.评述:用数学归纳法证不等式时,要恰当地凑出目标和凑出归纳假设,凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时,要证2n >n 2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+C2-n n+C1-n n+Cn n>1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2-n >n 2.【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·(n 2-12)+2(n 2-22)+…+n (n 2-n 2)=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析:先取n =1,2,3探求a 、b 、c 的值,然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *,a 、b 、c 所确定的等式都成立.解:分别用n =1,2,3代入解方程组 下面用数学归纳法证明.(1)当n =1时,由上可知等式成立; (2)假设当n =k +1时,等式成立,则当n =k +1时,左边=1·[(k +1)2-12]+2[(k +1)2-22]+…+k [(k +1)2-k 2]+(k +1)[(k +1)2-(k +1)2]=1·(k 2-12)+2(k 2-22)+…+k (k 2-k 2)+1·(2k +1)+2(2k +1)+…+k (2k +1)=41k 4+(-41)k 2+(2k +1)+2(2k +1)+…+k (2k +1)=41(k +1)4-41(k +1)2.∴当n =k +1时,等式成立.由(1)(2)得等式对一切的n ∈N *均成立.评述:本题是探索性命题,它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力.【例3】(2003年全国)设a 0为常数,且a n =3n -1-2a n -1(n ∈N *).证明:n ≥1时,a n =51[3n+(-1)n -1·2n]+(-1)n ·2n·a 0.剖析:给出了递推公式,证通项公式,可用数学归纳法证. 证明:(1)当n =1时,51[3+2]-2a 0=1-2a 0,而a 1=3-2a 0=1-2a 0.∴当n =1时,通项公式正确.(2)假设n =k (k ∈N *)时正确,即a k =51[3k+(-1)k -1·2k ]+(-1)k ·2k·a 0,那么a k +1=3k-2a k =3k-52×3k+52(-1)k·2k+(-1)k +1·2k +1a 0=53·3k+51(-1)k·2k +1+(-1)k +1·2k +1·a 0=51[3k +1+(-1)k ·2k +1]+(-1)k +1·2k +1·a 0.∴当n =k +1时,通项公式正确.由(1)(2)可知,对n ∈N *,a n =51[3n+(-1)n -1·2n ]+(-1)n ·2n·a 0.评述:由n =k 正确 n =k +1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解:∵a 0为常数,∴a 1=3-2a 0. 由a n =3n -1-2a n -1,得n n a 33=-1132--n n a +1, 即nna 3=-32·113--n n a +31. ∴n na 3-51=-32(113--n na -51).∴{nn a 3-51}是公比为-32,首项为513230--a 的等比数列. ∴n na 3-51=(54-32a 0)·(-32)n -1.∴a n =(54-32a 0)·(-2)n -1×3+51×3n=51[3n +(-1)n -1·2n ]+(-1)n ·2n·a 0. 注:本题关键是转化成a n +1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础1.如果命题P (n )对n =k 成立,则它对n =k +1也成立,现已知P (n )对n =4不成立,则下列结论正确的是A.P (n )对n ∈N*成立B.P (n )对n >4且n ∈N*成立C.P (n )对n <4且n ∈N*成立D.P (n )对n ≤4且n ∈N*不成立解析:由题意可知,P (n )对n =3不成立(否则n =4也成立).同理可推得P (n )对n =2,n =1也不成立.答案:D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n (n ∈N *,n >1)”时,由n =k (k >1)不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是A.2k -1B.2k-1 C.2kD.2k+1解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为121-n ;由n =k ,末项为121-k 到n =k +1,末项为1211-+k =kk 2121+-,∴应增加的项数为2k.答案:C3.观察下表: 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ,则∞→n lim2n S n =__________.解析:第一行1=12, 第二行2+3+4=9=33, 第三行3+4+5+6+7=25=52, 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳:第n 项的各数之和S n =(2n -1)2,∞→n lim2n S n =∞→n lim (nn 12-)2=4.答案:44.如图,第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来(n =1,2,3,…),则第n -2个图形中共有____________个顶点.解析:观察规律:第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2); 第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4; 第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5; …第n -2个图形有(n +2-2)2+(n +2-2)=n 2+n 个顶点. 答案:n 2+n5.已知y =f (x )满足f (n -1)=f (n )-lg an -1(n ≥2,n ∈N )且f (1)=-lg a ,是否存在实数α、β使f (n )=(αn 2+βn -1)lg a 对任何n ∈N *都成立,证明你的结论.解:∵f (n )=f (n -1)+lg a n -1,令n =2,则f (2)=f(1)+f (a )=-lg a +lg a =0.又f (1)=-lg a , ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα ∴f (n )=(21n 2-21n -1)lg a .证明:(1)当n =1时,显然成立.(2)假设n =k 时成立,即f (k )=(21k 2-21k -1)lg a ,则n =k +1时,f (k +1)=f (k )+lg a k=f (k )+k lg a =(21k2-21k -1+k )lg a =[21(k +1)2-21(k +1)-1]lg a .∴当n =k +1时,等式成立.综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=21,β=-21,使f (n )=(αn 2+βn -1)lg a 对任意n ∈N *都成立.培养能力6.已知数列{bn }是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.(1)求数列{bn }的通项公式bn ; (2)设数列{a n }的通项a n =lg (1+nb 1),记S n 为{a n }的前n 项和,试比较S n 与21lg bn +1的大小,并证明你的结论. 解:(1)容易得bn =2n -1. (2)由bn =2n -1,知S n =lg (1+1)+1g (1+31)+…+lg (1+121-n )=lg (1+1)(1+31)·…·(1+121-n ). 又211g b n +1=1g12+n ,因此要比较S n 与211g b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+31)·…·(1+121-n )与12+n 的大小.取n =1,2,3可以发现:前者大于后者,由此推测 (1+1)(1+31)·…·(1+121-n )>12+n .① 下面用数学归纳法证明上面猜想:当n =1时,不等式①成立. 假设n =k 时,不等式①成立,即 (1+1)(1+31)·…·(1+121-k )>12+k . 那么n =k +1时,(1+1)(1+31)·…·(1+121-k )(1+121+k )>12+k (1+121+k ) =1212)1(2+++k k k .又[1212)1(2+++k k k ]2-(32+k )2=121+k >0,∴1212)1(2+++k k k >32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述,n ∈N*时①成立. 由函数单调性可判定S n >211g b n +1.7.平面内有n 条直线,其中无任何两条平行,也无任何三条共点,求证:这n 条直线把平面分割成21(n 2+n +2)块.证明:(1)当n =1时,1条直线把平面分成2块,又21(12+1+2)=2,命题成立.(2)假设n =k 时,k ≥1命题成立,即k 条满足题设的直线把平面分成21(k 2+k +2)块,那么当n =k +1时,第k +1条直线被k 条直线分成k +1段,每段把它们所在的平面块又分成了2块,因此,增加了k +1个平面块.所以k +1条直线把平面分成了21(k 2+k +2)+k +1=21[(k +1) 2+(k +1)+2]块,这说明当n =k +1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切n ∈N *,命题都成立.探究创新8.(2004年重庆,22)设数列{a n }满足a 1=2,a n +1=a n +na 1(n =1,2,…).(1)证明a n >12+n 对一切正整数n 都成立;(2)令b n =na n (n =1,2,…),判定b n 与b n +1的大小,并说明理由.(1)证法一:当n =1时,a 1=2>112+⨯,不等式成立.假设n =k 时,a k >12+k 成立,当n =k +1时,a k +12=a k 2+21ka +2>2k +3+21ka >2(k +1)+1,∴当n =k +1时,a k +1>1)1(2++k 成立.综上,由数学归纳法可知,a n >12+n 对一切正整数成立.证法二:当n =1时,a 1=2>3=112+⨯结论成立.假设n =k 时结论成立,即a k >12+k ,当n =k +1时,由函数f (x )=x +x1(x >1)的单调递增性和归纳假设有a k +1=a k +ka 1>12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k >12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n =k +1时,结论成立. 因此,a n >12+n 对一切正整数n 均成立.(2)解:nn b b 1+=na n a n n 11++=(1+21na )1+n n <(1+121+n )1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n <1.故b n +1<b n . ●思悟小结1.用数学归纳法证明问题应注意:(1)第一步验证n =n 0时,n 0并不一定是1.(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清由k 到k +1时命题的变化.(3)由假设n =k 时命题成立,证n =k +1时命题也成立,要充分利用归纳假设,要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心 教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想,因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现,且较隐蔽,因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关,都可考虑数学归纳法,当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解:由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值为36.【例2】如下图,设P1,P2,P3,…,P n,…是曲线y=x 上的点列,Q1,Q2,Q3,…,Q n,…是x轴正半轴上的点列,且△OQ1P1,△Q1Q2P2,…,△Q n-1Q n P n,…都是正三角形,设它们1n(n+1).的边长为a1,a2,…,a n,…,求证:a1+a2+…+a n=3证明:(1)当n=1时,点P1是直线y=3x与曲线y=x的交点,∴可求出P 1(31,33).∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32,命题成立.(2)假设n =k (k ∈N *)时命题成立,即a 1+a 2+…+a k =31k(k +1),则点Q k 的坐标为(31k (k +1),0),∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x -31k (k +1)].代入y =x,解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33(k +1)·32=32(k +1).∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k (k +1)+32(k +1)=31(k +1)(k +2).∴当n =k +1时,命题成立.由(1)(2)可知,命题对所有正整数都成立.评述:本题的关键是求出P k +1的纵坐标,再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。
c51程序设计之令狐文艳创作
1Franklin C-511.1令狐文艳1.2Franklin C-51数据类型Franklin C-51编译器支持下列数据类型:编译的数据类型(如结构)包含上表所列的数据类型。
由于8051系列是8位机,因而不存在字节校准问题。
这意味着数据结构成员是顺序放置的。
数据类型的转换:当计算结果隐含着另外一种数据类型时,数据类型可以自动进行转换,例如,将一个位变量赋给一个整型变量时,位型值自动转换为整型值,有符号变量的符号也能自动进行处理。
这些转换也可以用C语言的标准指令进行人工转换。
1.2数据类型的物理结构1.2.1bit“bit”类型只有1位,不允许有位指针和位数组。
位对象始终位于8051 CPU的可寻址RAM空间。
如果程序控制流允许,L51将位对象交迭。
1.2.2signed/unsigned char;data/idata/pdata 指针“char”类型标量和基于存贮器的“data/idata/pdata”指针具有1个字节长度(8 bits)。
1.2.3signed/unsigned int/short;xdata/code 指针“int”和“short”类型标量及指向xdata/code区域的指针具有2字节长度(16bits)。
整型值(或偏移)0x1234以下面方式保存在内存中:地址:+0 +1内容: 0x120x341.2.4signed/unsigned long“long”类型标量长为4个字节(32 bits),值0x12345678以下面方式放置:地址:+0+1+2+3内容: 0x12 0x34 0x56 0x781.2.5“一般”指针“一般”指针包括3个字节:2字节偏移和1字节存贮器类型:地址:+0 +1 +2内容:存贮器类型偏移高位偏移低位第一个字节代表了指针的存贮器类型,存贮器类型编码如下:存贮器类型 IDATA XDATA PDATADATACODE 值 12 345使用其它类型值可能导致不可预测的程序动作。
2021年高考数学压轴题解题技巧和方法之令狐文艳创作
圆锥曲线的解题技巧令狐文艳一、常规七大题型:(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020=+k by a x 。
(2))0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。
(1)求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ;(2)求|||PF PF 1323+的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
上海沪版初中数学目录之令狐文艳创作
令狐文艳创作令狐文艳创作六年级第一学期 第一章令狐文艳第二章 数的整除 第1节 整数和整除1.1 整数和整除的意义1.2 因数和倍数1.3 能被2,5整除的数第2节 分解素因数1.4 素数、合数与分解素因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第三章 分数 第1节 分数的意义与性质2.1 分数与除法2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较 第2节 分数的运算2.4 分数的加减法 2.5 分数的乘法 2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化拓展 无限循环小数与分数的互化2.8 分数、小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第四章 比和比例 第1节 比和比例 3.1 比得意义3.2 比得基本性质3.3 比例 第2节 百分比3.4 百分比的意义 3.5 百分比的应用 3.6 等可能事件 第五章 圆和扇形 第1节 圆的周长和弧长4.1 圆的周长 4.2 弧长 第2节 圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积 六年级第二学期 第六章 有理数 第1节 有理数5.1 有理数的意义 5.2 数轴5.3 绝对值 第2节 有理数的运算 5.4 有理数的加法 5.5 有理数的减法 5.6 有理数的乘法 5.7 有理数的除法 5.8 有理数的乘方 5.9 有理数的混合运算5.10 科学计数法 第七章 一次方程和一次不等式(组)第1节 方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解 第2节 一元一次方程 6.3 一元一次方程及其解法6.4 一元一次方程的应用 第3节 一元一次不等式(组)6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组 第4节 一次方程组6.8 二元一次方程 6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第八章 线段与角的画法第1节 线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小比较7.2 画线段的和、差、倍 第2节 角7.3 角的概念与表示7.4 角的大小的比较 画相等的角7.5 画角的和、差、倍7.6 余角、补角第九章 长方体的再认识第1节 长方体的元素 第2节 长方体直观图的画法第3节 长方体中棱与棱位置关系的认识第4节 长方体中棱与平面位置关系的认识第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识七年级第一学期 第九章 整式第1节 整式的概念 9.1 字母表示数 9.2 代数式9.3 代数式的值 9.4 整式第2节 整式的加减 9.5 合并同类项 9.6 整式的加减 第3节 整式的乘法 9.7 同底数幂的乘法9.8 幂的乘方 9.9 积的乘方9.10 整式的乘法 第4节 乘法公式9.11 平方差公式 9.12 完全平方公式第5节 因式分解9.13 提取公因式法9.14 公式法9.15 十字相乘法 9.16 分组分解法 第6节 整式的除法 9.17 同底数幂的除法9.18 单项式除以单项式9.19 多项式除以单项式第十章 分式 第1节 分式10.1 分式的意义 10.2 分式的基本性质第2节 分式的运算 10.3 分式的乘除 10.4 分式的加减10.5 可以化成一元一次方程的分式方程10.6 整数指数幂及其运算第十一章 图形的运动 第1节 图形的平移 11.1 平移 第2节 图形的旋转 11.2 旋转11.3 旋转对称令狐文艳创作令狐文艳创作图形与中心对称图形11.4 中心对称 第3节 图形的翻折11.5 翻折与轴对称图形11.6 轴对称 七年级第二学期 第十二章 实数 第1节 实数的概念12.1 实数的概念 第2节 数的开方12.2 平方根和开平方12.3 立方根和开立方12.4 n 次方根 第3节 实数的运算12.5 用数轴上的点表示实数12.6 实数的运算 第4节 分数指数幂12.7 分数指数幂第十三章 相交线 平行线 第1节 相交线13.1 邻补角、对顶角13.2 垂线13.3 同位角、内错角、同旁内角 第2节 平行线13.4 平行线的判定13.5 平行线的性质第十四章 三角形 第1节 三角形的有关概念与性质14.1 三角形的有关概念 14,2 三角形的内角和 第2节 全等三角形14.3 全等三角形的概念与性质14.4 全等三角形的判定 第3节 等腰三角形14.5 等腰三角形的性质14.6 等腰三角形的判定14.7 等边三角形第十五章 平面直角坐标系 第1节 平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系 第2节 直角坐标平面内点的运动15.2 直角坐标平面内点的运动 八年级第一学期第十六章 二次根式 第1节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式 16.2 最贱二次根式和同类二次根式第2节 二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章 一元二次方程 第1节 一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念 第2节 一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程跟的判别式 第3节 一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章 正比例函数和反比例函数 第1节 正比例函数18.1 函数的概念18.2 正比例函数 第2节 反比例函数18.3 反比例函数 第3节 函数表示法18.4 函数的表示法第十九章 几何证明 第1节 几何证明19.1 命题和证明19.2 证明举例 第2节 线段的垂直平分线与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5 角的平分线19.6 轨迹 第3节 直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理 19.10 两点的距离公式八年级第二学期第二十章 一次函数第1节一次函数的概念20.1 一次函数的概念 第2节 一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质 第3节 一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二十一章 代数方程 第1节 整式方程21.1 一元整式方程21.2 二项方程 第2节 分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程第3节 无理方程21.4 无理方程 第4节 二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法 第5节 列方程(组)解应用题21.7 列方程(组)解应用题第二十二章 四边形 第1节 多边形22.1 多边形 第2节 平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形 第3节 梯形22.4 梯形令狐文艳创作令狐文艳创作22.5 等腰梯形 22.6 三角形、梯形的中位线 第4节 平面向量及其加减运算22.7 平面向量 22.8 平面向量的加法22.9 平面向量的减法第二十三章 概率初步第1节 事件及其发生的可能性23.1 确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性 第2节 事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例九年级第一学期第二十四章 相似三角形 第1节 相似形24.1 放缩与相似形 第2节 比例线段24.2 比例线段 24.3 三角形一边的平行线 第3节 相似三角形24.4 相似三角形的判定24.5 相似三角形的性质 第4节 平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘24.7 向量的线性运算第二十五章 锐角的三角比第1节锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义25.2 求锐角的三角形比的值 第2节 解直角三角形 25.3 解直角三角形25.4 解直角三角形的应用第二十六章 二次函数 第1节 二次函数的概念26.1 二次函数的概念 第2节 二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像 26.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的九年级第二学期第二十六章 圆与多边形 第1节 圆的基本性质26.1圆的确定26.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系26.3 垂径定理 第2节 直线与圆、圆与圆的位置关系26.4直线与圆的位置关系26.5 圆与圆的位置关系 第3节 正多边形与圆26.6正多边形与圆第二十七章 统计初步 第1节 统计的意义27.1 数据整理与表示27.2 统计的意义第2节 基本的统计量27.3 表示一组数据平均水平的量 27.4 表示一组数据波动程度的量 27.5 表示一组数据分布的量27.6 统计实习九年级 拓展Ⅱ第一章 一元二次方程与二次函数 第1节 一元二次方程的根与系数关系1.1 一元二次方程的根与系数关系 第2节 二次函数的解析式1.2 二次函数与一元二次方程1.3 二次函数解析式的确定第二章 直线和圆 第1节 圆的切线 2.1圆的切线第2节 与圆有关的角及比例线段2.2 与圆有关的角2.3 与圆有关的比例线段 第3节 园内接四边形2.4园内接四边形。
含绝对值函数的最值问题之令狐文艳创作
专题三: 含绝对值函数的最值问题1.令狐文艳2. 已知函数2()2||f x x x a =--(0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围. 不等式()()12f x f x -≥化为()2212124x x a x x a----≥--即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论:[来源:学科网ZXXK]①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减2.已知函数f (x )=|x -a |,g (x )=x 2+2ax +1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )+g (x )的最值.【解析】(1)由题意f (0)=g (0),∴|a |=1.又∵a >0,∴a =1. (2)由题意f (x )+g (x )=|x -1|+x 2+2x +1.当x ≥1时,f (x )+g (x )=x 2+3x 在[1,+∞)上单调递增,2min ()4120[0,]()(0)120102g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤在上单调递增只需当x <1时,f (x )+g (x )=x 2+x +2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-12,1上单调递增,在(-∞,12-]上单调递减.因此,函数f (x )+g (x )在(-∞,12-]上单调递减,在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-12,+∞上单调递增. 所以,当x =12-时,函数f (x )+g (x )的最小值为74;函数无最大值. 5.已知函数2()2f x x x x a=+-,其中a R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立,求a 的取值范围. 6.设函数ba x x x f +-=||)(,,a b R∈[来源:学科网](1)若11,4a b ==-,求函数()f x 的零点;(2)若函数)(x f 在]1,0[上存在零点,求实数b 的取值范围. 解:(Ⅰ)分类讨论解得:112,22x x +==...................................................4分(Ⅱ)函数)(x f 在]1,0[上存在零点,即||x x a b -=-,[0,1]x ∈上有解, 令()||g x x x a =-,只需{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈ (5)分当0a ≤时,2()()g x x x a x ax =-=-,在]1,0[递增, 所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤...............................................................................7分当1a ≥时,2()()g x x a x xax =-=-+,对称轴2ax =又当2a ≥()g x 在]1,0[递增,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤当12a <<()g x 在[0,]2a 递增,[,1]2a递减,且所以2()[0,]4a g x ∈,即204a b -≤≤...............................................................................................................................................10分当01a <<时,22[0,]()() [,1]x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知,()g x 在[0,]2a 递增,[,]2aa 递减,[,1]a 递减,所以min ()0f x =,2max(){(),(1)}{,1}4a f x f a f a ==-,当01)a <≤,max ()(1)1f x f a==-,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤当1)1a <<,2max()()4a f x f a ==,所以2()[0,]4a g x ∈,即204a b -≤≤.....................................................................................................................................................14分综上所述:当1)a ≤时,10a b -≤≤当1)2a <<,24a b -≤≤当2a ≥,10a b -≤≤........................................................................................15 分7.已知函数()()243f x x a x a=+-+-.(I )若()f x 在区间[]0,1上不单调,求a 的取值范围;(II )若对于任意的(0,4)a ∈,存在[]00,2x ∈,使得()0f x t ≥,求t 的取值范围. 解:401242a a -<-<⇒<< (5)分(II ) 解法:()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ (9)分011x -≤,{}03max 1,3x a a a +-≤--……………13分且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到,故()max 1,24||3,02a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩故()max ||1f x ≥,所以1t ≤ (15)分、8.已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.(Ⅰ)若当x ∈R 时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值. 解:(1)不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立,即2(1)|1|x a x --≥(*)对x ∈R 恒成立,①当1x =时,(*)显然成立,此时a ∈R ;②当1x ≠时,(*)可变形为21|1|x a x -≤-,令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩因为当1x >时,()2x ϕ>,当1x <时,()2x ϕ>-,所以()2x ϕ>-,故此时2a -≤.综合①②,得所求实数a 的取值范围是2a -≤.(2)因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分①当1,22aa >>即时,结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减,在[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,经比较,此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.②当01,22a a 即0≤≤≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,1]--,[,1]2a -上递减, 在[1,]2a--,[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,2()124a a h a -=++,经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③当10,02aa -<<即-2≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,1]--,[,1]2a -上递减,在[1,]2a --,[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,2()124a a h a -=++,经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,]2a -,[1,]2a -上递减,在[,1]2a ,[,2]2a -上递增,且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥,经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当3,322a a <-<-即时,结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减,在[1,2]上递增,故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述,当0a ≥时,()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +; 当30a -<≤时,()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +; 当3a <-时,()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
中考数学压轴题解题技巧之令狐文艳创作
中考数学压轴题解题技巧令狐文艳数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广,综合性最强的题型。
综合近年来各地中考的实际情况,压轴题多以数学综合题的形式出现,常见题型有两类:函数型压轴题和几何形压轴题。
压轴题考查知识点多,条件也相当隐晦,这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识和创新能力,当然,还必须具有强大的心理素质。
下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。
先以2009年河南中考数学压轴题为例:如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D 运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t 为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。
函数型压轴题主要有:几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。
这些压轴题主要以函数为主线,涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。
先从知识角度来分析:(1)通过观察图象可以发现,直线AD和x轴平行,直线AB和y轴平行,因此,A点与D点的纵坐标相同,A点与B的横坐标相同,因此A的坐标为(4,8).知道了点A的坐标,加上已知条件点C的坐标,利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。
此问在本题中占3分,解决此问的关键在于:①多角度、全方位观察图形;②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。
(2)这是个动态的问题,解决动态问题的一个根本方法就是化动为静,动静结合。
先看第一小问,当t为何值时,线段EG最长?我们通过观察图形,很容易能够发现t的变化,会导致点P位置的变化,点P位置的变化会引起点E位置的变化,而E点位置的变化直接决定了线段EF位置和长度的变化,而线段EF位置和长度的变化决定了线段EG位置和长度的变化,我们看到,问题最终就是回归到线段EG的长度之上。
初一(七年级)数学绝对值练习题及答案解析之令狐文艳创作
初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题令狐文艳基础检测:1.-8的绝对值是,记做。
2.绝对值等于5的数有。
3.若︱a︱= a , 则 a 。
4.的绝对值是2004,0的绝对值是。
5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点到的距离。
6.如果 x < y < 0, 那么︱x ︱︱y︱。
7.︱x - 1 ︱ =3 ,则 x =。
8.若︱x+3︱+︱y -4︱= 0,则 x + y = 。
9.有理数a ,b在数轴上的位置如图所示,则a b,︱a︱︱b︱。
10.︱x ︱<л,则整数x = 。
11.已知︱x︱-︱y︱=2,且y =-4,则 x = 。
12.已知︱x︱=2 ,︱y︱=3,则x +y = 。
13.已知︱x +1 ︱与︱y -2︱互为相反数,则︱x ︱+︱y︱= 。
14. 式子︱x +1 ︱的最小值是,这时,x值为。
15. 下列说法错误的是()A 一个正数的绝对值一定是正数B 一个负数的绝对值一定是正数C 任何数的绝对值一定是正数D 任何数的绝对值都不是负数16.下列说法错误的个数是 ( )(1) 绝对值是它本身的数有两个,是0和1(2) 任何有理数的绝对值都不是负数(3) 一个有理数的绝对值必为正数(4) 绝对值等于相反数的数一定是非负数A 3B 2C 1D 017.设a 是最小的正整数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则 a + b + c 等于 ( )A -1B 0C 1D 2拓展提高:18.如果 a , b 互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为2,求式子a ba b c +++ + m -cd 的值。
19.某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从A 地出发,(去向东的方向正方向),到晚上送走最后一位客人为止,他一天行驶的的里程记录如下(单位:㎞)+10 ,— 5, —15 ,+ 30 ,—20 ,—16 ,+ 14(1) 若该车每百公里耗油 3 L ,则这车今天共耗油 多少升?(2)据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A地的什么方向?距A地多远?20.工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数,低于标准重量的克数记作负数,现对5个乒乓球称重情况如下表所示,分析下表,根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标准?初一(七年级)数学上册绝对值同步练习答案基础检测:1.-8的绝对值是 8 ,记做︱-8︱。
小学奥数常用公式之令狐文艳创作
§1等差数列公式:1、令狐文艳2、末项=首项+(项数-1)×公差an=a1+(n-1) ×d3、项数=(末项-首项)÷公差+1n=(an-a1) ÷d+1 4、中项定理:和=中间数×项数 S=中间数×n(仅奇数列可用)注意:连续的奇数(或偶数)肯定是等差数列,公差一定是2.平方差公式:a2-b2=(a+b) ×(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2§2统筹与最优化时间统筹:单列和多列排队排序:快的在前,慢的在后(注意:每列不同位置的等待人数)。
过河问题(画图)快去快回,慢者结伴(5人以下常用,7人以上可尝试)。
地点统筹:1、点无大小奇数点选中间点,偶数点选中间段。
2、点有大小(一段法)轻往重移,小往大移§3整除特征:四大金刚:变形金刚:2×5=10 0.2×5=14×25=100 4×2.5=108×125=1000 8×1.25=1016×625=10000㈠末尾系:1、末1位:2、52、末2位:4、253、末3位:8、125㈡和系:1、数字和(弃9 法):3、92、两位一截求和:33、99(重点)㈢差系:11奇数位数字和-偶数位数字和㈣截位系(三位一截)7、11、13奇段和-偶段和。
㈤试除法(适用于末尾未知)二部曲 1、用最大数试;992、检验。
综合就用:⑴拆数(拆成学过的数)⑵先考虑末尾系,再考虑其它。
§4加乘原理:1、加法原理:分类相加(类类独立)2、乘法原理:分步相乘,步步相关。
常规题型:1、排数字:⑴注意有无重复;⑵特殊位置优先处理;⑶“0”的出现①0不能放在首位②0和偶数同时出现必分类2、插旗子:按顺序分类讨论。
染色问题:1、排序:从邻圈最多开始排;2、染色:颜色数量。
§5流水行船:1、基本公式:①V顺=V船+V水②V逆=V船-V水③V船=(V顺+V逆)÷2④V水=(V顺-V逆)÷2静水速度=船速V静= V船顺水速度=船速+水速 V顺=V船+V水逆水速度=船速-水速 V逆=V 船-V水相遇追击:相遇:S和=V和×t相遇追击:S差=V差×t追击水面上:速度和、速度差与水速无关。
数学归纳法证明例题之令狐文艳创作
数学归纳法例题令狐文艳例请读者分析下面的证法:证明:①n =1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立.②假设n =k 时,等式成立,即:()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k . 那么当n =k +1时,有:这就是说,当n =k +1时,等式亦成立.由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求.正确方法是:当n =k +1时.这就说明,当n =k +1时,等式亦成立,例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立,并证明你的结论.分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性.解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3.故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立.下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立.因为起始值已证,可证第二步骤.假设n =k 时,等式成立,即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时,a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立.综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立.例3.证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N ).证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ .那么当n =k +1时,这就是说,当n =k +1时,不等式成立.由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立.说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明:12112+<++k k k .认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.例4.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,当n ∈N 时,a n +2=a n +1+a n .求证:数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除.分析:本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法.①当m =1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被3整除.②当m=k时,a4k+1能被3整除,那么当n=k+1时,a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除,又3a4k+2能被3整除,故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.因此,当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.由①、②可知,对一切自然数m∈N,数列{a n}中的第4m+1项都能被3整除.例5.n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?分析:设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧,采用由特殊到一般的方法,进行猜想和论证.当n=2时,由图(1).两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f (2)=4=22.当n=3时,由图(2).三个半径交于三点,则分成9段圆弧,故f (3)=9=32.由n=4时,由图(3).三个半圆交于6点,则分成16段圆弧,故f (4)=16=42.由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2.用数学归纳法证明如下:①当n=2时,上面已证.②设n=k时,f (k)=k2,那么当n=k+1时,第k+1个半圆与原k个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆不能交于一点,所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段,这样又多出了k+1段圆弧.∴f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧.由①、②可知,满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.说明:这里要注意;增加一个半圆时,圆弧段增加了多少条?可以从f (2)=4,f (3)=f (2)+2+3,f (4)=f (3)+3+4中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1).N的4K+1次方-N为何是10的倍数?先证明n^5-n一定是10 的倍数再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数下面分情况讨论n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数而(2,5)互质所以n^5-n是10 的倍数所以当k=1时成立假设当k=r时成立即n^(4r+1)-n=10s则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)=n^4*10s+n^5-n由于n^5-n是10的倍数所以当k=r+1时也成立证明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数n=3时,2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设n≤k,k>3时成立则:2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1时成立所以,2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明:当且仅当指数n不能被4整除时,1n+2n+3n+4n能被5整除证明设A=1^n+2^n+3^n+4^n,当n=4k(k为整数)时,1^n、3^n的个位数均为1,2^n、4^n的个位均为6,1+1+6+6=14,A的个位为4,显然A不能被5整除当n≠4k时,⑴若n=4k+1,易知A的个位=(1+2+3+4)的个位=0,∴A能被5整除⑵当n=4k+2时,A的个位=(1+4+9+16)的个位=0,∴A能被5整除⑶当n=4k+3时,A的个位=(1+8+27+64)的个位=0,∴A能被5整除综上所述,当且仅当指数n不能被4整除时,A能被5整除,也即当且仅当指数n不能被4整除时,1^n+2^n+3^n+4^n能被5整除。
ARCGIS中字段计算器的使用说明之令狐文艳创作
Field Calculator 的使用令狐文艳Field Calculator 工具可以在属性表字段点击右键,选择“Field Calculator ”,或者Data Management Tools->fields-> Calculate Field打开。
1.基本函数针对数值型:Abs:求绝对值Atn:求反正切值Cos:求余弦值Exp:求反对数值Fix:取整数部分,与 Int 函数有区别的Int:取整数部分Int 和 Fix 函数的区别在于如果 number 参数为负数时,Int 函数返回小于或等于 number 的第一个负整数,而 Fix 函数返回大于或等于 number 参数的第一个负整数。
MyNumber = Int(99.8) ' 返回99。
MyNumber = Fix(99.2) ' 返回99。
MyNumber = Int(‐99.8) ' 返回‐100。
MyNumber = Fix(‐99.8) ' 返回‐99。
MyNumber = Int(‐99.2) ' 返回‐100。
MyNumber = Fix(‐99.2) ' 返回‐99。
Log:求对数值Sin:求正弦值Sqr:开方Tan:求正切针对字符串型:Asc:返回与字符串的第一个字母对应的ANSI 字符代码Chr:将一个 ASCII 码转为相应的字符,与它对应的是 ASC ()函数Format:返回根据格式 String 表达式中包含的指令设置格式的字符串,例如Format(13.3,"0.00")=13.30Instr:返回某字符串在另一字符串中第一次出现的位置LCase:返回字符串的小写格式,例如LCase("ARCGIS")="arcgis"Left:返回字符串左边的内容,例如 Left("arcgis",2)="ar" ,把[A]字段的前2个字符赋给[B]Len:返回字符串的长度,例如 Len("arcgis")=6LTrim:去掉字符串左边的空格,例如LTrim(" arcgis")="arcgis"Mid:取出字符串中间的内容,例如Mid("arcgis",2,1)="r" 在name字段前四个字符后面加一个空格,left([name],4) & " " & mid([name],5)QBColor:返回一个 Integer 值,该值表示对应于指定的颜色编号的 RGB 颜色代码Right:返回字符串右边的内容,例如Right("arcgis",2)="is"RTrim:去掉字符串右边的空格,例如 RTim("arcgis ")="arcgis"Space:返回由指定数量空格组成的字符串,例如MyString = "Hello" & Space(10) & "World" ' 在两个字符串之间插入 10 个空格。
初一数学去括号经典题之令狐文艳创作
去括号课堂练习令狐文艳去括号法则:“( )”前是“ +”去掉“ +( )”,括号内各项的符号都不变;“( )” 前是“-”去掉“-( )”, 括号内各项的符号都改变;用字母表示为: a + (b + c) =; a - (b + c) =; 1:去括号并合并同类项:(1) (2)(3)(4) (5)(6)(7)2、下列去括号正确吗?(1)3a-(5b-2c+1)=3a-5b+2c-1 ( )(2)x+3(y-w)=x+3y-w ( )(3)x-2(-y+m)=x+2y+m ( ) (4)-(a-2b)+(c-2)=-a-2b+c-2 ( )142)142(12)12(123)123(23)23()(423)2___()3___()3(32)32___()2()___()1(32323222222-+-=-----=--++--=+---+=+++-+-=+--+++-=+--+-=+--+m m m m m m D y y y y C a a a a a a B y x y x A qp m n q p m n az y x a z y x cb ac b a 、、、、是、下列去括号中正确的”:”或“横线上填上“、根据去括号法则,在5、x-(2x-y)的运算结果是()A 、-x+yB 、-x-yC 、x-yD 、3x-y6、将(a-1)-(b-c )去括号后等于()()xy y xy 223--())2(35b a b a a ---+()b a a 34--A 、a-1-b-cB 、a-1+b-cC 、a-1-b+cD 、a-1+b+c7、化简:)264()36(22-+--+-x x x x 3.5去括号1.下列去括号中正确的是()A .x +(3y +2)=x +3y -2B .a 2-(3a 2-2a +1)=a 2-3a 2-2a +1C .y 2+(-2y -1)=y 2-2y -1D .m 3-(2m 2-4m -1)=m 3-2m 2+4m -12.下列去括号中错误的是()A .3x 2-(2x -y )=3x 2-2x +yB .x 2-43(x +2)=x 2-43x -2C .5a +(-2a 2-b )=5a -2a 2-b 2D .-(a -3b )-(a 2+b 2)=-a +3b -a 2-b 23.化简-4x +3(31x -2)等于()A .-5x +6B .-5x -6C .-3x +6D .-3x -64.a +b +2(b +a )-4(a +b )合并同类项等于()A .a +bB .-a -bC .b -aD .a -b5.9a -{3a -[4a -(7a -3)]}等于()A .7a +3B .9a -3C .3a -3D .3a +36.下列去括号的各式中正确的是()①x +(-y +z )=x -y +z ②x -(-y +z )=x -y -z③x +(-y +z )=x +y +z ④x -(-y +z )=x +y -zA .①②B .②③C .③④D .①④7.下列去括号错误的共有()①a +b +c =ab +c ②a -(b +c -d )=a -b -c +d③a +2(b -c )=a +2b -c ④a 2-[(-a +b )]=a 2-a +bA .1个B .2个C .3个D .4个8.去掉下列各式中的括号(1)(a +b )+(c +d )=_______________ (2)(a-b)-(c -d )=_____________(3)-(a +b )+(c -d )=_________________(4)-(a -b )-(c -d )=_________________(5)(a +b)-3(c -d )=_____________________(6)(a +b )+5(c -d )=_______________________(7)(a -b )-2(c +d )=___________________(8)(a -b -1)-3(c -d +2)=_______________(9)0-(x -y -2)=__________________(10)a -[b -2a -(a +b )]=____________________9.先化简,再求值(1)4(y +1)+4(1-x )-4(x +y ),其中,x =81,y =314.(2)4a 2b -[3ab 2-2(3a 2b -1)],其中a =-0.1,b =1.。
合并同类项、去括号练习题之令狐文艳创作
合并同类项、去括号试题令狐文艳1.合并下列各式中的同类项(1)3x 2-1-2x-5+3x-x 2(2)4xy-3y 2-3x 2+xy-3xy-2x 2-4y 2(3)-0.8a 2b-6ab-1.2a 2b+5ab+a 2b (4)222b ab a 43ab 21a 32-++- (5)5(a-b)2-7(a-b)+3(a-b)2-9(a-b)(6)3x n+1-4xn-1+12x n+1+32x n-1+5x n -2x n (7)3a -(4b -2a +1) (8)x -[(3x +1)-(4-x )](13)5(43)(3)a b a a b +---+ (14)222(25)(32)2(41)a a a -+----- (15)(531)(21)x x y x y +-+--+(16)()232a a b a ---⎡⎤⎣⎦ (17)8(2)4(3)2x y x y z z --+-+(18)[]{}23(2)2a b a b a a ----- (19)8x +2y +2(5x -2y ) (20)(x 2-y 2)-4(2x 2-3y 2)(21)-3(2x 3y -3x 2y 2+3xy 3)(22)(-4y +3)-(-5y -2) +3y(23)(6x 2-x +3)-2(4x 2+6x -2(24){}222234(3)x x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦(25)11(46)3(22)32a abc c b---+-+(26)[](43)(3)()5 x y y x x y x----+--(27)22121232a ab a b⎛⎫⎛⎫--++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(28)2-[2(x+3y)-3(x-2y)](29)(2m-3)+m-(3m-2)(30)3(4x-2y)-3(-y+8x).(31)(2x-3y)+(5x+4y) (32)(8a-7b)-(4a-5b)(33)a-(2a+b)+2(a-2b) (34)3(5x+4)-(3x-5) (35)(8x-3y)-(4x+3y-z)+2z (36)-5x2+(5x-8x2)-(-12x2+4x)+2(37)2-(1+x)+(1+x+x2-x2) (38)3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)(39)2a-3b+[4a-(3a-b)](40)3b-2c-[-4a+(c+3b)]+c (41)x-(3x-2)+(2x-3)(42)(3a2+a-5)-(4-a+7a2)(43)x2+(-3x-2y+1)(44)x-(x2-x3+1)(45)3a+4b-(2b+4a) (46)(2x-3y)-3(4x-2y) (47)(2x-3y)+(5x+4y) (48)(8a-7b)-(4a-5b) (49)a-(2a+b)+2(a-2b) (50)3(5x+4)-(3x-5) (51)(8x-3y)-(4x+3y-z)+2z (52)-5x2+(5x-8x2)-(-12x2+4x)+2(53)2-(1+x)+(1+x+x2-x2) (54)3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)(55)5a+(3x-3y-4a) (56)3x-(4y-2x+1)(57)7a +3(a +3b )(58)(x 2-y 2)-4(2x 2-3y )(59)2a -3b +[4a -(3a -b)](60)3b -2c -[-4a +(c +3b)]+c(61)x+[x+(-2x-4y)] (62) (a+4b)- (3a-6b)(63)3x 2-1-2x-5+3x-x 2(64) -0.8a 2b-6ab-1.2a 2b+5ab+a 2b (65) 222b ab a 43ab 21a 32-++-(66) 6x 2y+2xy-3x 2y 2-7x-5yx-4y 2x 2-6x 2y(67) 8x +2y +2(5x -2y)(68) 3a -(4b -2a +1)(69) 7m +3(m +2n)(70) (x 2-y 2)-4(2x 2-3y 2)(71) -4x +3(31x -2)(72) 5(2x-7y)-3(4x-10y) (73))153()52(+---y x y x (74) )56(3)72(2+--x x(75))3(2)2(322b ab ab a +--- (76))3123()322(2122y x y x x +-+-- (77) )]12(45[3---x x x (78) 2xy-{5x-3[xy-31x(y+1)]-4xy}2.求下列代数式的值:3m 2n-mn 2-1.2mn+mn 2-0.8mn-3m 2n,其中m=6, n=2。
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去绝对值常用“六招”(初一)
令狐文艳
去绝对值常用“六招” (初一)
绝对值是初中数学的一个重要概念,是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高,难度大,不易把握,解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值
例1、当a = -5,b = 2, c = - 8时,求3│a│-2│b│- │c│的值
分析:这里给出的是确定的数,所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解:因为:a = -5<0,b =2>0, c = -8<0
所以由绝对值的意义,原式 = 3 [ -(-5)] –2 ×2 -[ - ( - 8 ) ] = 7
二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值
例2、有理数a、b、c在数轴上的
位置如图所示,且│a│=│b│,化简│c-a│+│c-
b│+│a+b│-│a│
分析:本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性,由数轴上点的位置特征,即可去绝对值。
解:由已知及数轴上点的位置特征知:a<0<c<b 且- a = b 从而 c – a >0 , c - b<0, a + b = 0 故原式 = c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b
三、由非负数性质去绝对值
例3:已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0,求ab的值。
分析:因为绝对值、完全平方数为非负数,几个非负数的和为零,则这几个数均为“0”。
解:因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质:a2-25 = 0 且 b – 2 = 0
即 a = 5 b = 2 或 a = - 5 b = 2 故 ab = 10或 ab = - 10
四、用分类讨论法去绝对值
例4、若abc≠0,求 + + 的值。
分析:因abc≠0,所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为
负号;两个同为正(负)号,另一个为负(正)号,共八种情况。
但因为两正(负)、一负(正)的结果只有两种情况,所以其值只有四种情况。
解:由abc≠0可知,a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。
当a、b、c都为“+”时, + + = + + = 3
当a、b、c都为“-”时, + + = - - - = - 3
当a、b、c中两“+”一“-”时, + + = 1
当a、b、c中两“-”一“+”时, + + = - 1
五、用零点分段法去绝对值
例5:求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。
分析:x在有理数范围变化,x + 1、x – 2、x -3的值的符号也在变化。
关键是把各式绝对值符号去掉。
为此要对x的取值进行分段讨论,然后选取其最小值。
解这类问题的基本步骤是:求零点、分区间、定性质、去符号。
即令各绝对值代数式为零,得若干个绝对值为零的点,这些点把数轴分成几个区间,再在各区间化简求值即可。
解:由x + 1 = 0,x - 2 = 0,x - 3 = 0可确定零点为 - 1,2,3。
由绝对值意义分别讨论如下:
当x<-1时,原式= - ( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = -3 x + 4 >3 + 4 = 7
当-1 ≤ x <2时,原式= ( x + 1 ) + [ - ( x – 2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = - x + 6 > -2 + 6 = 4
当2 ≤ x <3时,原式= ( x + 1 ) + ( x – 2 ) + [ - ( x – 3 ) ] = x + 2 ≥ 2 + 2 = 4
当x ≥3时,原式= ( x + 1 ) + ( x – 2 ) + ( x – 3 ) = 3x –4 ≥ 3×3 - 4 = 5
故所求最小值是4。
六、平方法去绝对值
例6、解方程│x-1│=│x-3│
分析:对含有绝对值的方程,用平方法是去绝对值的方法之一,但可能产生增根,所以对所求解必须进行检验,舍去增根。
解:两边平方: x2- 2x +1= x2- 6x + 9 有4x =8,得 x=2 经检验,x=2是原不等式的根。
练习1、已知实数a、b、c在数轴上的位置
如图,且│a│=│c│,化简:
│a+c│-│a+b│+│c - b│+│a│
练习2、将上题中的a、b互换,│b│=│c│,化简其结
果
练习3 将例4中的a、b互换,其它不变,化简其结
果。
练习4、若ab<0,求 + + 的
值
练习5、已知:│x-12│+ (y-13)2+ (z – 5)2= 0,求xyz的值。
练习6、求│x - 1│+│x + 2│+│x +3│的最小
值
练习7、解方程:│1 - x│-│x + 3│= 0
参考答案:1、c ;2、-a;3、-b;4、- 1;5、78;6、4;
7、- 1;
因此脱去绝对值符号就成了解题的关键。
如何正确去掉绝对值符号呢?当然掌握绝对值的意义是第一步(即正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0)。
然后根据所给条件,明确绝对值中数的性质,正确脱去绝对值符号。
这样才能走困境“突出”重围。
举例说明如下:
例2、若│a│= 2,│b│= 5,求①│a+b│;②若ab<0,求│a+b│
分析:由绝对值的几何意义知,满足绝对值为非负数的有两个数,所以要去掉绝对值必须考虑所有满足条件的数,然后再求解。
在①题中,满足条件的数可分别组合成四种结果,而这四种结果中其中两种是相同的。
在②中由于ab<0,即a、b异号,所以在两种情况中,由有理数的代数和性质知,其绝对值的结果是相同的。
解:①∵│a│= 2,│b│= 5
∴a,b有四种组合结果为:a =2 b= 5;a =2 b= -5;
a = -2 b= 5;a = -2 b= -5;
∴│a+b│= 7;或│a+b│= 3
②因为ab<0,所以取a = 2 ,b = -5;或 a = - 2 ,b = - 5;
故│a+b│=3
例3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图,
化简:│a│+│b│-│a+b│-│c│+│b - c│+│a - 1│
分析:在数轴上了解数性,这只是“突围”的开始。
本题含有较多的绝对值,所以其关键仍然是分别考虑每个绝对值中代数式的性质,然后根据绝对值的意义去掉绝对值,达到“突围”并转化为多项式的化简。
解:由图知-1<b<0<1<c<a
所以由有理数加减法性质有:a + b>0;b - c<0; a – 1 >0
故原式= a – b - ( a + b ) – c + [ - ( b –
c ) ] + ( a – 1 ) = a - 3b – 1
零点分段法的几何意义:从数轴上看,问题转化为:在数轴上是否存在表示数x的点,它到表示各零点x + 1= 0、x –
2=0、x -3=0的距离的和最小?。